为什么现在小学中学的教材编制得这么离谱？

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知乎用户 在河之东​ 发表

就说一点：公立幼儿园不让学东西，啥都不让学，一二年级没有考试，然后小学三年级英语上来就是句子

学，学个屁！

声明：以上观点仅限于河北我生活的小县城小村庄，不代表全国观点。

知乎用户 孙雨辰 发表

高中生物新课本，选择性必修一有一节讲大脑的高级功能，涉及四个语言中枢。分别是听觉语言中枢，视觉语言中枢等。

以前老课本会写明这几个中枢的中文名称和受损后的症状，顺带写上英文简称。

现在直接就是英文简称，而且还是一个字母的简称，就是 SWVH 四个字母。

这种减法就是人为制造学生的自学障碍，这还是人教版教材。

教育领域的内鬼根本抓不完，抓不完的。

这大聪明，被新版教材防的死死的。

知乎用户 张张 发表

毒教材，如果只是插图，我觉得但是无所谓。

但是毒之所以被称为毒，真的。

我一直以为只有我这样想，现在看来，大家还真是一样的看法啊。

非常离谱。

组织内部肯定有坏人

知乎用户 丝血反杀闰土的猹 发表

之前我看到的是毒教材事件最后处理了 8 个人，后续有没有增加我就没关注了。

碰瓷的人为什么这么多？因为没有相应的惩罚措施。

教材为什么这么嗨？

经济罪犯为什么这么狂？因为没死刑

知乎用户 爱求学的尚美 发表

我严重怀疑现在的教育是有内鬼的，真的，就现在小学的语文学习，有一个非常严重的问题：小学语文的课程设置，不是想让孩子轻松愉悦地去掌握知识，反而是想方设法让孩子学不会，你敢信吗？

就拿汉字来说，古代两三千个汉字一年学完，换到今天，最多也就半年也能掌握，对吗？可是偏偏在咱们的小学课本里，整整半年的时间，才学 300 个生字，而且还故意把这些字拆开了，打乱了顺序，就是人为地设置一些障碍。你比如说 “神摸” 这个词，你得翻到 75 页学“摸”，可前面的“神”，要拖到 95 页才出现，这完全就是本末倒置嘛。

再比如说 “爷爷奶奶” 这个词，你要先到 41 页学 “奶奶”，然后再到一百多页，“爷爷” 终于出现了。这样的设计，孩子到底能不能明白爷爷跟奶奶到底是什么关系呢？因为他俩差了那么长时间，都隔了几十页了。

还有 “百、千、万”，第一个月学 “万”，第三个月学 “千”，第四个月轮到 “百”，这难道不是添堵吗？明明很简单，你非要把它搞复杂，拆成碎片，这样孩子难学，老师也难教。你再看看那个生字表，就是一个字串起来，特别拗口，孩子记得很辛苦，老师教得很抓狂，结果这 300 个字，孩子根本记不住。

更离谱的是，本该是重点的一些高频字，全部被划掉了，硬是加进了一些低频字，这不就是拿宝贵的时间拼命拖延孩子的阅读进度吗？

还有数学，本来 20 以内的进位加、退位减不难吧？孩子完全可以直接往百以内、千以内去学习、去拓展，对吗？可是课程表怎么设置的？一年级只学到 20 以内，二年级 100 以内，三年级万以内。学到四年级，你才告诉孩子什么是加法，什么是加数，什么是和，什么是交换律，什么是结合律。你想想，孩子已经做了几千道题了，结果到了四年级，你才告诉他原来这些题是有规律的，太夸张了。这不就是变相增加孩子的学习负担吗？

所以我说，真正要给孩子减负，不能光喊口号，因为那是没用的。我们必须从课程设置上改进，从课本改起，真正做到因材施教，这才是核心。这样，孩子才能学得更好，老师教得也顺心，大家才能共同进步。这难道不是我们减负的共同愿望吗？

知乎用户 小楼一夜听春雨​ 发表

不为什么，就是故意的。

我 1997 年出生的，我的小学母校及初高中母校，都是组织老师自己写讲义，原因很简单，学校发的那个教材没法用。

以理科教材为例

小学数学讲义底本：八十年代数学教材

初中数理化生讲义底本：八十年代教材 + 九年义务教育三年制初级中学教科书（义务教育实验教科书出版前的最后一套教科书，就是封面上科目字体为隶书的那个版本）

高中数理化生讲义底本：甲种本

当然，这是底本，需要添加一些新教材有而老教材没有的东西以应付考试，比如小学数学老教材没有负数，高中生物老教材没有生物工程相关内容，这些都需要补充。

甲种本课本是这样的

代数三册

第一册

第二册

第三册

立体几何全一册

平面解析几何全一册

微积分初步全一册

物理

第一册

第二册

第三册

化学三册

第一册

第二册

第三册

生物全一册

这叫课本。

现在学校发的那个，只能叫科普读物，还是编写质量不好的科普读物。

知乎用户 在电脑上坐牢 发表

就问你这个够不够炸裂？

放在任何朝代都是诛九族的大罪吧？

知乎用户 汤圆 发表

小学忘干净了，但是有一点，十字相乘法，大家因式分解必须要掌握的一种方法，课本上没有，没错，他不是边缘化，他是单纯没有。

看了很多人的评论，我补充一下：本人已经 20 多了，小学初中的事真的记不太清了，看起来因式分解应该是是初中学的，这件事记得清是因为当年这玩意我不会，所以一个基础题不会然后被老师哔哔了好长时间所以记得清，前段时间辅导我一个侄子作业（他马上中考了）用十字相乘法，他说他课本上没有，当时我还去扒拉他以前的所有数学课本，发现确实没有

知乎用户 抠脚大叔​​ 发表

内容涉嫌违规，已修改。

知乎用户 塞大花​​ 发表

说实话，我觉得根子上还是——脱离群众，脱离实际，做不到实事求是。

我家孩子去年上一年级的时候，我第一次认真翻语文书，真的有点惊到了。 我们小时候启蒙学语文，前半个学期几乎都在学拼音，认字的节奏也很慢。 刚开始就是集中认字，比如 “山、水、田、土”，配着图认、写、读， 然后再有非常简单的小课文，比如“秋天到了，一群大雁从天上飞过，一会儿排成人字形，一会儿排成一字型” 那种。 重点就是识字和语文启蒙，这很符合六七岁孩子的认知规律——慢慢来，从声音到文字，到词语，再到句子，最后到课文。

但现在呢？ 一年级课本刚翻开，拼音就学两单元，接着立刻开始读长课文。 那种篇幅和词汇量，放在我们那会儿差不多是二年级的水平。 比如《雪地里的小画家》《小壁虎找尾巴》这些，都是我们小时候记得挺深的课文， 但那时候我们是二三年级，有一定识字量、能自主读懂、能体会故事的时候才学的。 现在这些都往前挪，结果是啥？孩子根本读不懂，表面上是读了，但没感觉，也不理解。

这其实就是 “教材设计者没有站在孩子的视角想问题”。 他们考虑的不是孩子能不能接受，而是 “教学目标”“学段要求”“语文素养” 等等指标。 结果编出来的教材看起来 “高级”“丰富”“符合素养导向”，但跟孩子的实际认知发展完全脱节。

语文这门课，本质上是母语教育，是帮助孩子听懂、读懂、表达清楚的过程。 但现在的逻辑反了，好像非得 “提前拔高”， 恨不得一年级就能阅读理解，三年级能写议论文。 这就像让刚学走路的孩子先去跑步比赛。而且就算提前学了，孩子到了初中高中的时候，还是学那些古文，学那些文学体裁，难道现在初高中生都要学《洛神赋》才算掌握母语吗？

其实我一点都不反对提高孩子的阅读水平， 但 “提高” 是循序渐进的，是基于理解和兴趣的。 不是靠把难度往前挪、让孩子死记硬背实现的。 而且，这种教材反而逼得老师只能跳着讲，家长只能课外补。 教材成了摆设，教学靠经验，学习靠资源。

理科教材也一样。 我看现在的数学、物理书，公式、定义、定理都不系统地呈现了， 课本一大半都是各种习题、探究活动、开放问题。 表面上是 “培养思维”“引导探究”， 但实际上对学生、对老师、对家长来说，操作性极差。 你想探究得先有思维工具吧？连基础公式都不完整，怎么探？ 结果孩子就陷入 “似懂非懂”“刷题成瘾”， 老师也只能靠 PPT 和课外讲义来 “补教材”。

教材已经不再是 “教书育人” 的工具，而成了“政策口号的展示品”。 上面说要 “减负”“素养”“创新”，于是教材形式越来越花哨、内容越来越跳脱， 但孩子的实际学习体验越来越糟糕。

教育其实最怕的不是 “难”，而是脱离实际、形式主义。 我们小时候那一套教材，说不上多完美，但它 “实”。 它知道孩子该先学什么，再学什么； 它清楚一个阶段的目标是什么； 它尊重了“从不会到会” 的自然规律。

而现在的很多教材和课程改革，就是反着来。 不从孩子出发，只从文件出发。 所以离谱就不奇怪了。

说到底，教材的问题不是 “版本” 问题，而是 “态度” 问题。 做教育，本应是最讲实事求是的领域。 但现在，连教科书都开始不实事求是了。 那离 “教书育人” 也就越来越远了。

@知乎教育

知乎用户 朕知道了 发表

就说吧，唐氏儿童插图教材用了十几年屹立不倒，写教材那帮没有内鬼我是不信的。插图都敢明晃晃的用唐氏儿童，那内鬼们借着课改的名义，删除点、改编点、藏头露尾点的…… 一说就是应新课改要求，推行素质教育启发学生思考。冠冕堂皇吧！政治正确吧！那学生上课听不懂学不会想不出来，怪我教材咯？！

知乎用户 仲生 发表

利益相关，你义务教育课本讲清楚了，其他教辅书怎么卖？

收了西方的银子，就要故意在教育方面使绊子，不然中国应试教育培养人才碾压了美国快乐教育怎么办？中国国力上升后清算日本怎么办？

他们连插画都故意画成，甚至不愿包装掩盖一下自己的险恶用心，你还指望内容简明易懂啊？

知乎用户 新世界加载中 发表

这才炸裂吧，这都是什么 “人” 啊

知乎用户 喜杨杨 发表

通俗易懂语言两句话就能说明的事儿，不写个几万字怎么能显出人家的水平呢？

以前的数学教材是华罗庚编的，他是尽量将复杂东西简单化让学生懂，激发学生对数学的兴趣。现在的教材是把简单的东西复杂化绕晕学生，早点劝退学生。看看现在作业要求解方程步骤。

以前小学数学先讲规律定义再做题，一年就搞定万以内的加减法。现在先做题做三年后再来给你总结规律。这种方式就是把不会自己悟或者没上辅导班的娃，提前给你叉出去。

看看和华罗庚版教材对比

语文识字如果把生字编成顺口溜，一年学生就能学会 2000 字左右，现在一年只学 300 个，各种拗口枯燥不顺口。老师教得费劲，学生学得费劲。

还有初中语文把各个名著全部纳入考核范围，美其名曰不拘泥于课本，增大孩子的阅读量。但事实是全部将孩子的对文学的热爱扼杀在摇篮里。很多小孩在小学就自发性的看完了，本来对那些书还挺有兴趣，也有自己的独到的看法和见解。到初中这些书全部化作各种呆板的题，各种思想禁锢和固化。一千个读者就有一千个哈姆雷特，凭什么都变成标准答案？孩子们的文学启蒙瞬间变成各种恶心乏味的破题，让阅读变成噩梦。

小学英语不学字母、音标。提前就给你上句子。把那些没上补习班的娃，提前就给叉出去，上课跟坐飞机一样。

形式主义歪风加叉叉勾结，可不就变成现在教材了。还有家长在表扬教材！服了！

知乎用户 橙留香 发表

要查出教育系统哪些玩意是内鬼 在这个信息爆炸的时代一点难度都没有 只是看愿不愿意查 什么时候查 查出来了怎么处理 毒教材那帮玩意那么严重都没死刑 处理的相当于没处理 赶紧完善法律处理教育系统的毒瘤吧

知乎用户 老七 发表

敌在本能寺

被渗透成筛子了，

知乎用户 酸酸甜甜​ 发表

高中地理。

对岸编的比这里不知道高到哪里去了。

特别是自然地理（以及地球科学）

知乎用户 一礼一谦 发表

我家里好几个老师，从小学一年级教改那年开始，教育就逐渐离谱化，就是从教拼音改成先教字那一年，数学开始教，同年的。当时所有老师都讨论很离谱，但是这么出，又只有硬着头皮这么教。

看这么多人点赞，还讲一个事，大家就更清楚了，2018 年全国师范生公费教育后，考师范大学的大多数是家长安利不交学费，免费教育，出来还有个铁饭碗，从这一期以前毕业的开始成分界线，后面的教师素质直线下降，导致现在教育系统离谱。你怎么要求一个从一开始就想免费薅羊毛的人来教育好你的孩子。

知乎用户 极个别同志 发表

因为都是研究生随便凑凑交差，临时工随便审审盖章，出来就是这样子

知乎用户 我选 C 发表

故意制造混乱罢了，我一直都是偏科生，理科强文科弱，文科不敢多说什么，我就说说理科吧。

十几年前，我给楼下的小孩辅导物理，刚一拿到书，我懵逼了，知识点全部拆散了，力啊、电啊，分散到好几个地方了，孩子能知道力是怎么回事、电是怎么回事吗？反正我觉得他应该不知道，更不会综合应用知识解题。

几个月前，我去一家培训机构陪孩子上课，随手拿起墙上的初中化学，呃，化学课本，你跟我聊物理、聊地理是几个意思啊，好像我没见过跨学科试题一样。

跨学科，没问题，前提是基础打牢了，当初我们跨学科是前面已经打牢了基础，随着年龄增长了，知识面宽了，才进行跨学科的考试训练的。

说个题外话，记得当时上大学，同学给我出了个熊掉坑的问题，具体的已知数据是什么已经全忘了，问熊是什么颜色的，如果说我秒答，有点托大，但是说，超过了三秒，绝对是鄙视我自己。同学当时特别震惊，以为我见过原题，我说我根本没有，这完全是高三那一年训练的结果。

反正以后我的孩子上学了，我就把我当初的课本都翻出来，按我的课本的节奏自己教。至于孩子的教材，不好意思，如果用来擦屁股的话，有点太硬了。

再多说一句，我是题海战术的坚定支持者。

知乎用户 morry 发表

好个防自学，几十年前的课本就有这种问题了。本质上是，妳却怪课本了。将军抽車，这招够绝。

高中物理课本，典型的三个毫无，毫无逻辑，毫无体系，毫无自洽，物理就是无理，和废纸差不多。

高中数学课本，课本太简单，考试习题太偏太怪，教数学的基本要补充一倍的内容，这样的教材有和没有区别不大。

课本，基本上是大学课本的简化版，直接看大学课本就得了，看书是辣眼睛。

知乎用户 亓林 发表

本来目的就是为了刷人，不是为了成才。就是要筛选出最聪明的那一批，其他的直接放弃。国家才需要几个人才啊，这么多人不筛选起不乱套了

知乎用户 风歌 发表

香风是什么的风 。。。哎，你就说咋理解

知乎用户 木易 发表

文官 官官相护，文艺圈这是学到了古代文官的精髓了

知乎用户 爱狗人士 发表

杭州进入期中考试季节，我记得以前考数学，甭管你用什么解题思路，你只要不是完全没有过程，没有证明过程存在不合理，解出来了就会得分。

结果，现在数学有严格的过程分…

恍惚间我以为回到满清考八股的时代。

确实，对学习好的孩子影响没那么大，但是为什么要把孩子宝贵的时间浪费在这种事情上？

语数科社英，基本都变成记忆力大比拼，说好了重理轻文呢，怎么都变成文科了？

知乎用户 隆冬 发表

主要是一些自命不凡的庸才勇于任事的结果。

认为他身为现代人，一定比老祖宗聪明智慧不知道多少倍，编教材时几乎想一出是一出。

不负责的推测，里面八成是有不少不怀好意的人。

据说拍板把陈涉世家从语文课本移除和在学校搞清真餐厅是同一个回回。

当然，他可以大声疾呼他自己所谓的某某教育理念。但人心隔肚皮，他究竟安的什么心，鬼知道。

知乎用户 星夜 发表

自工业革命以来，除了西方白人国家。

享受工业革命成果，进入发达国家的国家和地区一共有：日本、韩国、香港、台湾、新加坡、澳门等。

其中：5000 万人口以上的大国只有韩国和日本。

……………

这些国家和地区有一个重要的特征就是：

一个宗教、一个民族、世俗国家。

比如日本：宗教是神道教，民族是大和。

……………

日本接受移民，但是移民需要改日本名字，用一个词很好，叫 “归化”。

日本也有穆斯林，但是你要回民餐厅、建回民教堂、搞回民墓地……，那是门都没有。

中国这方面学苏联：做的很不好。

回族在中国要这样的权利，要这样的权利。

你到日本旅游，没有回民餐厅，你们都没有吃饭，饿着？

……………

回头说教材：

在教材方面，不能妥协退让，中华文明的主体就是汉族，主要内容内容（甚至是全部）是汉文明。

教材就是要学习汉语和汉族价值观。

这非常重要。

千万不能把自己的优势给丢了，搞什么多样化，最后导致国家内乱、分裂。

知乎用户 嗦唻 哆咪哆发​​ 发表

没说到点子上，其实是因为课标变了。

举个让人说的最多的数学的例子。

参考 2022 版义务教育阶段数学的课程标准。

按照课标学到这就可以了。

你说考试不会考这么简单的

编教材的: 那跟我又有什么关系呢？

如果考试难度能下降，不超纲

如果大家不用卷，学到这就可以了

是整个大环境不允许教材这样，不是教材不能这样

知乎用户 Riant Xia​ 发表

刚教二年级娃除法应用题，单价是啥意思，不知道，我看了下课本，触目惊心啊。

先看目录，第二章开始认除法，第四章又来一次：

好，这是第二章，我以为这是开始，其实这已经结束了，看页码，第 7 页：

是的，第 8 页就开始做题了：

10 页，11 页，继续做题：

一直做到 27 页：

第四章，第 36 页，又来一次除法，还是熟悉的一页搞定，还是一样的一个平均分概念，第 37 页开始做题：

一直做题做到 45 页：

你们觉得，正常人会这么编小学教材？

知乎用户 易真亦假 发表

古代考功名

要要学习四书五经

很多人以为背的公瓜烂熟就行了

大错特错

你要看各个大儒对四书五经的注解

内容比四书五经多好几倍甚至十多倍

知乎用户 炯炯有神 发表

我一个高中同学，高一的时候因为生病，休学了半年

回来上课第二天化学考试，他自己看课本，然后做课本后边的习题，就一个晚自习三节课

第二天考试

化学考了 90 多分

现在我看我儿子的课本

嗯，主打一个四六不靠

后续，这哥们因为觉得考高分很简单，后来就不怎么学了

结果遇到了 03 年高考，

导数纳入考试范围

然后发现就靠一年时间，实在是学不回来了

完蛋

04 年高考成绩一般，然后走体育生路线去了北体

研究生毕业后去了某大学当体育老师去了，也是神奇的一个哥们

知乎用户 尤醉易 发表

最离谱的是 2024 年三年级语文教材还在教人写留言条…

知乎用户 刘高兴 发表

三四线城市，作为标杆的数学老师，一直研究教材的学者。看看他们在研究什么

知乎用户 覆水难收 发表

听说九九乘法表还有斜着背的搞不懂

知乎用户 我负责舔包 发表

说实话，离谱我觉得不至于，但知识点散乱无序确实是真的。

我就问大家一个问题：

数学是应该先学勾股定理，还是先学实数和平方根？

来吧，各路高人，请回答！

再更：

来，给大家看看什么叫一根筋变两头堵。

人教版浙教版是先学实数和平方根，再学勾股定理。

北师大版是先学勾股定理，再学实数和平方根。

随便你说应该先学啥，哪怕道理能讲上天！

又如何？

总有权威教材能出来啪啪的打你脸啊！！

当然，你要是不要脸，硬说这俩玩意先学什么后学什么无所谓。

那我只能祝你身体健康！

反正劳资就觉得奇怪：建国那么多年了，这么简单的问题，还统一不了吗？

知乎用户 烈日炽威 发表

我们这个教育内部很有可能出现了内鬼，两件事情可以明显的看出来，第一个呢是教材，就是不光前几年这个毒教材，还有现在我们用的这个教材啊，跟我们原来这个 80 后，90 后我们用的时候那个教材简直没法比，我们原来的教材是从易到难，非常符合孩子的一个学习接受能力，学起来是非常的舒服顺畅，但是现在这个新教材他改版之后呢，颠三倒四哈，非常的乱，所以你发现没有很多学校的这个老师他是跳着讲的，因为如果说他不跳着讲，他按照这个课本上这个目录来讲，很多孩子他是接受不了，那第二个你有没有发现哈。我们现在搞这个减负啊，减负减了之后呢，孩子反而特别的累，家长也是特别的累，为什么？因为要花很多的这个钱啊时间去给孩子去补课，那就算有的家长他不花钱，那他怎么样呢？他自己要花大量的这个时间要去辅导啊，陪伴孩子，是不是那孩子其实也很累啊，每天要学到深更半夜，还影响睡眠，但是就是这么一套下来之后呢，你会发现这些筛选出来的孩子水源还是那些家里有钱的孩子，如果说你是家庭条件一般的孩子，大部分孩子最后都会被淘汰掉，而且家庭条件越差，孩子成绩越差，如果你同意这个观点的话，麻烦你打同意两个字。

知乎用户 典急孝绝崩乐麻 发表

做教培的，抱怨一下上海这两年初中课改。主要还是六年级，789 的改动好歹还能理解一点

六年级上，把整除、分数两个大章节删了，变成有理数加减。

问题：小学只讲了同分母分数加减，异分母分数加减不讲。这玩意本身是六上讲的。

结果，五年级毕业后好多家长找辅导班上课，甚至有的老师推荐家长在外找辅导班。。而前几年上海市教育局一刀切的把 K9 以下的教培全切了。。两头堵你，牛逼吧。（这两年又没那么严了，慢慢恢复。。）开学后老师先讲 1 个月分数计算，再讲 1 个月有理数计算。。

然后是我听学生讲的，他们语文考试，考课外读物，高尔基的童年，里面的主角的外婆叫啥。

nm 考外国音译人名，还特么是课外读物上的。我只能说牛逼

另一件事是我自己经历的，我的一个初三学生，他们老师把二次函数对称轴讲错了，－2a 分之 b 讲成 - a 分之 2b，然后让全班抄了六遍，全记错了。直到周考一塌糊涂才发现。。。真是艹了

知乎用户 行星齿轮 发表

人太多了

“你不学有的是人学”

“只需要能自学的天才，庸才就滚去打螺丝”

“怎么五五分流了都不愿意进厂干活”

“给我打螺丝完了快去消费买房结婚生三娃啊，不许躺平丁克当个体户”

知乎用户 辉色空间 发表

“火” 这个字，笔画是啥，大家有没有印象？

我记得我小时候 “火” 的笔画是，点撇点捺…

现在是先写两个点，然后撇捺…

是我那时候写错了么？

多谢评论区给我指正的，谢谢大家… 笔画这东西虽然咱们成年人都可以把字写对，但是对于正在学习写字的小孩来说，还得按照正确的笔画去写…

所以在教我姑娘写字的时候，我都是先去查一下笔画，毕竟不能把错的教给孩子呀…

同样的还有竖心旁，我那时候清楚的记得是先写点再写竖最后一个点的… 但是现在是先写两个点，最后写竖…

唉… 可能是我真的记错了… 赖我了，小时候没认真学习…

再一次感谢大家对我的指正…

知乎用户 姥姥的澎湖湾​ 发表

现在的教材剔除了孩子自学的机会，知识点零散化，看上去迎合了所谓的 “快乐教育”，其实是做到了知识的垄断。只能说有人不想你学会！

知乎用户 张牙舞爪​ 发表

小学二年级数学，5 个 4 的和，必须列 4×5=20，如果写 5×4=20 就是错的？我真是百思不得其解！

知乎用户 Snail 发表

至少小学发的册子里，我没发现数学书，只有一本数学练习册。

而这本练习册给人感觉就是，还没学会走，就让人跑。还没学会基本的加减乘除，就让人去买和卖东西，还要会进行成本核算。编书人的教育理念大概是半天树木，一天树人。

练习册表面上的丰富色彩和形式活泼掩盖了编书人本质的无知。我也翻过美国的小学数学教材，练习册学了点形式的皮毛，没学来内核，祸国殃民！

知乎用户 泰菲 发表

改编不是乱编，戏说不是胡说。

题主就是典型的，听风便是雨。

我们来看看题主的问题:

教材尤其是理科，包括人教版，课本上找不到定义、定理、公式、例题，全是习题，防自学？！知识点零散不连贯，老师讲课也只能跳着章节讲。

这里面提到了两个观点:

1️⃣课本里找不到定义，定理，公式，例题

2️⃣课本里全是习题

那么我想请问，哪一本教材的哪一章节，哪一个概念是书上没有给出定义，公式，例题的？请题主，已经其他 “防自学设计” 的跟风者，思考并回答我这个问题，同时附上你们的证据。

不得不吐槽下一堆 “防自学”er 们最引经据典的解方程。我们来看下面的图

这些人的观点是，以前的解方程；通俗易懂，现在的解方程，说了些什么？

今天我们来好好掰扯掰扯。

解方程不是乱解，每一步都有自己的依据。方程是从等式引申而来的。小学学方程，书上第一句话就是 “像这样，含有未知数的等式叫做方程”。

学解方程，毫无疑问，必须要先学习等式的性质。等式两边同时加或减一个相同的数，等式仍然成立。从这个定理出发，一步一步把方程化简为 x＝几的形式。

第二种解法，就是在使用等式的性质来一步一步推出结果。

有些人觉得，第一种方法简单，第二种不知所云。你觉得第一种简单，是因为你已经不是小学生了。让一个小学生，或者说让一个不是那么聪明的小学生，他能明白 “➖x 怎么就变成 x” 吗？

这是稍微简单的，要是换成稍微复杂的方程呢？

3x-1＝4x-5 呢？

来，你给我用 “以前” 的方法来解这个方程？

不抬杠，我告诉你们。你们所谓的 “以前” 的方法，有一个比较专业的名字，叫做“各部分之间的关系”。

拿图片那个题目举例子，20-x＝9。这个式子里，20 是被减数，x 是减数，9 是差。减法算式里，减数＝被减数 - 差。这才有了 x＝20-9。这种题可以这么做，是因为方程刚好就是一个加法或者减法算式，才能直接使用各部分之间的关系。

对 3x-1＝4x-5 这种方程，显然这已经不是一个直接的加减法算式了？对一个小学生来说，没学过移项，你告诉我他要怎么解？哦对了，忘了告诉你们了。学方程的时候，小学生还没有接触负数的概念。更不用提负数的加减法。

对他们来说，他们能接受的解法，只能是

1️⃣3x-1+1＝4x-5+1（等式左右两边同时➕1）

2️⃣3x＝4x-5+1（你猜为什么我不把右边写成 4x-4？废话，没学过负数的小学生知道 - 5+1 是什么概念吗？）

3️⃣3x+5＝4x-5+1+5（等式两边同时➕5）

4️⃣3x+5＝4x+1

4️⃣5＝x+1（两边同时减 3x）

5️⃣5-1＝x+1-1

6️⃣4＝x 即 x＝4

不服的，请列出你们的解法，然后用一个小学五年级，没学过负数没学过移项的小学生的视角，来看看你们的解法，到底能不能让人看懂。

你觉得两句话能说清楚，是因为你已经清楚了。换个你不清楚的你试试？

家校教练跟你说，松离合，等车抖动时定住离合，松刹车踩油门。

请问两句话就说清楚的，你怎么那么笨？熄火了几十次还是不行？

知乎用户 rongshilizi 发表

都知道 “豆腐渣工程” 吧，一样的道理。

知乎用户 帝零灵 No.0519​ 发表

数学题实则考语文的含金量。

知乎用户 半佛浩存 发表

河南有一任教育厅长，忘了政治课本还是语文课本了，有一页出了问题，立刻下台收监。当时的教材委员会和后来的教材委员会不一样了吧

他没收钱，他是把关不严，或者说他安排把关的人出了问题。

知乎用户 1840 发表

大明儒生为啥投降满清那么快啊？

因为人家认为：

不管谁当皇帝，都得用我当官！

同师为朋，同志为友，锁定圈子这个事儿，人家宋元明清，干了快一千年了。

编的离谱，就是为了把你扔圈子外面啊！

知乎用户 白果老师 发表

9 月开学将启用新教材这一次淘汰的到底是谁家孩子?

2024 年秋季开学，新一年级、新三年级和新七年级的学生将率先使用新教材。实际上呢，这一次的教材改革很有趣，先考试改革，然后才有现在的教材改革。

那么问题来了，新教材有什么变化? 对孩子又有哪些影响? 新学期孩子应该怎么学? 这是小学家长最焦虑、最着急的问题。

语文改革: 这次教材改革会淘汰一大批靠死记硬背学语文的孩子。

首先给今年幼升小的新手家长提个醒，早在几年前，教育部就清楚的定位了拼音和识字的关系。上一年级后，孩子先学识字，再学拼音，因为语文的学习目的在于学习语音和汉字，而不是拼音。识字是目的，拼音是手段。

语文教材的变化主要有三点:

变化一: 大量增加古诗文教学统编的语文教材共编排了 129 首古诗文，约占总篇目数的 30%，其中古诗词 112 首，文言文十四篇，古典名著三篇。初古诗文、古代寓言、神话传说、历史故事外，还从三字经、千字文、弟子规等传统蒙学读物中选取符合当今时代特点、具有积极意义的内容。

变化 2: 原来的课文单元改成了阅读单元因为语文的教学问题就是读书太少，很多学生只读教材教辅，很少读课外书，语文的文学素养根本无从谈起。所以从 1 年级到 9 年级，每本教材都有系统的书目安排，告诉老师、家长和学生在每个阶段需要读什么书。

新教材还重视多种阅读方法的教学，包括默读、浏览、跳读、猜读、比较、阅读、读整本书等等。小学低年级安排了和大人一起读栏目，高年级和初中有名著导读、古典诗文诵读等栏目。

具体体现在考试上会有什么变化呢? 比如说最近北京东城区的小升初的试卷，很明显的一个大变化就是情境化的命题，考的就是灵活运用知识，创造性解决问题的能力。

这代表什么? 以前靠死命刷题拿 95 分、100 分的孩子，现在不仅不吃香，而且还要被刷掉。有个负责中考出题组的负责人说过，你们学的教辅和我们出题组都知道，甚至那些题都是我们之前出过的，这话什么意思? 你刷再多的难题、怪题，最后人家全给避开了，只考课堂上的知识点，绝对不偏不超纲，但是综合性和跨学科性超级强。就是看你脑子能不能灵活的转起来，这样就帮高中筛出 40% 真正聪明的孩子。

变化 3: 强调语言表达能力

每一次的每一模块都设置了口语交际栏目，突出了口语表达、沟通、交往的能力培养，体现了口语交际的重要性。数学教材内容基本无变化，只是在编排顺序上做了些许调整。新教材删繁就简化难为一，删减了理论性可强和学生不易接受的内容。

英语改革: 英语新教材变化就大了，快速告诉你们加了什么，改了什么。变化一: 词汇量增加! 说白了老版的教材为什么效果不好，单词量学的太少了。小学阶段一共要求 800 个单词，什么也不能干，现在加到了 2100 个，课时数是没变的，单词量增加了。

变化 2: 阅读量增加了! 说白了就是原来的课文很短，现在的课文最长。原来是两三句话要扣半天，现在呢是大量大范围的输入。

变化 3: 写作难度增大了，而且更贴近实际。比如说让你写一个你的个人经历或者是描述一件事情，而且不光是写一个小作文了，考试的时候可能是让你连写三个东西，另外两个题材就更加灵活了，说白了你还想跑模板拿高分，不可能。

变化 4: 听力和口语。听力更加复杂了，口译一定是更多元化的趋势。然后口语目前还没有定论，我估计很大程度上一定要考，而且是要算分的。原来考过口语，但是不计入总成绩，现在口语应该是要算分了。那家长应该如何应对? 家长们一定要记住这 16 个字: 激发兴趣、强化方法、塑造能力、培养习惯，这是六个字有可能决定了孩子将来能不能够拼进一个好的高中，好的大学。

想让孩子瑶瑶领先，开学做好这三件事，轻松碾压同龄人。第一件事，提前建立英语学科的绝对优势。英语是最容易让孩子和家长一起上手，而且早早就能帮孩子建立竞争优势的学科。要想英语成为孩子的强项，关键就是早点开始学，然后一直保持。“听说读真正要拉开优势，需要把英语当成语言而不是学科，写” 循序渐进，养成平时听英语、讲英语的习惯。

- 二年级坚持磨耳朵看动画，三四年级英语分级动画，按照英语词汇量、蓝思值、语速时长、难度等级划分，每天看 20 分钟，先听一小时，轻轻松松就能进阶到 2000 的词汇。学习两个月定别人领先，尤其是想重重点的同学，可以提前学习概念或者其他原版教材。有些初初中重点班直接学新概念，如果不超前学，进了重点班后英语会拖垮孩子。

第二件事，语文是厚积薄发的学科，需要从大量的阅读和积累。小学优优势不明显，但是到后面后进化，无论是文文的积累，还是现代文和文言文阅读，甚至作文，都是到初中甚至高中才能够拉开差距，一旦形成优势，别人就很难追评。自此紧跟课内，提前预习，买对教材，千万不能马虎。标准可以高一点，二类字当一类字提前学，到中高年级不吃亏。

古诗小学生至少要背会 150 首古诗词和一些必备的文言文，能背完这些就算是古文入门了。如果进步快，可以提前背一些初中的古诗词。三年级前把小学生必背古诗词 112 首给背完，五年级前把小学生必背文言文十三首背完。六年级背初中的古诗和文言文，考试的时候无非就是这些点，如果提前吸收掉这些考点，考试的时候就能得心应手。

再说晨读，晨读的时间不一定是早上，重要的不是什么时候读，而是怎么去读，合理利用 337 晨读，每天只需要 10-20 分钟时间 (年级不同朗读篇幅长短不同，用时不同)，就可以在不知不觉中积累必背古诗词、必背文言文、必背课文、好词好句好段等大量的语文素材。

孩子到初中后就会发现语文这个课目的最独特，试卷上的内容大部分和课本无关，你刷题根本刷不出高分。从小阅读的孩子，思考的深度广度、灵活度都远高于那些不读书的孩子，只能眼睁睁的被扣分，这点在新教材改革后尤其明显，大量阅读是最低成本的天花板，关键是读什么，怎么读。

要读就读最好的重点小学牛娃书单、功利性书单，全部读完，语文成绩层层往上涨。

第三件事，打好数学基础，适当学习奥数。奥数这东西说到底还是看天赋，得根据孩子自己的兴趣和特点来，但这不是说普通孩子就可以摆烂了，数学要是学不好，想当学霸基本没戏。

数学是三门主科里唯一能拿高分甚至满分的，学得好能甩别人一大截。怎么学?①打好基础比盲目提前学更重要。课本里的概念公式并你要彻底弄懂，背的滚瓜烂熟，基础扎实的做题才有底气。

②正确的学习方法比成天埋头刷题更有效。可以用费曼学习法让孩子把题目讲给你听，如果讲不清楚，说明还没完全理解，要继续学习。如果一开始觉得太难，可以先看一些奥数动画激发兴趣。

对大多数孩子来说，我建议还是稳扎稳打，小学阶段把语文和英语基础打好打到初中水平，这样到了中学就可以把学语文和英语省下的时间多用在数学课上

以上都整合到【家长大实话】了，工作忙没有时间的家长自取点这个 /http://aqwj.tulcn.cn/cEyeYU

知乎用户 布拉德菲尔​ 发表

个人认为：

目前中国大陆的教育体系，已经由以 “去文盲” 为核心逻辑的培育体系逐步转向了以“选优” 为核心逻辑的筛选体系。也就是说从进入义务教育开始，国家就是在筛选人而不是培育人。学校的课程就是难，需要很强很强的悟性才能学懂。悟性 = 智商。你听不懂？理解不了？那就说明你不是国家需要的人才。卷也没用。国家只需要真正智商高的人，不需要把自己卷得好像挺聪明的人。能力一般智力比较低的，逐步淘汰。直至剩下目前 1/3 人口，然后由机器人与 AI 替代绝大多数重复性的工作，由培育出来的这些智商高能力强的人去与欧美国家继续争夺科技领域的尖端以及争夺 / 维持金融霸权，到时候就算是剩下一些智商一般能力不行的普通人，也可以由这些高附加值，高溢价的产业带来的超额利润养着。有上进心的想开店就开店，没啥上进心的躺着也有国家养。

知乎用户 阿莲​ 发表

比如人教版数学，五年级上册的方程，昨天有位家长给我发信息，她也很烦恼。

知乎用户 余命数 发表

纯纯的教材的编写逻辑不同罢了。现今的中学的新教材强调的是欧美的建构主义模式，也就是说，希望学生通过一个 “情境” 或“活动”，去 “发现” 公式，所以不直来直往。但是如果没有老师引导，或者学生自学能力不强，看着这些 “活动” 会一头雾水。“防自学”并非本意，但却是 “去结论化” 的必然结果。

而且为了符合螺旋式上升，即不同年级学一点，所以知识点很零散。

但是这些模式之所以被喷，最主要的就是太过于理想化了，不符合现实。比如如果老师水平不够，不知道如何 “填空” 和“拓展”，或者由于大班制，一个班五六十人，根本无法组织探究活动，课堂就会变成看图说话，或者直接给结论，抛开课本，探究活动，探究个啥。

所以，这种教材极大地拉大了教育差距。顶尖学校不受影响（因为他们本来就不完全依赖课本），但缺乏资源的学校失去了最基本的知识依靠，导致教育资源匮乏地区的孩子自学无门。

而且中高考的应试压力在那摆着，教学进度非常赶。大部分学校需要在高二下学期就把课讲完，留出一年时间复习。老师根本没有时间带学生去 “慢慢探究”。

结果就变成了：课本上画了探究过程，老师在黑板上直接写结论：“别管那个什么乱七八糟的活动了，把这个公式背下来，我们要讲下一章了。”

直接课本弄得很花哨，但实际教学还是填鸭式。更难绷的是，因为课本删去了推导过程的文字叙述，学生课后复习时，都不知道咋整，因为书上没写为什么要这么算。

也就是说，在教育资源极度不平均、且以分数作为唯一选拔标准的当下，这种 “去定义化、去结论化、去系统化” 的教材编制，本质上是行不通的。所以被人喷反自学，不如苏联式的老教材，不足为奇。

知乎用户 青鸟 II​ 发表

中小学防自学？放着学校老师的课你不好好听讲，你自学个鬼啊……

知乎用户 张二十三 发表

我不说教材，我聊聊习题吧，不知道各位数学老师有没有发现，这几年的数学习题，题干越来越长，特别是初中，无论是买的同步练习册或者考试题，本来几句话就能考明白的东西，非要给你加点小故事或者历史知识！我一直认为数学是有简洁之美的学科，你这么搞，数学老师还时不时得给大家讲点阅读理解，真是醉了！

知乎用户 小鱼​ 发表

如果你在教育系统里工作过一段时间后，你就会发现一个现象：同一个老师，他在不同阶段的阶段，他的思想、处事方式等等，完全是不同的，即我们常说的 “屁股决定脑袋”。

教育系统里的这个现象是尤其突出的，其关键原因是，在这个行业里，客户≠甲方。

新入职的年轻教师们，怀揣着对教育事业的满腔热情，在教室里对学生掏心掏肺，试图用爱感化那几十头神兽，然后很快就会被现实教育：你对他们客气，他们把你当福气。相信很多老师都会有这么一种感觉：当新学期你刚进入一个新的班级，至少那一两周，班级纪律都是很好的，学生个顶个的安分守己，然后两周一过原形毕露，学生开始无视你，甚至是蹬鼻子上脸。实际上这两周是学生在观察各科老师，然后从里边选一个软柿子，很不幸，大多数用爱发电的年轻教师就是学生眼中的软柿子。然后一个学期过去了，任教班级成绩垫底，领导不满意，找他谈话了，随后他就会慢慢领悟到，比起学生，实际上当前一线教师的甲方实际上是他们的上级领导。于是被迫练就出各种技能，包括但不限于狮吼功，教室内外双重人格等等。

同样的，话题说到教材，编教材的都是些什么人呢，都是各学科的专家，但是既然他们已经是专家了，那么他大概率已经脱离一线教学一段时间了，并且他对甲方的认知远比学校教师们更加明确，他们心里很清楚自己应该向谁负责。

而且编教材和我们平时写教案还不一样，我们虽然知道甲方是谁，但好歹学生的成绩是我们的产品，为了保证产品质量，我们在写教案的时候必须考虑怎样上课才能让学生学习效率更高。但是编教材的专家们是没有这一层顾虑的，所以他只要服务好上面的就可以了，而教育系统上边的那群人，说真的，就没几个是从基层教师一步步爬上去的，他们对学科的专业素养不说完全没有吧，反正也好不到哪里去，他们不是搞教育的，而是搞管理的，所以在他们脑子里，什么样的教材适合学生学习，他们是没有概念的，他们脑子里有的只有那些非常空洞的理论，类似于什么 " 教育公平 “。啥叫公平呢？大家都能学会，就公平了，但是，如果大家都不能学会，是不是也挺公平的？

这两年教育行业的风向其实已经很明确了，双减，初中毕业五五分流，禁止机构进行学科类补课，媒体喊话大学生 “脱下长衫”，为的是啥，懂的都懂，对吧？这些编教材专家正好也是投其所好，完美。

知乎用户 云中白鹤 发表

天天在这搞 “防自学” 焦虑，然后回答者又在后面附上自家利于自学的链接，我都怀疑你们是在自编自导。到底是教材的问题，还是人心的问题。

知乎用户 看见 发表

我和孩子说生物是送分项。后来看了孩子的课本，再也不说话了。这 TM 什么玩意啊。

知乎用户 山丘之王​ 发表

小时候学校围墙肯定喷着大字: 教育要面向现代化，面向世界，面向未来。一年级看到这句话，小小心灵内心都起波澜。

现在的学校，是条狗都可以对校门狂吠，尊师重教不见了，基础教育一再削弱，搞什么素质教育（素质教育以前老以为高大上，现在看来，素质教育就是跟门阀教育打组合拳，才有权贵子弟进 4+4 协和这种案例），学什么快乐教育，教育这样搞，迟早毁灭国家未来

知乎用户 MathLover 发表

终于越来越多的人发现这个问题了。

咱也不敢猜人家具体什么目的，反正现状是这么个现状。

不让开辅导班，学校课时少，课本诡异，结果就是一个家庭，起码要牺牲一个高知的事业，才能让孩子跟上正常上学的水平。

语文是全国统编教材，那么厚，每周才 5 节课，老师给抢出来一节别的课，一共 6 节。

现在重视语文，要求语文老师是班主任，这时候，语文老师开班会、组织纪律，还是给学生巩固字词，里外里就差很多。

知乎用户 人性规则录 发表

一、昨天教弟数学，他现在初三的，打开数学书将一元二次方程，第三页就问你圆的面积是 2π平方，让你用公式列出怎么求半径。

你知道前面第一页第二页讲什么吗？就只是一元二次的基本知识，至于怎么使用该知识，对不起，出个题给你就完了，剩下的你自己老师讲把，学不懂就别学了出门打工。

我以前是不觉得有什么问题，我当时真觉得学不会是我的问题，是我智力不够， 包括我自己学高数的时候学的特别痛苦，成绩低到让我怀疑我智力是不是就这么低

直到后面我看到了托马斯微积分等美国教材我才发现不是我的问题，是教科书本身就讲的支离破碎，就相当于告诉你这个是加法，这个是减法，ok 去造原子弹把。是的，真实情况真的非常离谱。

你一个新手怎么可能通过只背下一点知识点就写出题呢？他根本不给你讲题目是怎么理解的，他连最基本的知识都没有给你讲明白，学生们学这种教材没有课外补习去补充你理解所需的知识怎么学得会呢？

我以前是运气好，有个牛逼的老师，不仅深入浅出的给我们补充各种教科书上没有的知识，还能够让我们每天都很开心的写各种试卷，但大部分的小孩有这么厉害的老师吗？他们没有，他们老师真的就这样给你讲教科书，至于这个教科书是支离破碎的事实，他们不管，他们也没有这个实力去管

然后差距就这样出现了。

以前我总觉得是不同地区的天生智力差别才导致了非珠三角地区的人学习不好，考不上华理深大这些。现在我看了大量教材，国外国内，各个领域我才发现，就是教材的问题。

打开托马斯微积分，作者真的很详细的给你讲解前置知识点，他真的把你当成一个新手，一点点的带你去看微积分的世界，一开始讲直线给你补充前置知识，直线章节里先从增量开始讲，后面讲斜率，讲斜率的计算。这本书的学习感受真的是我的感觉最好的。如果当年有这本书，我不会考什么及格，我直接冲个班前三。我智力真没问题，我学习努力也没问题，真的就是教科书有问题。

还有英语，我看到现在三年级英语我人都傻了，完完全全不照顾绝大部分的无基础孩子，一上来就是不接近现实生活的对话，英语对话没问题，但你要照顾这些九岁的娃娃啊，我们以前直接背英语对话然后日常就相互对话，但现在单词表上一排排的各种非生活化的单词，娃娃们怎么学啊？（说得严重了，具体你看三年级的英语书把，真不是我恶意吐槽）

我看到弟的教科书人都傻了，这些东西不就纯纯坑人吗？孩子花了这么多时间但绝对学不懂的，然后他们就会道心破碎，然后就是厌学，然后不就出门打工了。

我现在已经买了数理化自学丛书第一版还有以前 1993 年九年级义务制教育的教科书。直接让他看以前的教科书。

美国的教科书是作者把你当新手，所以从浅入深的给你详细讲解，特别好学，新手学会很容易

苏联的教科书是硬核的，作者会直接给你上各种知识点，但是他会讲的简洁而又逻辑，新手也可以学会

越南的教科书以前是苏联美国式的，真的特别好读，虽然没有美国式那么多浅显易懂，但学生也可以自学成才。现在呢？现在就是书上给你写一点，其他的内容在老师和补习班，解答书籍里。

什么？至于你学不懂？抱歉，这说明你就是被我们筛选的那批人，你该出去打工增长 gdp。

你可以上 pdd 和 tb 上看，不只是我一个人吐槽教科书问题，真的非常多以前八几年的大学生来骂现在的教科书。

二、打开博迪的《金融学》

开头就是问你，你年满十八，你打算买车吗？还是租车，你怎么知道你的决定是最有利的

你做过服务生，你打算开个餐厅，怎么计算成本和收益，怎么判断该不该开，怎么知道行不行，具体的逻辑和决策是什么？

你养老金准备了吗？什么？你问为什么要准备，作者列出很多原因，就是知道你小子要问，然后他告诉你怎么算，老了一年要花多少钱，你要一年存多少钱，怎么计算各种东西。利息怎么算，复利单利是什么，怎么算？

打开曹龙骐的金融学

金融学的来历和历史，金融学的意思，各个人对金融学的看法。抱歉，我随便翻了几页，就看不下去了。

同理，打开塔哈的运筹学导论，非常详细的教你怎么思考计划，并且给你问题，在下一句就是问你看不看的懂，你要是看不懂，他叫你去一步一步的按照作者的思路写他的题。（补充，书的前几章不讲数学，一个初中学历的人都能看得懂，并且马上能用来思考生活的事情。）

打开某大学出版社的运筹学

嗯，这书很适合天才学，不适合我这种低智商人群。

三、最后说一个问题：小镇做题家的局限在哪里？

等级意识的反噬。

绝大多数学习好的孩子，从小都是非常容易得到大人，老师，旁人的夸奖。

但是这种夸家并不是正向的夸奖，而是一种裹着蜜糖的砒霜。

因为你接受这类夸奖的一个前提就是，你要做的比他人好。你在跟别人的竞争中获得了胜利。

这次月考拿了班级前五，你获得了大家的夸奖。但是这次的夸奖前提是你击败了班级 45 位同学。

高考成绩 667，全市前 7000，你获得了大家的嘉奖，那是你击败了十几万竞争者后才获取的。

我们的夸奖并不是因为个人的成长和进步去给予的，而是通过你战胜了他人，踩着更多的他人从而获得了夸奖。这个夸奖是建立在别人的苦楚上。

当你从小到大就被灌输这样的思维逻辑。你认为快乐，或者被赞美夸奖等等的来源，是通过你战胜对手，你比别人好才会获得的东西。慢慢的。你开始看不起那些学习成绩比你差的人，你感觉自己是高高在上，不可一世。你开始享受并迷恋这种赞美和快感。你沉迷于其中，但是并不知道这种快感在将来会带给你什么样的痛苦。

在你走出校园，迈入社会了。你就会发现这个世界跟你脑海里想象的世界完全不同。在校园你只需要考好试，拿高分就行。就像是单项赛事，好与差只需要一个指标，你只要做好一项即可。但是到了社会，学历只是影响你人生的一个小小的零件。决定你人生的东西太多太多了，多到数也数不过来。这跟你前 20 年所获取的认知完全不同。从小到大每个人都跟你说，这个世界学历就是一切，高分就是一切。获得了它们，你才能拥有其他。你相信了他们，你为此付出了你的一切，童年，健康，青春，兴趣，生活等等的一切。

后来你发现恋爱不是靠学历，靠的是外貌，性格，身材。

后来你发现交友不是靠学历，靠的是有趣，能说会道，鬼灵精怪。

后来你发现创业不是靠学历，靠的是商业嗅觉，背景，资源，人脉。

你发现你赢不了了。你在学校所向披靡，大杀四方。为什么到了社会上，你却不再是舞台中央的靓仔，而是默默无闻的小透明。

那些你曾经看不起学习成绩差的同学们，有人因为好看，有趣广受异性，同性喜爱。

有些因为脑子鬼点子多，早就把生意做的风生水起，在市区安家落户，经常在朋友圈发家庭照。

学生时代，你都是赢家，是踩着别人接受夸奖的孩子。长大后，你却输了一次又一次，你懊恼，苦涩，痛苦。慢慢的，你的傲气没了，你那股能考高分带给你的自信也没有了。你开始浑浑噩噩，没了精神，嘲笑自己是孔乙己，嘲笑自己只是一个百无一用的读书人。

年少时，那些家长，老师，社会给你喂下去裹着砒霜的糖，在外面糖衣融化掉后，开始展露他们真正的毒力了。它会侵蚀你的五脏六腑，侵蚀你的精神，直到最后你变得行尸走肉。

哪怕想要逃离这种痛苦，代价也是需要经受类断骨之痛般的疼痛。

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悟透社会潜规则，提前 300 年改变命运~

知乎用户 学数相伴​​​ 发表

这段时间最火、而且能引起大家共鸣的，非深圳王教授状告深圳交警的视频了，长达 1 个半小时，看得很爽。

我个人理解这里边就有一个信息差的存在，掌握信息差简直吊打，降维打击，此事这里不做置评。

信息差 i 一直存在，想办法掌握信息差，就掌握了主动权，就像王教授一样舌战群儒而威压十足。数学学习一样是如此，只要能站在足够高的高度，剩下的只有碾压。

不识庐山真面目，只缘身在此山中。 如果能会当凌绝顶，则必然一览众山小。

最近刚好有初中数学学生，所以特意翻了现行初中数学，并找到了我们当初 80 年代的数学书，然后自己平时也读了一些各种各样的数学书。当然我也看了小学的课本，也有同样的发现。

因为我自己是一个数学爱好者，本身没有考试压力，纯粹数学爱好，所以动力方面比学生更强劲一些，当然还有一个因素就是本身自身的视角要高一些，毕竟那么多年的学就算是熏陶也能得到点东西。

1. 先整体对比一下

80 年代数学是老一辈们从俄罗斯或者欧美参考借鉴过来的，基本上按照别人的思路进行的，所以整体上来说还是比较合理的，毕竟别人的数学是经过了历史的考验的。

但是后面教材改版之后，不知道出于什么原因，把几何和代数合二为一，当然这并不是说不可以，本来就是可以独立开来的两个分支，偏偏糅合在一起，好像让人除了感觉它们都是数学，并没有什么别的优势。

我个人觉得最大的问题可能是对于不太用心的同学甚至都搞不清楚啥是几何啥是代数。

后面有个初等数学之旅的三件套，非常不错，高中可读，有一定难度。但相当精彩，如果能学到其中的一些知识或思想，那势必是非常有优势的，据说很多竞赛也是使用的这里的内容。

2. 内容比较

就拿几何部分: 平行四边形截图几张。

总体感觉新教材似乎怕学会了，有所保留，而且故意把内容同质化，不做区分。数学专有的术语、概念什么的不仔细看基本上还是注意不到的。

这部分不做过多置评，文末复制了初等数学之旅 - 欧氏几何，大家感受一下差异，虽然已经被我删减过，但仍不失为一本好书，引人入胜，思绪连连～～～～～～～～～～～～～

新教材

80 年代教材

初等数学之旅

这部分文末内容，我个人比较喜欢。

这部分不敢置太多评价，因为感觉自己还不够那个资格。但如果排列三种教材的心目地位，我自然选择 3，2，1 顺序。

我是学数相伴，分享数学知识，和大家一起学数学。做正能量的事，喜欢的支持一下。

今天分享初等数学之旅 - 欧氏几何。老习惯，喜欢点赞起来。

第一轮先把正文快速输出一遍，后面慢慢休整一下，该整的习题还是要整整。

这是前面的四章，难免有错，欢迎大家不吝指正。 有兴趣的朋友一起来矫版一下。

这块内容的梳理，对于串联初中平面几何的内容非常有帮助，可以参考一下，里边的定理、例题建议都动手做一下，收获非常大的。

初中课本里边的几何打散到三年里边，而这里一条脉络把所有平面几何的内容串联起来。知识是碎片化的时候不容易消化，当知识连接成网时，反而容易系统化理解和应用。

1.1 简介

本书假设读者对点、线、平面有一定的了解，这些概念作为原始概念，不会给出正式的定义。进一步假设每条线都是由点集组成 (至少两个点)。

图 1.1 显示了点 A 和 B 以及线 r 和 s(点用大写字母表示，直线用小写字母表示）。粗略地说，我们可以说平面欧氏几何研究的是平面内的点和线的性质。

以下讨论将作为该理论所有进一步发展的基础。在整个过程中，所有没有证明的陈述都应该被视为公理。

给定一个点 P 和一条线 r，只有两种可能性:

  1. 要么点 P 属于线 r，记作 P∈rP\in r ；
  2. 要么不属于线 r；记作 P∉rP\not \in r 。

上图显示的是 A∈r,B∉rA\in r, B\not\in r 关系。

问题: 两定点之间存在多少条不同的直线?

公理: 两点确定一条直线。用 r=AB↔r = \stackrel{\leftrightarrow}{AB} 表示过定点 A,BA,B 的直线 rr 。

直线上任意一点将直线分成两个半直线 (射线), 下图为以 A 点为起点的射线 AB→\stackrel{\rightarrow}{AB} 。

给定直线 r 上的两个不同点 A 和 B，线段 AB 是 r 从 A 到 B 的部分。我们写 AB¯\overline{AB} 来表示线段 AB 的长度。使用圆规可以比较两个线段长度大小。

例 1.1: 线段长度比较

  1. 用圆规一脚固定在 A 点，然后调整圆规张开的角度，使得另一脚刚好落在 B 点。
  2. 保持圆规的张开角度，然后将其中一脚固定在 C 点，另外一脚绘制一个圆弧交 CD 于 E 点，这样 CE¯=AB¯\overline{CE}= \overline{AB} 。
  3. 比较 CE¯=AB¯\overline{CE}= \overline{AB} 和 CD¯\overline{CD} 的长度。

例 1.2: 绘制长度等于两个线段长度的线段和某个线段长度的自然数倍数的线段。

尺规作图: 绘制线段 EF¯=AB¯+CD¯,GH¯=3AB¯\overline{EF} = \overline{AB} + \overline{CD}, \overline{GH} = 3\overline{AB} 。

  1. 用直尺绘制直线 rr 。
  2. 在 rr 上选择一个点 XX ， 平移线段 ABAB 到直线 rr 上，获得线段 EXEX ，使得 EX¯=AB¯\overline{EX} = \overline{AB} 。
  3. 平移线段 CD 到直线 r 上，起点位于 X 点，获得点 F，使得 XF¯=CD¯,X∈EF\overline{XF} = \overline{CD}, X\in EF 。那么线段 EF 长度就等于 AB¯+CD¯\overline{AB} + \overline{CD} 。
  4. 用上面的类似的方法，我们可以得到线段 GH¯=3AB¯=AB¯+AB¯+AB¯\overline{GH} = 3\overline{AB} = \overline{AB} + \overline{AB} + \overline{AB} 。

欧氏平面中两点之间的距离: d(A,B)=AB¯d(A,B) = \overline{AB} 。

圆: 以点 O 为中心，半径 r>0r>0 的圆是平面内与点 O 距离为 r 的所有点的集合，即 OP¯=r\overline{OP} = r 的点集。

一个圆的补集分为两部分区域，有限区域和无限区域。其中有限区域称为圆的内部 (interior)；无限区域称为圆的外部 (exterior)。

圆的内部: OP¯<r\overline{OP} < r ; 圆的内部: OP¯>r\overline{OP} > r ；圆盘 (disk): OP¯≤r\overline{OP} \leq r 。

给定上述的一个圆 Γ\Gamma : (⊙O,r)(\odot O, r)

  • 半径 (radius): 连接圆心 O 和圆上一点的线段称为半径。
  • 弦 (chord): 连接圆上两点的线段称为弦。
  • 直径 (diameter): 过圆心的弦称为直径。
  • 半圆 (semicircles): 每条直径将圆分为两个半圆。
  • 弧 (arcs): 圆 Γ\Gamma 上两点为起点和终点连通它们之间的所有点组成的曲线称为圆弧，记作 AB⌢\overset{\LARGE{\frown}}{AB} 。
  • 圆上任意两点将圆分为两段弧，其中较小的弧称为 minor arc(劣弧), 较大的弧称为 major arc(优弧)。为了更好的区别优弧和劣弧，可以选择它们之间的第三个点来表示 ACB⌢\overset{\LARGE{\frown}}{ACB} 。

例 1.3: 绘制圆

  1. 用圆规测出所给线段 ll 长度，固定夹角。
  2. 然后选择一个圆心 O，以 ll 长度确定一个点 AA ，使得 OA¯\overline{OA} 等于所给半径长度。
  3. 然后让圆规另一角旋转 360 度，得到所要绘制的圆。

练习

  1. 直线 ll 上四个不同的点 A,B,C,DA,B,C,D ， ll 上存在多少条以这几个点为端点的射线?

  2. 点 A,B,CA,B,C 位于 (situated on a line) rr , 其中 c∈ABc\in AB , 若 AB¯=10\overline{AB} = 10 , AC¯=4BC¯\overline{AC} = 4\overline{BC} , 计算 AC¯\overline{AC} 。

  3. 设 A,B,C,DA,B,C,D 是直线 rr 上的四个不同的点，其中 D∈AC→,B∈DC→,AC¯=BD¯D\in \stackrel{\rightarrow}{AC}, B\in \stackrel{\rightarrow}{DC}, \overline{AC} = \overline{BD} , 证明 AB¯=CD¯\overline{AB} = \overline{CD} 。

  4. 直线 rr 上三个点 A,B,CA,B,C 给定，其中 B∈ACB\in AC , AB¯=3,AC¯=5.5\overline{AB} = 3, \overline{AC} = 5.5 。使用圆规在线段 ABAB 上找到一点 DD 使得 AD¯=BC¯\overline{AD} =\overline{BC} 。

  5. 尺规作图，在平面上标记点 A、B 和 C，使 AB=5cm、AC=6cm 和 BC=4cm。

1.2 角 (angles)

角度和角度测量的概念是其余部分中是绝对基础的。在讨论它们之前，我们需要介绍另一个重要概念: 凸 (convex)。

定义 1.4: 平面上的区域 R\mathcal{R} ，若对于所有点 A,B∈R:AB⊂RA,B\in \mathcal{R}: AB\subset \mathcal{R} , 则称该区域为凸区域 (convex)；否则称为非凸区域。

凸区域 非凸区域

非凸区域至少可以找到两个点 A,B∈R:AB⊄RA,B\in \mathcal{R} : AB\not\subset \mathcal{R} 。

平面的任意一条直线 rr 将平面分为两个凸区域，称为直线 rr 分界的闭半平面 (closed half-planes bounded by r)。

根据定义可知，直线 rr 可以视为其中任何一个半平面。

另一方面来说，如果从两个半平面中分别选择一个点 A,BA,B ，则必然有 AB⋂r≠∅AB\bigcap r \neq\emptyset 。

两半平面内的任意两点连线都与这两半平面分割线相交

定义 1.5: 角 (angle, angle region): 设 OA→,OB→\stackrel{\rightarrow}{OA}, \stackrel{\rightarrow}{OB} 为平面内两个不同的射线 (half-lines)。顶点 (vertex) OO 和边 (sides) OA→,OB→\stackrel{\rightarrow}{OA}, \stackrel{\rightarrow}{OB} 的角或角区域是平面被射线 OA→,OB→\stackrel{\rightarrow}{OA}, \stackrel{\rightarrow}{OB} 分割的区域之一。

角可以是凸区域也可以是非凸区域，上图左侧为凸区域，右侧为非凸区域。上面的角记作 ∠AOB\angle AOB 。具体是凸还是非凸，我们可以根据上下文来确定。

接下来需要给出一个角所占平面区域的度量 (measure)。我们可以将以 OO 为中心的圆，将其分为 360 个相等的弧，取其中一个弧的两个端点 X,YX,Y 与圆心所组成的角称为 1 度，这个度量记作 XOY^=1∘\widehat{XOY} = 1^\circ 。

但是有一个问题: 选择另外一个以圆心为 OO 的圆 Γ′\Gamma^\prime , 也同样分成 360 份，那么是否能得到 ∠X′OY′=∠XOY\angle X^\prime O Y^\prime = \angle XOY 呢?

为了回答这个问题，我们考虑上图。假设作为公理有: 同样的两条以 OO 为端点的射线隔两个圆得到的两个弧度数相等 AB⌢=A′B′⌢\overset{\LARGE{\frown}}{AB} = \overset{\LARGE{\frown}}{A^\prime B^\prime} 。

根据度的定义，我们知道: 完整圆对应于 360∘360^\circ 。

接下来还有一个问题: 如何度量任意给定的角 ∠AOB\angle AOB 呢?

  1. 以 OO 为圆心绘制一个圆 Γ\Gamma , 该圆交 OA,OBOA, OB 于对应的点 A′,B′A^\prime, B^\prime 。
  2. 计算弧 A′B′⌢\overset{\LARGE{\frown}}{A^\prime B^\prime} 占圆 Γ\Gamma 总长的比值。
  3. 那么 ∠AOB\angle AOB 的度量 AOB^\widehat{AOB} 就等于 360∘360^\circ 的那个比值倍。

例如，假如说弧 A′B′⌢\overset{\LARGE{\frown}}{A^\prime B^\prime} 占圆 Γ\Gamma 总长的比值为 1/61/6 ， 那么，那么 ∠AOB\angle AOB 的度量 AOB^=16⋅360∘=60∘\begin{aligned}\widehat{AOB} = \frac{1}{6}\cdot 360^\circ = 60^\circ\end{aligned}\\

注解 1.6:

  1. 如果两个角的度量相等，那么这两个角相等。
  2. 为了避免混淆的风险，我们对角度和它的度量用不同的记号: ∠AOB\angle AOB 表示射线 OA,OBOA, OB 两个边所夹的角，而 AOB^\widehat{AOB} 总是表示角 ∠AOB\angle AOB 对应的度量 (单位为度)。
  3. 在具体上下文中，我们会用小写希腊字母表示角的度量。例如 AOB^=θ\widehat{AOB} =\theta 表示 ∠AOB\angle AOB 的度量为 θ\theta 。

下面我们用一个例子说明下用尺规作图来做一个具有给定顶点、边和度量的角度。后面研究三角形全等的 SSSSSS 命题会证明这里列举的步骤是合理的。

例 1.7: 尺规作图绘制给定大小的角

绘制一个角，顶点为 O′O^\prime , 其中一条边在 rr 上，且其度量为 α\alpha :

添加图片注释，不超过 140 字（可选）

  1. 在给定的角上，以顶点为圆心绘制一个任意半径 RR 的圆，交这个角的两条边于两个点 X,YX,Y 。
  2. 然后再以 O′O^\prime 为圆心， RR 为半径绘制一个圆，交直线 rr 于一点，记作 Y′Y^\prime 。
  3. 然后以 Y′Y^\prime 为圆心，绘制半径为 XY¯\overline{XY} 的圆 ∑(Y′,XY¯)\sum(Y^\prime, \overline{XY}) ，与圆 Γ(O′;R)\Gamma(O^\prime; R) 交于点 X′X^\prime 。
  4. 则得到角 ∠X′O′Y′\angle X^\prime O^\prime Y^\prime 就是度量为 α\alpha 的角，即所求。

每个直径 ABAB 将圆平分为两个相同的部分，此时 ∠AOB\angle AOB 对应的度量为 180∘180^\circ 。

通常来说，我们很少遇到角度数大于 180∘180^\circ 的，除非明确说明，一般假设角度数都是说的是凸角 ∠AOB\angle AOB ，其度量为 0∘<AOB^≤180∘0^\circ <\widehat{AOB} \leq 180^\circ 。

锐角 (acute angle): 0∘<AOB^<90∘0^\circ <\widehat{AOB} <90^\circ 。

直角 (right angle): AOB^=90∘\widehat{AOB} = 90^\circ 。

钝角 (obtuse angle): 90∘<AOB^<180∘90^\circ <\widehat{AOB} <180^\circ 。

两角互补 (complementary): 如果两个角 α,β\alpha, \beta 的度量之和为 90∘90^\circ , 称这两个角互补 α+β=90∘\alpha + \beta = 90^\circ 。

定义 1.8: 对顶角 (opposite angle, OPP), 如果两个角 ∠AOB,∠COD\angle AOB, \angle COD 的两条边刚好是对应相反的两条射线，那么这两个角称为对顶角。

命题 1.9: 对顶角相等 (Two opposite angles have equal measures)。

证明: α+γ=180∘=β+γ\alpha + \gamma = 180^\circ = \beta + \gamma ，于是得到 α=β\alpha = \beta 。

练习

1.3 凸多边形 (convex polygons)

共线 (collinear): 平面内三点 A,B,CA,B,C , 如果 C∈AB↔C\in \stackrel{\leftrightarrow}{AB} , 则说这三个点共线。

三角形 (triangle): 平面内不共线的三个点 A,B,CA,B,C 构成一个三角形。此时称这三个点为三角形的顶点 (vertices)；线段 AB,BC,CAAB, BC, CA 叫做三角形的三条边 (sides, edges)。三角区域(triangular region) 对应于三角形 ABCABC 。

通常来说，如果不至于混淆，我们直接用三角形的三边长度做为它们对应的边，通常记号如上图所示 AB¯=c,AC¯=b,BC¯=a\overline{AB} = c,\overline{AC} = b,\overline{BC} = a 。

周长 (perimeter): 三角形的三边长度之和称为三角形的周长。通常我们使用 pp 表示半周长 (semiperimeter) (1.1)p=a+b+c2\bbox[10pt,border:1pt]{\begin{aligned}p = \frac{a+b+c}{2}\end{aligned}}\tag{1.1}\\

三角形内角 (interior angles): ∠A=∠BAC,∠B=∠ABC,∠C=∠ACB\angle A= \angle BAC, \angle B= \angle ABC, \angle C= \angle ACB , 或者 A^=BAC^,B^=ABC^,C^=BCA^ \widehat{A} = \widehat{BAC}, \widehat{B} = \widehat{ABC}, \widehat{C} = \widehat{BCA} 称为三角形的内角。

三角形的常见分类方法

  1. 按边长度来分类: 按照至少两边相等、任意两边都不相等来分类， 分为等腰三角形和不等边三角形。
  2. 按内角的度量来分类: 按照最大角的度数是钝角、直角还是锐角来分。

定义 1.10: 对于三角形 ABCABC 来说

等边三角形 (equilateral): 如果 AB¯=BC¯=AC¯\overline{AB} = \overline{BC} = \overline{AC} , 则三角形 ABCABC 为等边三角形。

等腰三角形 (isosceles): 如果 AB¯,BC¯,AC¯\overline{AB}, \overline{BC} ,\overline{AC} 至少有两个相等 , 则三角形 ABCABC 为等腰三角形。

不等边三角形 (Scalene): 如果 AB¯≠BC¯≠AC¯≠AB¯\overline{AB} \neq \overline{BC} \neq \overline{AC}\neq \overline{AB} ，则三角形 ABCABC 为不等边三角形。

注意: 等边三角形也是等腰三角形；但等腰三角形不一定是等边三角形。

底 (basis): 等腰三角形 ABCABC , 相等的两边为 AB¯=AC¯\overline{AB} = \overline{AC} , 那么 BCBC 边称为这个等腰三角形的底边。

对于等边三角形来说，任何一个边都是其底 (basis)；但是通常我们只称非等边的等腰三角形保留底边的概念。

根据三角形的定义，我们可以知道三角形是一种特殊的凸多边形。

定义 1.11: 凸多边形 (convex polygon), 设 n≥3n\geq 3 为自然数， A1,A2,⋯,AnA_1, A_2,\cdots, A_n 为平面内的 nn 个不同的点，如果对于 1≤i≤n1\leq i \leq n 下面两个条件满足 (取 An+1=A1A_{n+1} = A_1 ):

a) AiAi+1↔\overleftrightarrow{A_iA_{i+1}} 不包含任意其他的点 AjA_j 。

b) AiAi+1↔\overleftrightarrow{A_iA_{i+1}} 将其他点 AjA_j 都隔离在它自己确定的同一个半平面内。

那么就称 A1A2⋯AnA_1A_2\cdots A_n 为凸多边形。

顶点 (vertices): 点 A1,A2,⋯,AnA_1, A_2,\cdots, A_n 称为多边形的顶点。

边 (sides): 线段 A1A2,A2A3,⋯,AnA1A_1A_2, A_2A_3, \cdots, A_nA_1 称为多边形的边。

周长 (perimeter): 凸多边形所有边的和称为它的周长。

多边形区域 (polygonal region): 对应于多边形 A1A2⋯AnA_1A_2\cdots A_n 的多边形区域是平面的有界区域，其边界为多边形边的并集。

对于凸多边形同样有内角和外角的定义，内角对应的是凸角，外角与内角共一条边，另一边相反方向的射线为边。

一般称凸多边形 A1A2⋯AnA_1A_2\cdots A_n 为凸 n-gon，具有 n 条边和 n 个顶点。

四边形 (quadrilateral): n=4n=4 。

五边形 (pentagon): n=5n=5 。

六边形 (quadrilateral): n=6n=6 。

七边形 (heptagon): n=7n=7 。

八边形 (octagon): n=8n=8 。

十边形 (decagon): n=10n=10 。

同样用大写字母 AB,BC,CD,DAAB, BC, CD,DA 这些表示边。

命题 1.12: 每个凸 n-gon 刚好有 n(n−3)2\begin{aligned}\frac{n(n-3)}{2}\end{aligned} 条对角线。

证明: 三角形没有对角线， n=3:n(n−3)2=0\begin{aligned}n=3: \frac{n(n-3)}{2} =0\end{aligned} , 无需证明。

对于 n≥4n\geq 4 , 我们可以连接 A1A_1 到其他的 n−1n-1 个顶点 A2,⋯,AnA_2, \cdots, A_n , 得到 n−1n-1 条线段， 其中有两条 A1A2,A1AnA_1A_2, A_1 A_n 为两条边，那么剩下的 n−3n-3 条线段都是对角线 ( A1A3,⋯,A1An−1A_1A_3, \cdots, A_1A_{n-1} )。

因此对于任意一个顶点来说，我们都有 n−3n-3 条对角线，于是将这些加起来就得到 n(n−3)n(n-3) 条线段，但是其中任意一条对角线都被重复计算两次，于是就得证结论。

练习

本章主要介绍两个三角形视为相同的充要条件集，从某种意义上说，很快就会变得精确。我们在这里还讨论了欧几里得的第五公理 (平行公理), 以及它的几个有趣和重要的结论，最著名的是三角不等式。在本章最后还介绍了几种特殊类型的四边形。

2.1 SAS, ASA, SSS 情形

1. 边角边

例 2.1: 尺规作图，绘制等边三角形 ABCABC ，腰为给定线段的长度 ll

  1. 平面内任意选定一个点 AA 。
  2. 使用圆规以 AA 为圆心， ll 为半径绘制一个圆。
  3. 在圆上任意选定一个点作为 BB 。
  4. 然后使用圆规再次以 BB 为圆心， ll 为半径绘制另一个圆。
  5. 然后两个圆之间有两个交点，随便选哪一个作为 CC 点均可，这个时候得到所要的等腰三角形 ABCABC 。

这个例子中，我们构造了一个具有某种预先确定属性的三角形 (等边三角形)。在求解该例时，我们隐含的假设基本上有一个三角形满足所需的属性；换句话说，我们默认可以构造边长等于 ll 的任意等边三角形都应被视为我们实际要构造的等边三角形，因为它们之间的差异仅在于位置的不同而已。

这就引出了关于三角形的等式 (正确的说叫做等价 equivalence), 我们给它起一个特殊的名字全等 (congruence):

全等三角形: 两个三角形，如果移动其中一个三角形的位置，不让其变形，如果能和第二个三角形完全重合，那么称这两个三角形全等。

全等的两个三角形 ABC,A′B′C′ABC, A^\prime B^\prime C^\prime ，存在顶点的对应关系: A↔A′,B↔B′,C↔C′A\leftrightarrow A^\prime, B\leftrightarrow B^\prime, C\leftrightarrow C^\prime\\

因此也存在对应边和对应内角的相等: {A^=A′^,B^=B′^,C^=C′^AB¯=A′B′¯,AC¯=A′C′¯,BC¯=B′C′¯\left\{\begin{array}{ll} \widehat{A} = \widehat{A^\prime}, \widehat{B} = \widehat{B^\prime}, \widehat{C} = \widehat{C^\prime}\\ \overline{AB} = \overline{A^\prime B^\prime},\overline{AC} = \overline{A^\prime C^\prime},\overline{BC} = \overline{B^\prime C^\prime} \end{array} \right.\\

于是我们立即可以得到全等三角形具有下列性质:

  1. 对称性 (Symmetry): 两个三角形 ABC,DEFABC, DEF 全等，可以说成三角形 ABCABC 全等于 DEFDEF ，也可以说成 DEFDEF 全等于 ABCABC 。不管如何说， ABCABC 移动位置可以与 DEFDEF 在平面内重合；反过来 DEFDEF 移动位置也可以与 ABCABC 在平面内重合。

2. 传递性 (transitivity): 如果 ABCABC 全等于 DEFDEF ， DEFDEF 全等于 GHIGHI ，那么 ABCABC 全等于 GHIGHI 。

当然三角形与自身还是全等的。换句话说，全等满足: 1) 反身性、2) 对称性 3) 传递性，是一个等价关系。

三角形全等，记作 ABC≡A′B′C′,ABC≅A′B′C′ABC \equiv A^\prime B^\prime C^\prime, ABC\cong A^\prime B^\prime C^\prime\\

对应顶点 A↔A′,B↔B′,C↔C′A\leftrightarrow A^\prime, B\leftrightarrow B^\prime, C\leftrightarrow C^\prime\\

我们希望有一些比较简单的情形集合能帮助我们确定给定三角形是否全等。这些验证三角形全等的情形应该尽可能的简单。实际上的确存在这样的情形集合，这就是所谓的三角形全等情形 (cases of congruence of triangles)。

接下来，我们用非正式的角度来研究三角形全等的常见情形。每个这样的例子之前都涉及一个尺规作图的例子，对应例子的解题方法刚好反应了对应的情形。

例 2.2: 尺规作图，绘制给定三角形 ABCABC 的全等三角形，已知条件 AB¯=a,AC¯=b,A^=γ\overline{AB} = a, \overline{AC} = b,\widehat{A} = \gamma 。

换句话说已知三角形两条边和它们的夹角，让我们用尺规作图绘制一个全等的三角形。

添加图片注释，不超过 140 字（可选）

  1. 平面内选择一个点 CC ， 绘制一条射线 CX→\overrightarrow{CX} 。
  2. 绘制一个角 XCY^=γ\widehat{XCY} = \gamma ，这样就确定了另一条射线 CY→\overrightarrow{CY} 。
  3. 分别在两条射线 CX→,CY→\overrightarrow{CX}, \overrightarrow{CY} 上取两个点 B,A:AC¯=b,BC¯=aB,A: \overline{AC} = b, \overline{BC} = a 。

得到的三角形 ABCABC 即为所求。

添加图片注释，不超过 140 字（可选）

多次执行上述构造步骤，我们会发现，选择不同的点 CC ，对于 ∠XCY\angle XCY 点边可以选择两个不同的方向，得到的不同的三角形 ABCABC 都是全等的。这个例子就给出了我们一个全等的情形，也就是 SASSAS 情形。

公理 2.3(SAS 全等情形): 如果两个三角形的两条边以及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等。 AB¯=A′B′¯AC¯=A′C′¯A^=A′^}⟹SASABC≅A′B′C′\begin{aligned}\begin{equation} \left . \begin{aligned} \overline{AB}=\overline{A^\prime B^\prime}\\ \overline{AC}=\overline{A^\prime C^\prime}\\ \widehat{A} = \widehat{A^\prime} \end{aligned} \right\}\stackrel{SAS}{\implies} ABC\cong A^\prime B^\prime C^\prime \end{equation}\end{aligned}\\

对应顶点: A↔A′,B↔B′,C↔C′A\leftrightarrow A^\prime, B\leftrightarrow B^\prime, C\leftrightarrow C^\prime 。那么就可以得到: B^=B′^,C^=C′^,BC¯=B′C′¯\widehat{B} = \widehat{B^\prime}, \widehat{C} = \widehat{C^\prime}, \overline{BC} = \overline{B^\prime C^\prime}\\

2. 角边角

例题 2.4: 已知两个角 B^=β,C^=γ\widehat{B} = \beta, \widehat{C} = \gamma 和一条边 BC¯\overline{BC} ，尺规作图绘制全等三角形

  1. 绘制一条直线 rr , 并在上面取两点 B,C:BC¯=aB,C: \overline{BC}=a 。
  2. 绘制射线 BX→:CBX^=β\overrightarrow{BX}: \widehat{CBX} = \beta 。
  3. 在直线 rr 划分的两个半平面，包含点 XX 的一面绘制一条射线 CY→:BCY^=γ\overrightarrow{CY}: \widehat{BCY} = \gamma 。
  4. 标记两条射线 BX→,CY→\overrightarrow{BX}, \overrightarrow{CY} 的交点为 AA 。

则三角形 ABCABC 即为所求。

同样，我们可以重复上面的步骤绘制多个这样的三角形，让它们位置和方向不同，这些三角形是全等的。于是就激发我们得到第二个三角形全等的情形，称为 ASAASA 情形。

公理 2.5(ASA 全等情形): 如果两个三角形的两个角以及两个角所夹的边对应相等，则这两个三角形全等。

A^=A′^AB¯=A′B′¯B^=B′^}⟹ASAABC≅A′B′C′\begin{aligned}\begin{equation} \left . \begin{aligned} \widehat{A} = \widehat{A^\prime}\\ \overline{AB}=\overline{A^\prime B^\prime}\\ \widehat{B} = \widehat{B^\prime} \end{aligned} \right\}\stackrel{ASA}{\implies} ABC\cong A^\prime B^\prime C^\prime \end{equation}\end{aligned}\\

对应顶点: A↔A′,B↔B′,C↔C′A\leftrightarrow A^\prime, B\leftrightarrow B^\prime, C\leftrightarrow C^\prime 。那么就可以得到: C^=C′^,AC¯=A′C′¯,BC¯=B′C′¯\widehat{C} = \widehat{C^\prime}, \overline{AC} = \overline{A^\prime C^\prime}, \overline{BC} = \overline{B^\prime C^\prime}\\

3. 边边边

例 2.6: 已知三角形 ABCABC 的三条边长 AB¯=c,AC¯=b,BC¯=a\overline{AB} = c, \overline{AC} = b, \overline{BC} = a , 用尺规作图绘制另一个三角形三边与它们对应相等。

  1. 绘制线段 BC¯=a \overline{BC} =a 。
  2. 然后分别以 BB 为圆心绘制半径为 cc 的圆、以 CC 为圆心绘制半径为 bb 的圆。
  3. 记两个圆的两个交点之一为点 AA 。

则所得三角形即为所求。

同样，我们可以重复上述步骤多绘制几个三角形，这些三角形也是全等的，于是就激发了我们关于全等三角形情形的第三种情况。

公理 2.7(SSS 全等情形): 如果两个三角形对应的三条边相等，那么这两个三角形全等。

AB¯=A′B′¯BC¯=B′C′¯CA¯=C′A′¯}⟹SSSABC≅A′B′C′\begin{aligned}\begin{equation} \left . \begin{aligned} \overline{AB}=\overline{A^\prime B^\prime}\\ \overline{BC}=\overline{B^\prime C^\prime}\\ \overline{CA}=\overline{C^\prime A^\prime}\\ \end{aligned} \right\}\stackrel{SSS}{\implies} ABC\cong A^\prime B^\prime C^\prime \end{equation}\end{aligned}\\

对应顶点: A↔A′,B↔B′,C↔C′A\leftrightarrow A^\prime, B\leftrightarrow B^\prime, C\leftrightarrow C^\prime 。那么就可以得到: A^=A′^,B^=B′^,C^=C′^\widehat{A} = \widehat{A^\prime},\widehat{B} = \widehat{B^\prime},\widehat{C} = \widehat{C^\prime}\\

值得注意的是，ASA 和 SSS 全等情况可以由 SAS 情况推出，在下列意义下:

给定平面上的两个三角形，可以证明 ASA 或 SSS 的有效意味着这两个三角形满足 SAS。

但是这里只是做下说明，忽略掉也没有任何问题。

我们还有推论 2.22 以及问题 1 中介绍的三角形全等的另外两个情况，这些情况都可以从 ASA,SSSASA, SSS 情形推导出来。

最后说明一点，如果两个三角形全等，并且不会产生混淆的情况下，我们可以省略它们顶点之间的对应关系。当然为了理解，我们每次都最好建立三角形全等检查时隐含的顶点对应关系。

练习

a) 举一个例子，表明两个全等三角形，其中一个三角形不可能在平面内刚体运动 (移动且不变形) 与另一个三角形重合。然而，在空间中刚体运动，则可能达到两个三角形重合。

b) 上面例子中的两个全等三角形在什么意义上彼此不同，以至于这种差异解释了我们不能在平面内刚体运动让它们重合的事实呢?

2.2 全等应用

本节收集了上一节中研究的全等情形的一些有用应用。这些应用将在本书的后续部分中频繁出现，建议记住它们。

1. 角平分线

定义 2.8: 角平分线 (bisector): 给定一个角 ∠AOB\angle AOB , 它的角平分线就是射线 OC→:\overrightarrow {OC}: \ AOC^=BOC^\widehat{AOC} = \widehat{BOC} 。

或者说 OC→bisects∠AOB⟺AOC^=BOC^\overrightarrow {OC}\ \mathrm{bisects}\ \angle AOB\iff \widehat{AOC} = \widehat{BOC}\\

假设角平分线存在，则唯一 (不做证明)。

例 2.9: 尺规作图绘制角平分线

  1. 以 OO 为圆心绘制半径为任意长度 rr 的圆，标记圆与角的两条边的交点 X,YX,Y ，它们分别在射线 OA→,OB→\overrightarrow {O A}, \overrightarrow {OB} 上。
  2. 选择一个长度 s>12XY¯s > \frac{1}{2}\overline{XY} , 然后分别以 X,YX,Y 为圆心， ss 为半径绘制两个圆弧交于点 CC (与 OO 不重合)。

添加图片注释，不超过 140 字（可选）

如上图所示，所得的射线 OC→\overrightarrow{OC} 即为所求。

思考一下，上面的方法为何有效? 提示 SSSSSS 全等情形。

对于三角形 ABCABC 来说，具有内角平分线 (internal bisector) 的概念: 就是对应的三个内角的角平分线与对边交点之间的线段称为内角平分线，三角形内角平分线对应三个顶点或三条边有三个内角平分线。

2. 线段中点

结合 SSS,SASSSS, SAS 全等情形，我们可以构建一条线段的中点 (midpoint): 平分这条线段的点。

例 2.10: 构建线段 ABAB 的中点。

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  1. 取一个长度 r>12AB¯r > \frac{1}{2}\overline{AB} , 分别以端点 A,BA,B , 半径为 rr 绘制两个圆弧，交于两点 X,YX,Y 。
  2. 连接 XYXY 与直线 ABAB 交于一点 MM ， 则该点即为线段 ABAB 的中点。

为什么会这样？我们可以自行分析一下，先应用一次 SSSSSS ，然后再应用一次 SASSAS 即可。

添加图片注释，不超过 140 字（可选）

三角形中线 (median): 三角形 ABCABC 三个顶点与对边中点的连线称为三角形的中线，三角形有三条中线。

3. 垂线 (perpendicular)

平面内两条线段垂直 (perpendicular): 平面内两条直线 r,sr,s 如果交于一点，并且在该点形成一个 90∘90^\circ 的角，则称这两条直线垂直，记作 r⊥sr\perp s 。

下面例子展示了如何使用三角形全等情形来构造过直线外一点并垂直于该直线的垂线。

给定平面中的线 r 和 s，我们说 r 垂直于 s，s 垂直于 r，或者简单地说，如果 r 和 s 有一个共同点，并且在这个点上形成 90° 的角度，则 r 和 s 是垂直的（在这方面，另见第 12 页的问题 6）。我们将写 r⊥s 来表示 r 和 s 是垂直的。下一个例子展示了如何使用之前研究的同余情况来构造垂直于另一条给定直线并穿过给定点的直线。

例 2.11: 给定一条直线 rr 和一点 AA (可以在直线上)，绘制一条过点 AA 的 rr 的垂线。

情况 a) A∉r:A\not\in r:

  1. 用圆规其中一脚固定到 AA 点，然后调整夹角，绘制半径为 rr 的圆，交直线 rr 于两点 B,CB,C 。
  2. 构建线段 BCBC 的中点 MM ， 设 s=AM↔s =\overleftrightarrow{AM} 。

则直线 ss 即为所求垂线。可以通过 SSSSSS 全等情形来验证。

情况 b) A∈r:A\in r:

  1. 以 AA 为圆心，绘制一个圆交直线 rr 于点 B,CB,C 。
  2. 然后分别以 B,CB, C 为圆心绘制半径为 R>12BC¯R > \frac{1}{2}\overline{BC} 的两个圆，取这两个圆的两个交点之一 A′A^\prime , 则直线 AA′↔⊥r\overleftrightarrow{AA^\prime}\perp r 即为所求。

同样可以通过 SSSSSS 来验证。

垂足 (foot of perpendicular): 在 A∉rA\not\in r 的情形中， s⊥r,A∈ss\perp r, A\in s , 则 s,rs,r 交点称为 AA 到 rr 的垂线的垂足。

备注 2.12: 给定平面内的点 AA 和直线 rr ，则过 AA 且垂直于 rr 的直线唯一。

直线 rr 外的点 AA 到直线 rr 的距离 (distance) 就是 AP¯\overline{AP} , 其中 PP 即对应点 AA 关于直线 rr 的垂足。

后面我们会得到一个结论: 点 AA 与直线 rr 上的点构成的线段中垂线段最短。

三角形的高线 (height, altitude): 顶点和对边垂足之间的线段称为高线。

4. 等腰三角形底角相等

命题 2.13: 等腰三角形底角相等。

我们自行验证一下，只需要取底边的中线，利用 SSSSSS 即可证得。

推论 2.14: 等边三角形的三个内角相等。

这个直接由上面命题可推得，可以自行尝试一下，虽然简单，但是蛮有意思，也能锻炼对于理论的掌握。

练习

  1. 使用尺规作图，绘制三角形的内角平分线、中线、高线。

注解:

  • 三角形内角平分线和中线都是位于三角形内部，这点根据它们的定义直接可得。
  • 三角形的高线则不一定在三角形内。
  • 三角形的三条内角平分线都交于一点，同样的，中线和高线也是如此。这种性质与三角形无关。

2. 设平面内一点 AA 和一条直线 rr ， A∉rA\not\in r 。如果 A′A^\prime 是平面另外一点，满足 AA′↔⊥r\overleftrightarrow{AA^\prime}\perp r , 并且 rr 穿过 AA′↔\overleftrightarrow{AA^\prime} 的中点，那么这个点 A′A^\prime 和 AA 关于直线 rr 对称 (symmetric), 也称镜像对称。尝试尺规作图找到这样的点 A′A^\prime 。

3. 尺规作图: 构建三角形 ABCABC , 已知 AB¯=c,BC¯=a\overline{AB} = c, \overline{BC}=a 和关于点 AA 的中线长度 mam_a 。

2.3 平行 (parallelism)

1. 平行和共点

平面内两条不同的直线，只有两种可能关系: 要么有共同点，要么没有共同点。前者称为两直线共点 (concurrent); 后一种情形称为两直线平行 (parallel)。

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给定一条直线 rr 和直线外一点 A∉rA\not\in r , 我们现在来研究如何通过这个点 AA 来构造一条直线平行于 rr 。

为此 (to this end), 我们需要下面的辅助结论，即外角不等式 (exterior angle inequality)。

2. 三角形外角不等式

引理 2.15: 任意三角形，每个外角的度量要比它非相邻内角度量大。

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证明: 三角形 ABCABC ，取 ACAC 中点 MM ，并做射线 BB′BB^\prime 使得 MM 为 BB′BB^\prime 的中点。

利用对顶角和 SASSAS 全等情形，我们很容易证得 XCA^>B′CA^=B′CM^=BAM^=BAC^\widehat{XCA} > \widehat{B^\prime CA} = \widehat{B^\prime CM} = \widehat{BAM} = \widehat{BAC} \\ 同理我们还可以证明 YCB^>ABC^\widehat{YCB} > \widehat{ABC} 。

3. 过线外一点构建平行线

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例 2.16: 通过点 AA 绘制一条直线 ss 平行于给定直线 rr ，其中 A∉rA\not\in r 。

  1. 取 rr 直线上两个点 C,XC,X ，并连接 ACAC 。
  2. 构建角 ∠CAY\angle CAY 使得 CAY^=ACX^\widehat{CAY} = \widehat{ACX} , 其中 X,YX,Y 是关于直线 AC↔\overleftrightarrow{AC} 相反的半平面内的。
  3. 设 s=AY↔s=\overleftrightarrow{AY} 就平行于直线 rr 。

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证明上述操作是正确的，我们可以使用反证法，假设 AY,rAY, r 相交于一点 BB 。

那么我们考虑 C∈BXC\in BX 的情形 ( B∈CX,X∈BCB\in CX, X\in BC 的情形类似)。

通过构造过程，我们知道 BAC^=YAC^=ACX^\widehat{BAC} = \widehat{YAC}= \widehat{ACX} 。

另外，因为 ∠ACX\angle ACX 是三角形 ABCABC 的一个外角，因此就有 BAC^<ACX^\widehat{BAC} < \widehat{ACX} 。

这样就产生矛盾，假设不成立，因此所做直线确实为所求平行线。 #

4. 平行线公设

欧几里德在他的著作《几何原本》中，将平行线的独特性作为一个公设，在文献中称为第五公设，或平行线公设。然而，对于大多数研究欧几里德著作的数学家来说，从古典到近代早期，这样的假设似乎比前四个假设复杂得多，这使他们认为有可能从前四个假设中推导出它，作为一个定理。然而，所有试图找出这样一个证据的努力都是徒劳的。然后，在 19 世纪初，匈牙利数学家 János Bolyai 和俄罗斯数学家 Nikolai Lobatchevsky 独立工作，表明确实有必要将平行的唯一性作为一个假设。更确切地说，他们所做的是构建另一种类型的几何，即今天的双曲几何，其中欧几里得的前四个公设仍然有效，尽管通过一个不属于给定直线的点，会有无数条平行于给定直线的直线通过。

公设 2.17(第五公设): 平面内给定一条直线 rr 和给定一个点 A∉rA \not\in r , 存在唯一的过该点 AA 且平行于该直线 rr 的直线。

通过上面的假设，例 2.16 就展示了使用尺规作图绘制过给定直线外一点平行于该直线的平行线的方法。当然，这种方法稍微有点复杂，后面在 2.5 节还有另一种简单的构造方法。

平行线记作 r∥sr \parallel s (一般向左倾斜一点)。

我们有了欧几里德的第五公设，我们就可以得到欧氏几何中的一些重要结论。

平面内给定三条直线 r,s,tr,s,t ，使得直线 tt 与直线 r,sr,s 分别交于两个不同的点 A,BA,B ，如山图所示。

内错角 (alternate interior angles): 比如上图中的角 α,β\alpha,\beta 。

同旁内角 (consecutive interior angles): 比如上图的角 α,γ\alpha,\gamma 。

推论 2.18: 使用上图 2.11 中的记号, 我们有 r∥s⟺α=β⟺α+γ=180∘r\parallel s\iff \alpha = \beta \iff \alpha + \gamma = 180^\circ\\

说明:

  1. 构造平行线的过程用的是内错角相等。换句话说内错角相等两直线平行。
  2. 而推论只需要说明同旁内角互补即可说明两直线平行，反之亦然。

5. 三角形内角和为 180 度

定理 2.19: 三角形内角和为 180∘180^\circ 。

只需要过其中一点作对边的平行线即可利用推论 2.18 得到该结论。

推论 2.20: 等边三角形的每个内角为 60∘60^\circ 。

推论 2.21(外角定理 exterior angle theorem): 三角形中，任意一个角对应的外角等于另外两个不相邻的内角之和。

定理 2.19 也让我们可以根据内角的度量来分类三角形。因为它能保证在一个三角形中，只有一个内角大于等于 90∘90^\circ 。我们只需要利用反证法即可证得。

  • 锐角三角形 (acute triangle) 有三个锐角。
  • 直角三角形 (right triangle) 只有一个直角。
  • 钝角三角形 (abtuse triangle) 只有一个钝角。
  • 直角三角形，直角对边称为斜边 (hypotenuse), 直角边称为腿 (legs)。

6. AAS 全等情形

推论 2.22(AAS 全等情形): 两个内角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

A^=A′^B^=B′^BC¯=B′C′¯}⟹AASABC≅A′B′C′\begin{aligned}\begin{equation} \left . \begin{aligned} \widehat{A} = \widehat{A^\prime}\\ \widehat{B} = \widehat{B^\prime}\\ \overline{BC}=\overline{B^\prime C^\prime} \end{aligned} \right\}\stackrel{AAS}{\implies} ABC\cong A^\prime B^\prime C^\prime \end{equation}\end{aligned}\\

对应顶点: A↔A′,B↔B′,C↔C′A\leftrightarrow A^\prime, B\leftrightarrow B^\prime, C\leftrightarrow C^\prime 。那么就可以得到: C^=C′^,AC¯=A′C′¯,AB¯=A′B′¯\widehat{C} = \widehat{C^\prime}, \overline{AC} = \overline{A^\prime C^\prime}, \overline{AB} = \overline{A^\prime B^\prime}\\

证明: 这个命题直接利用三角形内角和为 180 度，然后转换为 ASAASA 情形即可。

同样关于 AAS 全等的情况，假设我们知道三角形的一边的长度和两个内角的度量，其中一个内角与给定边相对 (图 2.15）。使用尺规作图构造三角形的问题将在例 2.34 中讨论。

练习

2.4 三角不等式

本节的主要目的是介绍三角形中两边之和大于第三边。

1. 大角对大边

命题 2.23: 大角对大边。若三角形 ABCABC 有 B^>C^ \widehat{B} > \widehat{C} , 那么 AC¯>AB¯\overline{AC} > \overline{AB} 。

证明: 因为 B^>C^ \widehat{B} > \widehat{C} ，那么可以可以从 BB 点画一条射线 BX→\overrightarrow{BX} , 让该射线穿过三角形 ABCABC 内部，并且满足 CBX^=12(B^−C^)\begin{aligned}\widehat{CBX} =\frac{1}{2}(\widehat{B} - \widehat{C})\end{aligned}\\

并设这条射线与 ACAC 交于点 PP 。

则有 APB^=CPB^+C^=12(B^−C^)+C^=12(B^+C^)\begin{aligned} \widehat{APB} &=\widehat{CPB} + \widehat{C} \\&=\frac{1}{2}(\widehat{B} - \widehat{C}) + \widehat{C} \\&=\frac{1}{2}(\widehat{B} + \widehat{C}) \end{aligned}\\

而 ABP^=B^−CBX^=C^+12(B^−C^)=12(B^+C^)\begin{aligned} \widehat{ABP} &=\widehat{B} - \widehat{CBX} \\&=\widehat{C}+\frac{1}{2}(\widehat{B} - \widehat{C}) \\&=\frac{1}{2}(\widehat{B} + \widehat{C}) \end{aligned}\\

因此得到 APB^=ABP^\begin{aligned} \widehat{APB} = \widehat{ABP} \end{aligned}\\

三角形 ABPABP 为等腰三角形， AB¯=AP¯<AC¯\overline{AB} = \overline{AP} < \overline{AC} #

推论 2.24: 钝角三角形中钝角所对的边最长；直角三角形斜边最长。

如果三角形 ABCABC 中 A^≥90∘\widehat{A} \geq 90^\circ , 那么 BC¯\overline{BC} 是最大边。特别的，在直角三角形中，斜边是最大边。

证明: 因为 A^≥90∘\widehat{A} \geq 90^\circ ，根据三角形内角和为 180 度，足以说明 ∠A\angle A 为最大角，因此它所对的边为最大边。#

推论 2.25: 两个三角形如果两对边对应相等，则这两组边所夹角越大，所对的对边长越长。

设 ABC,A′B′C′ABC, A^\prime B^\prime C^\prime 为两个三角形，其中 AB¯=A′B′¯\overline{AB} = \overline{A^\prime B^\prime} , AC¯=A′C′¯\overline{AC} = \overline{A^\prime C^\prime} , 如果 BAC^<B′A′C′^ \widehat{BAC} < \widehat{B^\prime A^\prime C^\prime} , 则 BC¯<B′C′¯\overline{BC} < \overline{B^\prime C^\prime} 。

证明: 直线 AC↔\overleftrightarrow{AC} 确定了两个半平面，我们选择包含 BB 点的那个半平面 α\alpha 。

在半平面 α\alpha 中取一点 DD ，使得 DAC^=B′A′C′^ \widehat{DAC} = \widehat{B^\prime A^\prime C^\prime} 且 AD¯=A′B′¯\overline{AD} = \overline{A^\prime B^\prime} (也就是把两个三角形放在一起，全等)。

很容易利用 SASSAS 证明 ΔDAC≅ΔB′A′C′\Delta DAC\cong \Delta B^\prime A^\prime C^\prime ，因此 DC¯=B′C′¯\overline{DC} = \overline{B^\prime C^\prime} 。

我们只需要证明 BC¯<DC¯\overline{BC} < \overline{DC} 即可，而根据大角对大边，大边对大角，我们只需要证明 DBC^>BDC^ \widehat{DBC} > \widehat{B D C} 即可。

而这个时候有两种情况需要考虑: 点 A,DA, D 是位于直线 BCBC 同侧还是两侧。

(i) 点 A,DA, D 是位于直线 BCBC 同侧 (图 2.17 左图)。

因为ΔABD\Delta ABD 是底边为 BDBD 的等腰三角形，于是就有 DBA^=BDA^ \widehat{DBA} = \widehat{BDA} 。

而有 DBC^>DBA^\widehat{DBC} > \widehat{DBA} , BDA^>BDC^ \widehat{BDA}> \widehat{BDC} ， 因此得证 DBC^>BDC^ \widehat{DBC} > \widehat{B D C} 。

(ii) 点 A,DA, D 是位于直线 BCBC 两侧 (图 2.17 右图), 要证明 DBC^>BDC^ \widehat{DBC} > \widehat{B D C} , 它们两个在同一个三角形中，一个三角形中只能有一个是钝角，所以只需证明前者为钝角即可。设 AB↔\overleftrightarrow{AB} 交 CDCD 于点 EE 。

因为ΔABD\Delta ABD 是底边为 BDBD 的等腰三角形，因此可得到 ABD^<90∘\widehat{ABD} < 90^\circ ，那么它的补角 DBE^>90∘\widehat{DBE} > 90^\circ 为钝角。

而 DBC^=DBE^+EBC^>DBE^ \widehat{DBC} = \widehat{DBE} + \widehat{EBC} > \widehat{DBE} , 更是钝角。 #

2. 三角不等式

定理 2.26: 任何三角形中，两边之和大于第三边。

证明: 设 ΔABC\Delta ABC , 按照之前三角形的符号约定，我们只需要证明 a<b+c a < b+c 即可 (另外两个不等式的证明类似)。

延长线段 CACA 到 DD ，使得 AB¯=AD¯\overline{AB}=\overline{AD} ，连接 DBDB 。

于是就有 CD¯=CA¯+AD¯=b+c\overline{CD} = \overline{CA} + \overline{AD} =b+c 。要证 a<b+c a < b+c , 即证明 BC¯<CD¯ \overline{BC} < \overline{CD} 。

根据大角和大边关系，我们只需要证明 BDC^<DBC^\widehat{BDC} < \widehat{DBC} 即可。

而 DBC^=DBA^+CBA^DBA^=BDA^=BDC^}⟹BDC^<DBC^\begin{aligned}\begin{equation} \left . \begin{aligned} \widehat{DBC} = \widehat{DBA} + \widehat{CBA}\\ \widehat{DBA} = \widehat{BDA} = \widehat{BDC} \end{aligned} \right\}\implies \widehat{BDC} < \widehat{DBC} \end{equation}\end{aligned}\\

得证。 #

3. 关于三角形换元法的一点点说明

设 a,b,ca,b,c 为给定三角形的三条边，那么就可以得到三角不等式 a+b>c,a+c>b,b+c>aa+b > c, a+c > b, b+c>a\\

那么，反过来，如果有三个实数满足上面的不等式关系，那么一定可以构造一个以这三个实数为边长的三角形。

很多情况下，我们三角形换元法的原理就来自这里。

4. 三角形内点相关的不等关系

例 2.27: 若 PP 是三角形 ABCABC 内的一点，则有

(a) PB¯+PC¯<AB¯+AC¯\overline{PB} + \overline{PC} < \overline{AB} + \overline{AC}

(b) PA¯+PB¯+PC¯<AB¯+AC¯+BC¯\overline{PA}+ \overline{PB} + \overline{PC} < \overline{AB} + \overline{AC}+ \overline{BC}

证明:

a) 利用三角形不等式可证得， 延长 BPBP 交 ACAC 于 QQ 点。

在 ΔPQC\Delta PQC 中 PC¯<PQ¯+QC¯\overline{PC} < \overline{PQ}+\overline{QC} , 所以 PB¯+PC¯<PB¯+PQ¯+QC¯=BQ¯+QC¯\overline{PB} + \overline{PC} < \overline{PB}+ \overline{PQ}+\overline{QC} = \overline{BQ}+\overline{QC}。

在 ΔABQ\Delta ABQ 中 BQ¯<AQ¯+AB¯\overline{BQ} < \overline{AQ}+\overline{AB} , 所以 PB¯+PC¯<BQ¯+QC¯<AQ¯+AB¯+QC¯\overline{PB} + \overline{PC} < \overline{BQ}+\overline{QC} < \overline{AQ}+\overline{AB} + \overline{QC}。

也就是 PB¯+PC¯<AQ¯+AB¯+QC¯<(AQ¯+QC¯)+AB¯ \overline{PB} + \overline{PC} < \overline{AQ}+\overline{AB} + \overline{QC} < (\overline{AQ}+ \overline{QC})+\overline{AB} , AQ¯+QC¯=AC¯\overline{AQ}+ \overline{QC} = \overline{AC} ,

于是证得 PB¯+PC¯<AB¯+AC¯\overline{PB} + \overline{PC} < \overline{AB} + \overline{AC} 。 b) 利用 a) 结论，我们分别可得到 PB¯+PC¯<AB¯+AC¯PA¯+PB¯<AC¯+BC¯PA¯+PC¯<AB¯+BC¯\overline{PB} + \overline{PC} < \overline{AB} + \overline{AC}\\ \overline{PA} + \overline{PB} < \overline{AC} + \overline{BC}\\ \overline{PA} + \overline{PC} < \overline{AB} + \overline{BC}\\ 左右对应相加即得: 2(PA¯+PB¯+PC¯)<2(AB¯+AC¯+BC¯)2(\overline{PA}+ \overline{PB} + \overline{PC}) < 2(\overline{AB} + \overline{AC}+ \overline{BC}) , 于是得证。 #

4. 将军饮马

例 2.28: 如图 2.20, 使用尺规作图找一个点 P∈rP\in r 使得 PA¯+PB¯\overline{PA} + \overline{PB} 尽可能的小。

传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：从 A 地出发到河边饮马，然后再到 B 地，求怎样走使路线最短，并且求如何确定饮马的地点。提起路线最短的问题。将军每天从军营 A 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的 B 地开会，求怎样走才能使路程最短。这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它． 从此，这个被称为 “将军饮马” 的问题广泛流传．

解: 用尺规作图标记出点 AA 关于直线 rr 的对称点 A′A^\prime 。我们要求的是 PA¯+PB¯\overline{PA} + \overline{PB} 的最小值问题。

而 PA¯=PA′¯\overline{PA} = \overline{PA^\prime} , 因此问题转换为求 PA′¯+PB¯\overline{PA^\prime} + \overline{PB} 的最小值问题。

对于定点 A′,BA^\prime, B 来说，连接两点的直线段距离最短 (三角不等式的结论)。连线与直线 rr 的交点 QQ 即为所求。

5. 练习

2.5 特殊四边形 (special quadrilaterals)

在本节中，我们开始对凸四边形的几何进行系统研究。在各种特殊的凸四边形类型中，最主要的肯定是平行四边形。

1. 平行四边形 (parallelogram)

定义 2.9: 两组对边都平行的凸四边形称为平行四边形。

稍后我们将讨论一些定义平行四边形的等价方法。我们需要将这些结论视为平行四边形的显著特点，后面我们会反复使用它们。

命题 2.30: 凸四边形为平行四边形当且仅当它的对角相等。

说明: 关于平行四边形对角相等，可以利用平行同旁内角互补，可以推出对角相等，这是平行四边形的性质定理。

而反过来，如果对角相等，我们可以利用四边形内角和为 360∘360^\circ 证得同旁内角互补，证得对边平行。

命题 2.31: 凸四边形为平行四边形当且仅当它的两组对边相等。

正向可以用角角边判定三角形全等来证得，这是平行四边形性质定理。

反向可以利用边边边判定三角形全等来得到对顶角相等，然后用命题 2.30 可证得。

2. 平行四边形性质应用举例

例 2.32: 给定直线 rr 和直线外一点 A∉rA\not\in r , 使用尺规作图绘制过点 AA 且平行于 rr 的直线。

  1. 过点 AA 绘制一个圆, 半径为 RR ，交直线 rr 于两个不同的点 B,CB, C 。
  2. 过点 AA 绘制一个圆，半径为 BC¯\overline{BC} 。
  3. 过点 CC 绘制一个圆，半径为 RR ，也就是跟步骤 1 中的圆半径一样。
  4. ⊙C,⊙B\odot C, \odot B 交于两个点，我们取在 rr 同侧的那个交点记作 DD 。
  5. 那么凸四边形 ABCDABCD 为平行四边形， AD∥BCAD\parallel BC , 即为所求。

我们这里的原理是利用两组对边相等的四边形为平行四边形来保证过程的正确性的。

例 2.33: 给定两条边和锐角夹角，绘制平行四边形。

  1. 绘制一条直线 rr ，在其上取长度为 bb 的线段 ABAB (也可以选择长度为 aa , 注意后面对应即可)。
  2. 构建一个角度为 α\alpha 的角 ∠BAX\angle BAX 。
  3. 然后在射线 AX→\overrightarrow{AX} 上取线段 AD¯=a\overline{AD} = a ，截点为 DD 。
  4. 然后过点 DD 绘制平行于 AB↔\overleftrightarrow{AB} 的直线，过点 BB 绘制平行于 AD↔\overleftrightarrow{AD} 的直线，取它们的交点 CC 。
  5. 则四边形 ABCDABCD 即为所求。

例题 2.34: 给定两个角和一条边，绘制三角形。

3. 平行四边对角线互相平分

命题 2.35: 凸四边形为平行四边形当且仅当对角线互相平分。

4. 三角形中位线 (midsegment)

中位线 (midsegment): 三角形连接两边中点的线段称为中位线。三角形有三条中位线。

上图展示了三条中位线，其中三角形 MNPMNP 称作中位三角形 (midial triangle)。

命题 2.36: 三角形中位线平行于底边且长度为底边的一半。

例 2.37: 中位线定理应用, 给定三角形的三边中点位置，绘制这个三角形。

5. 三角形重心 (barycenter)

三角形中线 (median): 连接顶点到对边中点的线段称为三角形的中线。三角形有三条中线，三条中线交于一点，这一点称为三角形的重心 (barycenter)。关于三条中线交于一点，可以利用平行四边形性质得到。

命题 2.38: 三角形三条中线交于一点，这点称为重心。重心将中线一分为两段，比例为 2:1。

在后续内容中，除非另外明确说明，否则我们将用 G.OG.O 表示三角形 ABCABC 的重心。三角形的重心是一个显著点之一。另外还有一些其他的心， 比如外心 (circumcenter), 内心 (incenter), 正交中心 (orthocenter)。这些将在 3.2 节中学习。

6. 梯形 (trapeziod, trapzium)

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (58 页的问题 1)。然而，四边形的两组对边平行，可以相等也可以不相等。这种情况下我们称之为梯形。显然平行四边形为梯形，但梯形不一定是平行四边形。

在梯形中，平行的两条边称为底边 (bases)，也就是我们常说的梯形的上底和下底 (larger, smaller bases)。另外两条边称为梯形的腰 (legs)。

每当我们处理如图 2.29 所示的梯形 ABCDABCD 中的几何构造问题时，经常可以观察到 (参见图 2.30），如果 E,FE,F 是线 AB↔\overleftrightarrow{AB} 上的点，其中 ADCE,BDCFADCE, BDCF 是平行四边形，那么:

  1. 三角形 BECBEC : BE¯=AB¯−CD¯,CE¯=AD¯\overline{BE} = \overline{AB} - \overline{CD}, \overline{CE} = \overline{AD} , BCE^= \widehat{BCE} = 直线 AD↔,BC↔\overleftrightarrow{AD}, \overleftrightarrow{BC} 所形成的夹角。
  2. 三角形 ACFACF : AF¯=AB¯+CD¯,CF¯=BD¯\overline{AF} = \overline{AB} + \overline{CD}, \overline{CF} = \overline{BD} , ACF^= \widehat{ACF} = 直线 AC↔,BD↔\overleftrightarrow{AC}, \overleftrightarrow{BD} 所形成的夹角。

例 2.39: 绘制梯形

7. 欧拉中线

在我们继续之前，我们需要对梯形设置更多的约定，即:

梯形中线: 连接腿中点的线段是梯形的中段。

欧拉中线: 而连接对角线中点的线段则是欧拉中线。

接下来的命题教我们如何根据梯形底的长度计算这些线段的长度。

直角梯形: 其中一个底角为直角的梯形称为直角梯形。

等腰梯形: 腰相等的梯形称为等腰梯形。

8. 矩形 (rectangle) 和菱形(rhombus)

为了完成我们对更基本的四边形特殊类型的研究，现在让我们看看矩形和菱形。如果凸四边形的所有内角都具有相等的度量，则凸四边形是矩形。

由于第 38 页的问题 11 表明凸四边形内角的度量之和总是等于 360°，因此我们得出结论，当且仅当其四个内角的度量等于 90° 时，凸四边形是矩形。如果其四条边的长度都相等，则凸四边形就是菱形。图 2.33 显示了矩形和菱形的示例。

由于矩形的两侧总是平行的 (因为它们都垂直于其他两侧），我们得出结论，每个矩形都是平行四边形。另一方面，命题 2.31 保证每个菱形也是平行四边形。

上述讨论使我们能够定义两条平行线之间的距离。为此，首先注意，如果 r∥sr\parallel s 是平行线，那么 (参见推论 2.18) 线 t⊥rt\perp r ，当且仅当 t⊥st\perp s 。

定义 2.41: 平行线之间的距离 (distance)

平行线之间的距离相等，可以由矩形的性质推得。

另外根据距离定义，我们还可以给出一种绘制平行线的简单方法:

例 2.42: 绘制距离给定直线 rr 为 dd 的平行线。

命题 2.43: 平行四边形为矩形当且仅当对角线相等。

推论 2.44: 直角三角形斜边中线长度为斜边的一半。

例 2.45: 绘制直角三角形

命题 2.46: 平行四边形为菱形当且仅当它的对角线互相垂直。

9. 正方形 (square)

我们希望在这一点上研究的最后一种凸四边形是正方形，即同时是矩形和菱形的四边形（参见图 2.38）。因此，正方形具有相等的边和内角；此外，它的对角线也是相等和垂直的，在它们的中点相交，与正方形的边成 45° 角。（证明这最后一点！）

练习

本章发展的轨迹 (loci) 概念对于深入理解欧氏几何中的综合方法 (synthetic method) 至关重要。在我们掌握了这个概念之后，我们能够讨论三角形和四边形的各种其他有趣的性质，其中我们强调了将这些多边形内嵌 (inscribing) 在圆上的问题。

3.1 基本轨迹 (Loci)

1. 轨迹 (Locus)

定义 3.1: 给定平面中相对于点的一个性质 P\mathcal{P} ，具有性质 P\mathcal{P} 的点的轨迹 (Locus) 是满足以下两个条件的平面的子集 L\mathcal{L} :

a) L\mathcal{L} 中的每个点都具有性质 P\mathcal{P} 。

b) 平面中每个具有性质 P\mathcal{P} 的点都属于 L\mathcal{L} 。

换言之，如果 L\mathcal{L} 由满足性质 P\mathcal{P} 的平面上的点精确形成，则 L\mathcal{L} 恰好是性质 P\mathcal{P} 的轨迹。

2. 基本轨迹

接下来，我们将研究一些基本轨迹以及它们的一些应用 (图 3.1）。

例 3.2: 给定正实数 rr 和平面内一点 OO ，那么平面上满足到点 OO 距离为 rr 的点的轨迹是以 OO 为圆心，半径为 rr 的圆: AO¯=r⟺A∈Γ(O;r)\overline{AO} = r\iff A\in\Gamma(O;r)\\

例 3.3: 平面内与给定直线 rr 距离为 dd 的点的轨迹是两条平行于直线 rr 的直线 s,s′s, s^\prime ，它们满足到 rr 距离为 dd 。

例 3.4: 绘制给定线段 ABAB 的垂直平分线。

线段 ABAB 的垂直平分线 (perpendicular bisector of AB): 垂直 ABAB 且经过其中点的直线。

分别以 A,BA,B 为圆心， r>12AB¯r > \frac{1}{2}\overline{AB} 为半径绘制两个圆，得到两个圆的交点 X,YX,Y ， 则连线 XYXY 所在直线即为所求 (图中橙色直线)。

垂直平分线与 ABAB 的交点 MM 恰好为 ABAB 的中点。另外 ΔPAB\Delta PAB 为等腰三角形，利用等腰三角形性质也可以得到这样的结论。

命题 3.5: 给定平面内两个不同点 A,BA,B ，则线段 ABAB 的垂直平分线就是平面内那些到 A,BA,B 距离相等的点的轨迹。

证明: 设 M,mM, m 分别为线段 ABAB 的中点和垂直平分线。

若 P∈mP\in m , 则在 ΔPAB\Delta PAB 中， PMPM 为中线和高线，我们很容易证明 ΔPAB\Delta PAB 是一个以 ABAB 为底的等腰三角形。于是得到 PA=PBPA = PB 。

反过来，如果 PA¯=PB¯\overline{PA} = \overline{PB} , 同样可以知道ΔPAB\Delta PAB 是一个以 ABAB 为底的等腰三角形，而等腰三角形三线合一，因此 PM↔\overleftrightarrow{PM} 为 ABAB 的垂直平分线。

命题 3.6: 设 ∠AOB\angle AOB 为给定的一个角。若 PP 为平面内的点，那么 d(P,AO→)=d(P,BO→)⟺P∈(bisectorof∠AOB)d(P,\overrightarrow{AO}) =d(P,\overrightarrow{BO})\iff P\in (\mathrm{bisector\ of\ }\angle AOB )\\

证明自行尝试，不难，后面简单的证明我们直接略掉。

例 3.7: 平面内两条相交于 OO 的直线 r,sr,s , 那么平面内到两条直线距离相等的点的轨迹是平分两条直线 r,sr,s 所形成的角的两个角平分线。

因此，平面上与两条相交线等距的点的轨迹是它们形成的角的平分线的并集。

3. 应用举例

在研究了一些基本轨迹后，值得谈谈用尺规作图构造满足给定几何条件的图形的一般问题。然而，从另一个角度来看，解决此类问题的标准方法基本上包括执行以下两个步骤:

  1. 假设问题已经解决: 我们绘制所需的图形，识别问题数据以及可以引导我们进行实际构建的几何元素。
  2. 为问题构建关键点: 关键点 (key point)，一旦构建好，就可以立即或几乎立即进行必要的后续构建，从而使我们能够解决问题。为了构建与某个问题对应的关键点，我们应该仔细检查所审查情况中涉及的几何特性，以便在各种情况下识别出所需点所属的两个不同的轨迹。这样，关键点就被确定为这些轨迹的交点。

例 3.8: 绘制经过两个定点 A,BA,B ，且圆心在给定直线 rr 上的圆。

构建步骤:

  1. 假设问题已经解决，我们要构建的圆如下图所示:

2. 关键点是圆的圆心 OO ，一旦我们找到圆心 OO ，那么我们就可以用圆规画圆，不管是用半径 OA¯,OB¯\overline{OA}, \overline{OB} 都行。

要找到 OO 点，我们需要 OO 所在的两个不同的轨迹。其中一个轨迹就是直线 rr 本身，这个问题要求如此。

另外一方面，因为 OA,OBOA,OB 都是半径，因此 OA¯=OB¯\overline{OA} = \overline{OB} , 因此 OO 必定在 ABAB 线段的垂直平分线上，因而这就是我们的第二个轨迹。

有了上面的分析，剩下的就是构建线段 ABAB 的垂直平分线，然后这个垂直平分线与直线 rr 的交点就是我们所要寻找的圆心 OO ，最后就是绘制我们所要求的圆，完成任务。

练习

3.2 三角形中值得注意的点 (Notable Points of a Triangle)

在本节中，我们应用轨迹的概念来研究三角形的几个更显著的点，即外心、正交中心和内心。回想一下，我们已经在命题 2.38 中定义并研究了重心的主要性质。

外心 (circumcenter): 三角形外接圆的圆心， 三条边的垂直平分线的交点。

正交中心 (orthocenter): 三角形的三条边的垂线交点，也称为垂心。

内心 (incenter): 三角形的内切圆的圆心。

重心 (barycenter): 三角形三条中线的交点。

1. 外心

命题 3.9: 三角形的三条边的垂直平分线交于一个点，称之为三角形的外心 (circumcenter)。

证明: 我们设三条边的垂直平分线为 r,s,tr,s,t , 并设 r,sr,s 交于点 OO ，我们只需要证明 O∈tO\in t 即可。事实上很容易得到。

例 3.10: 构建三角形 ABCABC 的外心。

2. 垂心 (orthocenter)

作为上述讨论的推论，我们可以研究三角形高线的重合问题。首先注意，如果三角形是钝角的 (图 3.7），那么从锐角顶点出发的高度在三角形的外部。

而对于直角三角形形来说，两条直角边分别互为另一条直角边的高线，而斜边高线经过直角顶点，三条高线交于直角顶点。

对于锐角三角形来说，我们稍后说明。

命题 3.11: 三角形的三条高线 (altitudes) 交于一点，称为三角形的垂心 (orthocenter)。

证明: 关于直角三角形的高线交于一点上面已经说明，而锐角三角形和钝角三角形的证明过程基本类似。

我们仅说明一下锐角三角形的三条高线交于一点的证明方法，非常有趣。我们通过构造另外一个三角形 MNPMNP , 可以把 ΔABC\Delta ABC 的高线交点问题转换为 ΔMNP\Delta MNP 的外心问题。

构造 ΔMNP\Delta MNP : 分别过 ΔABC\Delta ABC 的三个顶点做对边的平行线 r,s,tr,s,t , 设这三条直线两两相交于 M,N,PM,N,P 三点，它们作为 ΔMNP\Delta MNP 的顶点。

我们很容易证得 A,B,CA,B,C 刚好是 NP,PM,MNNP, PM, MN 三条线段的中点。

那么 ΔABC\Delta ABC 的三条高线刚好就是 NP,PM,MNNP, PM, MN 的垂直平分线，也就是说问题转换为ΔMNP\Delta MNP 的外心问题。问题就得以解决。

推论 3.12: 三角形的外心是其中点三角形的垂心。

The circumcenter of a triangle is the orthocenter of its medial triangle.

这个证明刚好就是上面命题 3.11 锐角三角形所述过程的反过来。

例 3.13: 绘制三角形 ABCABC 的垂心。

3. 内心 (incenter)

最后我们检查下三角形内角平分线的交点问题。

命题 3.14: 三角形内角平分线交于一点，称这个点为三角形的内心 (incenter)。

证: 设 ΔABC\Delta ABC 的三条内角平分线分别为 r,s,tr,s,t , 并假设 r,sr,s 交点为 II , 我们只需要证明 I∈tI\in t 即可，这点很容易证明，角平分线是到角两边距离相等的点的轨迹。

例 3.15: 绘制三角形的内心。

我们以一个重要的符号注释来结束这一节: 大多数时候，当我们处理某个给定三角形 ABCABC 的几何时，除非另有说明，否则我们将用 GG 表示其重心，用 HH 表示其正中心，用 II 表示其内心，用 OO 表示其外心。

练习

3.3 圆中的切线和角 (Tangency and Angles in the Circle)

本节首先研究初等欧氏几何中最重要的概念之一，即直线和圆相切的概念。

1. 圆的切线

相切 (tangent): 如果 r,Γr, \Gamma 只有一个共同点 PP ，则称 r,Γr,\Gamma 相切， 圆 Γ\Gamma 与直线 rr 相切，或者说 rr 是 Γ\Gamma 的切线。这个共同点 PP 称之为切点 (tangency point)。

命题 3.16: 设 Γ\Gamma 为以圆心 OO 的圆， PP 为 Γ\Gamma 上一点。如果 tt 是过点 PP 且垂直于 OP↔\overleftrightarrow{OP} 的直线，则 tt 是 Γ\Gamma 的切线。

证明: 已知条件为 tt 是过点 PP 且垂直于 OP↔\overleftrightarrow{OP} 的直线，要证明 tt 是 Γ\Gamma 的切线。

目前我们只有切线的定义可用，也就是说只要证明直线 tt 上任何非 PP 之外的点都不在圆上即可。

设 Q≠PQ\neq P 为 tt 直线上的另一个点，则因为在三角形 ΔOPQ\Delta OPQ 中 ∠OPQ\angle OPQ 为直角，是这个三角形中唯一的最大的角，大角对大边，因此 QO¯>PO¯\overline{QO} > \overline{PO} ，于是就得证 Q∉ΓQ\not\in \Gamma 。命题得证。

例 3.17: 绘制圆上某点的切线。

不难看出 (参见问题 1，第 81 页），通过点 PP 与圆相切的线是唯一的。另一方面，如果 PP 位于圆的外部，我们将在命题 3.26 中看到，正好有两条直线与 Γ\Gamma 相切并经过点 PP 。(注意原书这里有误，说 PP 在圆内部)。

2. 圆中的角

我们现在转向研究圆中的某些角。在平面中给定一个中心为 OO 的圆 Γ\Gamma :

圆心角 (central angle): 顶点为圆心 OO , 两条边为圆半径 OA,OBOA, OB 的角称为圆心角，表示为 ∠AOB\angle AOB ，根据上下文，我们可以确定具体指的那个角 (两个方向)。

前面我们知道，圆心角 ∠AOB\angle AOB 的度量就是相应弧 AB⌢\overset{\LARGE{\frown}}{AB} 的度量。

下面例子表明，相等的圆心角对应相等的弦 (chords)。

例 3.18: 如果 A,B,C,DA,B,C,D 是圆 Γ\Gamma 上的四个点，使得圆心角 ∠AOB,∠COD\angle AOB, \angle COD 相等，则 AB¯=CD¯\overline{AB} = \overline{CD} 。

证明: 我们只需要用 SASSAS 全等即可证明。

圆周角 (inscribed angle): inscribe 是内接的意思。圆周角的顶点也在圆周上，而它的边是圆的两个弦。

命题 3.19(圆周角定理 inscribed angle theorem): 圆周角的度数是其对应圆心角的一半。

证明: 圆周角定理证明需要分三种情况，设圆周角 ∠BAC\angle BAC , 圆心角 ∠BOC\angle BOC ， 直径 AA′AA^\prime 。

  1. B,CB, C 在直径 AA′AA^\prime 两侧。
  2. B,CB,C 在直径 AA′AA^\prime 的同一侧。
  3. B,CB,C 有一个点在直径 AA′AA^\prime 上。

第一种情况: B,CB, C 在直径 AA′AA^\prime 两侧，或者也可以描述为 ∠BAC\angle BAC 把圆心包在内部。

这个时候我们只需要考虑 ΔAOB,ΔAOC\Delta AOB, \Delta AOC 即可，它们两个都是等腰三角形，利用三角形外角等于不相邻两个内角之和的结论，我们就可以得到结论成立 (圆心角和圆周角都分成两部分来考虑，加在一起也成立)。

第二种情形: B,CB,C 在直径 AA′AA^\prime 的同一侧，或者可描述为∠BAC\angle BAC 把圆心包在外部。

第一种情况把圆心角和圆周角视为两部分之和，而这种情况则视它们为两角之差，同样思路可证得。

第三种情况: B,CB,C 有一个点在直径 AA′AA^\prime 上, 或者说圆心在 ∠BAC\angle BAC 的一条边上。

添加图片注释，不超过 140 字（可选）

这个时候就更加简单，圆心角刚好是 ΔAOP\Delta AOP 的一个外角，在利用等腰三角形立得。

由圆周角定理我们立即可以得到一个重要的结论: 圆直径所对的圆周角为直角。

3. 弦切角 (tangent-chord angle)

圆周角的极限情况是弦切角 (tangent-chord angle): 顶点为圆上一点，它的边是圆的弦和切线。

命题 3.20: 弦切角的度数为对应圆心角的一半。

证明: 设 BAC^=α\widehat{BAC} =\alpha , 因为 AC↔⊥AO↔\overleftrightarrow{AC}\perp \overleftrightarrow{AO} , 因此有 ABO^=BAO^=90∘−α\widehat{ABO} = \widehat{BAO} = 90^\circ - \alpha 。

而 AOB^=180∘−2(BAO^)=2α=2BAC^ \widehat{AOB} = 180^\circ - 2(\widehat{BAO}) = 2 \alpha = 2\widehat{BAC} 。 #

4. 圆的内角和外角 (interior angle, exterior angle)

圆的内角 (interior angle of a circle): 边为两个弦，顶点为这两个弦在圆内的交点。

圆的外角 (exterior angle of a circle): 边为两个弦，顶点为这两个弦在圆外的交点。

命题 3.21: 设 AB,CDAB,CD 为圆的两个弦 (chord), 它们交于一点 EE :

a) 如果 EE 位于圆内，则内角 ∠AEC\angle AEC 的度量等于对应弧 AC⌢,BD⌢\overset{\LARGE{\frown}}{AC}, \overset{\LARGE{\frown}}{BD} 度量的算术均值。

b) 如果 EE 位于圆外，则外角 ∠AEC\angle AEC 的度量等于对应弧 AC⌢,BD⌢\overset{\LARGE{\frown}}{AC}, \overset{\LARGE{\frown}}{BD} 度量的差的一半。

证明:

a) AEC^=ADC^+BAD^=12(AC⌢+BD⌢)\begin{aligned}\widehat{AEC} = \widehat{ADC} + \widehat{BAD} =\frac{1}{2}(\overset{\LARGE{\frown}}{AC}+ \overset{\LARGE{\frown}}{BD})\end{aligned}\\

b) AEC^=BAD^−ADC^=12(BD⌢−AC⌢)\begin{aligned}\widehat{AEC} = \widehat{BAD} - \widehat{ADC}=\frac{1}{2}(\overset{\LARGE{\frown}}{BD} - \overset{\LARGE{\frown}}{AC})\end{aligned}\\

例 3.22: 设 A,B,C,DA,B,C,D 为圆 Γ\Gamma 上的四个点，使得弦 AC,BDAC,BD 相交于圆 Γ\Gamma 内部。如果 M,N,P,QM,N,P,Q 分别表示 AB⌢,BC⌢,CD⌢,AD⌢\overset{\LARGE{\frown}}{AB}, \overset{\LARGE{\frown}}{BC}, \overset{\LARGE{\frown}}{CD}, \overset{\LARGE{\frown}}{AD} 的中点，证明 MP↔⊥NQ↔\overleftrightarrow{MP}\perp\overleftrightarrow{NQ} 。其中 AB⌢,BC⌢,CD⌢,AD⌢\overset{\LARGE{\frown}}{AB}, \overset{\LARGE{\frown}}{BC}, \overset{\LARGE{\frown}}{CD}, \overset{\LARGE{\frown}}{AD} 分别不包含 C,D,A,BC,D,A,B 点。

证明: 设 AB⌢=2α,BC⌢=2β,CD⌢=2γ,AD⌢=2δ\overset{\LARGE{\frown}}{AB} = 2\alpha, \overset{\LARGE{\frown}}{BC}=2\beta, \overset{\LARGE{\frown}}{CD}=2\gamma, \overset{\LARGE{\frown}}{AD}=2\delta ,

这四个弧刚好为一个圆周，于是得到 α+β+γ+δ=180∘\alpha+\beta+\gamma+\delta = 180^\circ 。

很容易得到 MN⌢=α+β,PQ⌢=γ+δ\overset{\LARGE{\frown}}{MN} = \alpha+\beta, \overset{\LARGE{\frown}}{PQ}=\gamma +\delta ，设弦 MP,NQMP, NQ 相交于 EE 点，这个点在圆内。

于是得到 MEN^=12(MN⌢+PQ⌢)=12((α+β)+(γ+δ))=90∘\begin{aligned}\widehat{MEN} = \frac{1}{2}(\overset{\LARGE{\frown}}{MN}+ \overset{\LARGE{\frown}}{PQ})= \frac{1}{2}((\alpha+\beta)+(\gamma+\delta)) = 90^\circ\end{aligned}\\

5. 线段上给定角度可达的轨迹

我们现在转向对另一个重要轨迹的分析，即能够在给定线段上形成给定角度的弧。

首先根据上图很容易知道关于 ABAB 对称的两个角 APB^=AP′B^\widehat{APB} = \widehat{AP^\prime B} , 利用 SSSSSS 全等可证得。

命题 3.23: 给定线段 ABAB 和一个角 α,0∘<α<180∘\alpha, 0^\circ < \alpha < 180^\circ 。则平面内使得角 APB^=α\widehat{APB} = \alpha 的点 PP 的轨迹是两个关于 ABAB 对称的圆弧，它们都是以点 A,BA,B 为端点的。这样的弧称为能够在线段 ABAB 上形成角度 α\alpha 的弧 (Such arcs are said to be capable of α on AB)。

证明: 前面我们已经知道上下两部分完全关于 ABAB 对称，我们只需要对上面部分进行说明即可。

我们要证明上面部分是所说的轨迹，需要根据轨迹定义验证两点:

  1. 若 P∈ΓP\in \Gamma , 则需验证满足 APB^=α\widehat{APB} = \alpha 。上面半部分圆弧是以 OA¯=OB¯=R\overline{OA}=\overline{OB}=R 为半径，圆心角 AOB^=2α\widehat{AOB} = 2\alpha 的圆的一段弧。根据圆周角定理可得到 APB^=α\widehat{APB} = \alpha 。
  2. 若 P′∉ΓP^\prime\not\in \Gamma , 则需要验证 P′P^\prime 不在上述轨迹中。

设 R=Γ⋃AB\mathcal{R} = \Gamma\bigcup AB (上面半部分所围区域)。因为 P′∉ΓP^\prime\not\in \Gamma ， 那么只能有两种可能情况:

a) P′∈RP^\prime\in \mathcal{R}

b) P′∉R⋃ΓP^\prime\not\in \mathcal{R}\bigcup \Gamma

然后对于 α\alpha 需要分三种情形来讨论，90 度以下，90 度和 90 度以上。

对于 0<α<90∘0 < \alpha < 90^\circ 的情形:

对于 P′∈RP^\prime\in \mathcal{R} ，也就是在区域内，我们有 AP′B^=APB^+PAP′^>APB^=α\widehat{AP^\prime B} = \widehat{APB} + \widehat{PAP^\prime} > \widehat{APB} = \alpha , P′P^\prime 不在轨迹上。

而对于 P′∉R⋃ΓP^\prime\not\in \mathcal{R}\bigcup \Gamma 分析类似。

对于 α=90∘\alpha= 90^\circ 的情形:

上图足以保证落在上半圆都在轨迹中，因为它们都能保证 APB^=90∘\widehat{APB} = 90^\circ 。

反过来，如果 APB^=90∘\widehat{APB} = 90^\circ , 圆心刚好在 ABAB 中点，同样可以保证 OP¯=12AB¯=AO¯\overline{OP} = \frac{1}{2}\overline{AB} =\overline{AO} , 因此 PP 属于上半圆。

而对于 α>90∘\alpha > 90^\circ 的情况，我们可以自行练习。

上面命题的证明可以给出我们在能够在线段 ABAB 上形成角度 α,0<α≤90∘\alpha, 0<\alpha \leq 90^\circ 的弧的方法**。**

  1. 当 α=90∘\alpha = 90^\circ , 我们只需要以 AB¯\overline{AB} 为直径绘制一个圆即可。
  2. 而当 0<α<90∘0<\alpha < 90^\circ 的时候，因为 OAB^=OBA^\widehat{OAB} = \widehat{OBA} , 于是就有 OAB^=OBA^=12(180∘−2α)=90∘−α\widehat{OAB} = \widehat{OBA} = \frac{1}{2}(180^\circ - 2\alpha) = 90^\circ -\alpha\\ 因此，我们只需要利用上面两个角来确定圆心，然后以 OA¯\overline{OA} 为半径即可绘制出上半部分的圆弧。
  3. α>90∘\alpha > 90^\circ , 也可以用类似的方法来处理。

例 3.24: 绘制能够在线段 ABAB 上形成角度 α,0<α≤90∘\alpha, 0<\alpha \leq 90^\circ 的弧。

  1. 在上半平面绘制射线 AX↔,BY↔ \overleftrightarrow{AX}, \overleftrightarrow{BY} 使得 BAX^=ABY^=90∘−α\widehat{BAX}=\widehat{ABY} = 90^\circ - \alpha 。
  2. 取射线 AX↔,BY↔ \overleftrightarrow{AX}, \overleftrightarrow{BY} 的交点为圆心 OO ，则该点即为所求。

说明: 以 OA↔ \overleftrightarrow{OA} 为半径的圆在 ABAB 上面的部分, 记作 Γ\Gamma ，则对任意 P∈ΓP\in \Gamma ， APB^=α\widehat{APB}=\alpha 。

例 3.25: 图中显示的是在能够线段 ABAB 上形成角度 α\alpha 的弧。那么构建能够形成 12α\frac{1}{2}\alpha 的上弧。

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  1. 绘制 AB¯\overline{AB} 的垂直平分线交上弧为 O′O^\prime 。
  2. 使用圆周角定理就可以证明以 O′O^\prime 为圆心， O′A=O′BO^\prime A = O^\prime B 为半径的圆在 ABAB 上面所得到的弧即为所求。

6. 圆外一点的圆切线

使用线段上能够形成给定度数弧的概念，还可以解决构造圆外一点绘制该圆切线的问题。

命题 3.26: 给定圆 Γ\Gamma 和圆外一点 PP ，存在过 PP 点的圆 Γ\Gamma 的两条切线。

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证明: 设 Γ\Gamma 圆心为 OO ，连接 OPOP , 以 OPOP 为直径绘制圆 Θ\Theta 交 Γ\Gamma 于两点 A,BA,B ，

连接 PA,PBPA, PB , 则直线 PA↔,PB↔\overleftrightarrow{PA}, \overleftrightarrow{PB} 即为所求。

因为在圆 Θ\Theta 中， OPOP 为直径， OAP^=90∘\widehat{OAP}=90^\circ 。因此 PA⊥OAPA\perp OA 。

反过来，如果 rr 是过点 PP 且与 Γ\Gamma 相切的直线，切点为 XX ，那么 OX⊥XPOX\perp XP , 也就是 OXP^=90∘\widehat{OXP}=90^\circ 。

因此 XX 是能够在 OPOP 上产生 90∘90^\circ 角的弧上，也就是说 XX 在以 OPOP 为直径的圆上，因此就有 X=A,X=BX=A, X=B 之一。

上面命题就给出了我们在圆外一点绘制该圆切线的方法。

命题 3.28: 设 Γ\Gamma 为圆心为 OO 的圆， PP 为圆外一点。如果 A,B∈ΓA,B\in\Gamma , 使得 PA↔,PB↔\overleftrightarrow{PA},\overleftrightarrow{PB} 与圆 Γ\Gamma 相切，那么:

(a) PA¯=PB↔\overline{PA} = \overleftrightarrow{PB} ;

(b) PO¯\overline{PO} 是 ABAB 的垂直平分线;

(c) PO¯\overline{PO} 是 ∠AOB,∠APB\angle AOB, \angle APB 的角平分线;

(d) PO↔⊥AB↔\overleftrightarrow{PO}\perp\overleftrightarrow{AB} 。

练习

3.4 三角形相关的圆

利用能够成角度的弧和直线和圆的相切的概念，我们现在研究一些与三角形相关的重要圆。

1. 三角形外接圆

命题 3.29: 三角形的外心是唯一一个过三角形三个顶点的圆的圆心。

证明: 这个定理说明了两件事, 1) 三角形的外心刚好是过三个顶点的圆的圆心。2) 过三角形三个顶点的圆的圆心刚好是这个三角形的外心。

首先证明，三角形的外心为中心可以绘制一个圆恰好过三角形的三个顶点。这个比较好证明，设 OO 为 ΔABC\Delta ABC 的外心，则有 OA¯=OB¯=OC¯\overline{OA}=\overline{OB} = \overline{OC} ，于是就可以以 OO 为圆心，以 OA¯=OB¯=OC¯=R\overline{OA}=\overline{OB} = \overline{OC}=R 为半径绘制一个圆，这个圆刚好过三个顶点。

其次证明，过三角形三个顶点的圆的圆心刚好是这个三角形的外心。如果圆 Γ\Gamma 是过三角形 ΔABC\Delta ABC 的圆，其圆心为 OO ，因此有 OA¯=OB¯=OC¯=R\overline{OA}=\overline{OB} = \overline{OC}=R , 所以 OO 是三条边的垂直平分线的交点。也就是说 OO 是三角形的外心。

三角形的外接圆 (circumcircle): 上面讨论的圆即为三角形的外接圆，也称这个圆外接于三角形，其半径称为三角形外接圆半径 (circumradius)。如果不产生混淆，我们就用 RR 来表示外接圆半径。

命题 3.30: 三角形 ABCABC 的外心 OO ，那么

  1. OO 在三角形 ABCABC 内部当且仅当 ABCABC 为锐角三角形。
  2. OO 在三角形 ABCABC 外部当且仅当 ABCABC 为钝角三角形。
  3. OO 在三角形 ABCABC 一条边上当且仅当 ABCABC 为直角三角形。

当 OO 在三角形 ABCABC 内部时，如上图所示， AOB^=2ACB^\widehat{AOB} = 2\widehat{ACB} 。而 AOB^<180∘\widehat{AOB} <180^\circ , 因此 ACB^<90∘\widehat{ACB}< 90^\circ 。同理可证其他两个角也是如此，因此三角形 ABCABC 为锐角三角形。

而当 OO 在三角形 ABCABC 的一边上时，不失一般性，假设 O∈BCO\in BC , 这个时候 BCBC 为圆的直径，且 OO 平分 BCBC 。 BAC^=12BXC⌢=12180∘=90∘\widehat{BAC} =\frac{1}{2}\overset{\LARGE{\frown}}{BXC}=\frac{1}{2}180^\circ=90^\circ 。三角形为直角三角形。

而当 OO 在三角形外部时，不失一般性，假设 O,AO,A 位于 BCBC 两侧。因为弧 BXC⌢\overset{\LARGE{\frown}}{BXC} 度数大于 180∘180^\circ , 那么我们就有 BAC^=12BXC⌢>12180∘=90∘\widehat{BAC} = \frac{1}{2}\overset{\LARGE{\frown}}{BXC}>\frac{1}{2}180^\circ = 90^\circ 。三角形为锐角三角形。

推论 3.31: 如果三角形 ABCABC 为锐角三角形，外心为 OO 。如果 MM 是 ABAB 的中点，则 AOM^=BOM^=ACB^\widehat{AOM} = \widehat{BOM} = \widehat{ACB} 。

证明: 首先外心可得 OA¯=OB¯=R\overline{OA}=\overline{OB} =R , 其次结合等腰三角形及圆周角定理即可得证。

2. 三角形内切圆 (incircle)

命题 3.32: 三角形内心是唯一的与三角形三边相切且在三角形内部的圆的圆心。

上面所说的圆称为三角形的内切圆，也可以说这个圆内接于三角形，这个圆的半径称之为内切圆半径 (inradius)。

例 3.3: 作出给定三角形的外接圆和内切圆。

3. 外切圆 (excircles)

命题 3.34: 每个三角形都存在唯一的圆与其中一边相切，并与另外两边延长线相切。

4. incenter excenter 关系

推论 3.35: 任意三角形的内角平分线与其他两个角的外角平分线在 excenter 处重合。

5. 三角形各种点之间的线段关系

练习

3.5 圆和切线四边形 (Cyclic and Tangential Quadrilaterals)

前面我们已经知道三角形一定存在外接圆 (circumcircle), 但是对于任意凸四边形未必存在外接圆。

内接凸四边形 (cyclic or inscribed convex quadrilateral): 如果凸四边形存在一个圆经过它所有的顶点，则这个四边形称为该圆的内接四边形。这种情况下，我们称四边形的四顶点共圆 (concyclic points)。

三角形外接圆的唯一性显然保证了通过内接四边形顶点的圆是唯一的；从现在开始，这样的圆将被称为四边形外接圆 (circle circumscribed to the quadrilateral)。

可以证明 (参见问题 7，第 99 页），四边形是圆四边形，当且仅当其边的垂直平分线在一个点相交时，这个点称为外接点 (circumcenter)。然而，对于我们考虑的应用，以下圆四边形的性质描述更有用。

1. 圆四边形性质

命题 3.38: 凸四边形 ABCDABCD 四个顶点共圆当且仅当下面条件之一满足:

a) 对角互补 DAB^+BCD^=180∘\widehat{DAB} + \widehat{BCD} =180^\circ 。

b) BAC^=BDC^\widehat{BAC} = \widehat{BDC} 。

圆内接四边形推导两个条件比较简单，直接应用圆周角定理即可得。

反过来，如果 BAC^=BDC^\widehat{BAC} = \widehat{BDC} , 因为四边形 ABCDABCD 为凸四边形，它的顶点是连续标记的，那么 A,DA, D 点在边 BCBC 的同侧。设 BAC^=BDC^=θ\widehat{BAC} = \widehat{BDC} =\theta , 那么 A,DA,D 位于线段 BCBC 所能形成的 θ\theta 角度的弧同一侧上。因此，存在一个圆外接这个四边形 ABCDABCD .

对于 DAB^+BCD^=180∘\widehat{DAB} + \widehat{BCD} =180^\circ 的情况，如上图所示。我们只需要取三角形 BADBAD 的外接圆 Γ\Gamma , 然后证明 C∈ΓC\in\Gamma 即可。这里用反证法，假设 C∉ΓC\not\in\Gamma , 找矛盾点。

设 BC↔⋂Γ={E}\overleftrightarrow{BC}\bigcap \Gamma = \{E\} , 其中 E≠B,CE\neq B,C , 如上图所示，我们画的是 CC 在外接圆 Γ\Gamma 内。正向命题 (a) 结论，我们知道 DAB^+BED^=180∘=DAB^+BCD^\widehat{DAB} + \widehat{BED} =180^\circ = \widehat{DAB} + \widehat{BCD} \\

因此就有 BED^=BCD^\widehat{BED} = \widehat{BCD} 。对于三角形 ΔCDE\Delta CDE 应用外角定理，显然产生矛盾。因此假设不成立，命题得证。#

2. 正三角形 (orthic triangle)

正三角形 (orthic triangle): 非直角三角形 ABCABC , 连接三个边的垂足得到的三角形称为正三角形。

定理 3.39: 任意锐角三角形，正交中心与正三角形的内心重合。

证明:

已知条件 HH 为三角形 ABCABC 的正交中心，三角形 HaHbHcH_a H_bH_c 为正三角形。要证 HHa=HHb=HHcHH_a = HH_b=HH_c 。

我们只要证明其中一个，其他类似证明。

首先 HHaC^+HHbC^=180∘\widehat{HH_aC} + \widehat{HH_bC} = 180^\circ , 由前面定理可知 HHaCHbHH_aCH_b 四边形四个顶点共圆。那么就有: HHaHb^=HCHb^=HcCA^=90−A^\widehat{HH_aH_b} = \widehat{HCH_b} = \widehat{H_cCA} = 90-\widehat{A}\\ 同样我们可以证明 HHaBHcHH_aBH_c 四边形四个顶点共圆 HHaHc^=HBHc^=90−A^\widehat{HH_aH_c} = \widehat{HBH_c} = 90-\widehat{A}\\

于是就可以得到 HHaHb^=HHaHc^\widehat{HH_aH_b} = \widehat{HH_aH_c}\\

也就是 HHaHH_a 平分角 ∠HcHaHb\angle H_cH_aH_b 。

类似的其他两个角平分线也可以得证，于是就得到 HH 也是 ΔHaHbHc\Delta H_aH_bH_c 的内心。 #

3. Simson-Wallace 定理

对于我们的第二个应用，我们说如果其中任何三个点不共线，则四个点处于一般位置 (general position)。我们将关注以下情况: 在平面上给定一个三角形 ΔABC\Delta ABC 和一个点 PP ，使得 A,B,C,PA,B,C,P 处于一般位置，我们标记点 D,E,FD,E,F 分别是从 PP 到 BC↔,CA↔,AB↔\overleftrightarrow{BC}, \overleftrightarrow{CA}, \overleftrightarrow{AB} 的垂足。由此得到的三角形 ΔDEF\Delta DEF 被称为 PP 相对于 ΔABC\Delta ABC 的垂足三角形。例如，非直角三角形 ΔABC\Delta ABC 的正三角形 (参见图 3.37) 是 ΔABC\Delta ABC 正交中心 HH 相对于自身的垂足三角形。

定理 3.40(Simson-Wallace 定理): 解释一个点关于给定三角形的垂足三角形何时退化 (degenerates)，也就是当 D,E,FD,E,F 共线。这个结论在后面起着基础作用 (7.5 节的定理 7.37)。

给定一个三角形 ΔABC\Delta ABC , 一个点 PP 使得四个点 A,B,C,PA,B,C,P 是一般位置 (general position, 三三不共线)。

PP 关于 ΔABC\Delta ABC 的垂足三角形退化当且仅当 PP 位于 ABCABC 的外接圆上。

证明:

对于 PP 位于 ΔABC\Delta ABC 的外接圆上，唯一的可能性是 PP 在 ACAC 之外 (不能在其上)，那么可能的位置只能是 ∠BAC,∠ABC,∠BCA\angle BAC, \angle ABC, \angle BCA 其中一个角区域中。

类似的的，通过简单的检查表明，点 PP 关于 ΔABC\Delta ABC 的垂足三角形退化时， PP 必定位于 ΔABC\Delta ABC 之外，并且只能在上述三个角区域之一中。

那么，不失一般性，我们不妨设 PP 在 ΔABC\Delta ABC 之外，位于角区域 ∠ABC\angle ABC 中。如图 3.38 所示。

设 D,E,FD,E,F 分别为从 PP 到 ΔABC\Delta ABC 三条边或延长线上垂线的垂足。这种情况下，两个垂足在边上，另外一个垂足在边的延长线上。 不失一般性，我们不妨设， D,ED,E 分别位于边 BC,ACBC, AC 上，而 FF 位于边 BABA 的延长线上。

四边形 PFAEPFAE 中，两个垂线对应的角为直角 PEA^=PFA^=90∘\widehat{PEA} = \widehat{PFA} = 90^\circ ，因此这个四边形四个顶点共圆。则有 FPA^=FEA^\color{red}{\widehat{FPA} = \widehat{FEA}} 。

同理: 四边形 PEDCPEDC 中，两个垂线对应的角为直角 直角三角形含对顶角 PEC^=PDC^=90∘⟹直角三角形含对顶角 EPD^=ECD^\widehat{PEC} = \widehat{PDC} = 90^\circ\stackrel{直角三角形含对顶角}{\implies} \widehat{EPD} = \widehat{ECD} ，因此这个四边形四个顶点共圆。则有 DPC^=DEC^\color{red}{\widehat{DPC} = \widehat{DEC}} 。

因为:

APC^−DPF^=(DPC^+APD^)−(FPA^+APD^)=DPC^−FPA^=DEC^−FEA^\begin{aligned}\widehat{APC} - \widehat{DPF} &= (\widehat{DPC} + \widehat{APD}) - (\widehat{FPA} + \widehat{APD}) \\&=\color{red}{\widehat{DPC} - \widehat{FPA}} \\&=\widehat{DEC} - \widehat{FEA} \end{aligned}\\

而上面等式可得到 APC^=DPF^⟺DEC^=FEA^\begin{aligned}\color{blue}{\widehat{APC} = \widehat{DPF} \iff\widehat{DEC} = \widehat{FEA}} \end{aligned}\\

其中 三点共线 DEC^=FEA^⟺D,E,F 三点共线\begin{aligned}\color{blue}{\widehat{DEC} = \widehat{FEA}} \iff D,E,F 三点共线 \ end{aligned}\\

最后，在四边形 BDPFBDPF 中 (两个直角): DPF^=180∘−ABC^\begin{aligned}\widehat{DPF}= 180^\circ - \widehat{ABC} \end{aligned}\\

于是就有 四个顶点共圆 APC^=DPF^⟺APC^=180∘−ABC^⟺APC^+ABC^=180∘⟺ABCP 四个顶点共圆\begin{aligned}\color{blue}{\widehat{APC}} &= \widehat{DPF} \iff \widehat{APC} = 180^\circ - \widehat{ABC} \\&\iff \widehat{APC}+ \widehat{ABC}= 180^\circ \\& \iff ABCP 四个顶点共圆 \end{aligned}\\

因此命题得证。 #

在上述讨论的符号中，只要 PP 位于 ΔABC\Delta ABC 的外接圆上，我们就可以说过 D,E,FD,E,F 的线是 PP 相对于 ΔABC\Delta ABC 的 Simson 线。

4. Pitot 定理

回到本节第一段的讨论，我们现在观察到，并非每个凸四边形都能找到一个与其所有边相切的圆 (读者可以很容易地构造一个反例）。当这样的圆确实存在时，我们可以说四边形是切线的 (tangential)，相应的圆内接在四边形中。即将到来的结论，即 Pitot 定理，为切线四边形提供了一个有用的特征。

定理 3.41(Pitot 定理): 凸四边形 ABCDABCD 为切线四边形当且仅当 AB¯+CD¯=AD¯+BC¯\overline{AB}+\overline{CD} = \overline{AD}+\overline{BC} 。

练习

本章开发了一套工具，使我们能够开始对平面欧几里德几何的度量方面进行系统研究；一般来说，我们在这里关注的中心问题是比较线段长度的比率。在几个有趣和重要的应用中，最突出的是 Thales 定理和 Pythagoras 定理，这些定理将在以后被证明是几乎不可或缺的。我们还提出了一系列经典结论，其中我们重点研究了 Apollonius 圆和 Apollonius 切线问题的解，Ceva 和 Menelao 的相交和平行定理，以及 Euler 关于三角形几何的许多定理中的一些。

4.1 Thales 定理

这里稍微跳过一些介绍，研究一组平行线并另一条直线相交，所得线段成比例的问题。 AB¯BC¯=mn⟹A′B′¯B′C′¯=mn,m,n∈N\begin{aligned} \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} = \frac{m}{n} \implies \frac{\overline{A^\prime B^\prime}}{\overline{B^\prime C^\prime}} = \frac{m}{n}, m,n\in\mathbb{N} \end{aligned}\\

于是就得到: AB¯BC¯=A′B′¯B′C′¯\begin{aligned} \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} = \frac{\overline{A^\prime B^\prime}}{\overline{B^\prime C^\prime}} \end{aligned}\\

当上面等式左侧为有理数的时候等式成立，自然会问: 如果等式一侧为无理数的时候，等式还成立吗？

1. 引理 4.1

引理 4.1: 每个正有理数都是一个正有理数数列的极限。

假设 AB¯BC¯=x,x∈I\begin{aligned} \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} = x, x\in\mathbb{I} \end{aligned} ，选择一个正有理数数列 (an)n≥1:∀n∈N,x<an<x+1n\begin{aligned} (a_n)_{n\geq 1}: \forall\ n\in\mathbb{N}, x<a_n < x+\frac{1}{n} \end{aligned}\\

取点 Cn∈uC_n\in u 满足 AB¯BCn¯=an\begin{aligned} \frac{\overline{AB}}{\overline{BC_n}} =a_n \end{aligned}\\

设 tnt_n 是过点 CnC_n 的且与 r,s,tr,s,t 平行的直线， Cn′C_n^\prime 是 tnt_n 与 u′u^\prime 的交点。

因为 an∈Qa_n\in \mathbb{Q} , 类似上面的推理，我们可得到: A′B′¯B′Cn′¯=an\begin{aligned} \frac{\overline{A^\prime B^\prime}}{\overline{B^\prime C_n^\prime}} =a_n \end{aligned}\\

另外一种方法，我们证明了: x<AB¯BCn¯<x+1n⟹x<A′B′¯B′Cn′¯<x+1n\begin{aligned} x < \frac{\overline{AB}}{\overline{BC_n}}< x+ \frac{1}{n} \implies x < \frac{\overline{A^\prime B^\prime}}{\overline{B^\prime C_n^\prime}}< x+ \frac{1}{n} \end{aligned}\\

或者可以用下面的方式来表示: (4.1)AB¯BC¯<AB¯BCn¯<AB¯BC¯+1n⟹AB¯BC¯<A′B′¯B′Cn′¯<AB¯BC¯+1n\bbox[10pt,border:1pt]{\begin{aligned} \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} < \frac{\overline{AB}}{\overline{BC_n}}< \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}+ \frac{1}{n} \implies \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} < \frac{\overline{A^\prime B^\prime}}{\overline{B^\prime C_n^\prime}}<\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}+ \frac{1}{n} \end{aligned} }\tag{4.1}\\ 随着 n→∞:Cn→Cn\to \infty: C_n\to C 。因为 tn∥t⟹Cn′→C′t_n\parallel t\implies C_n^\prime \to C^\prime , 因此 AB¯BCn¯→A′B′¯B′Cn′¯\begin{aligned} \frac{\overline{AB}}{\overline{BC_n}}\to \frac{\overline{A^\prime B^\prime}}{\overline{B^\prime C_n^\prime}} \end{aligned} 。简写为: AB¯BCn¯→A′B′¯B′Cn′¯(n→+∞)\begin{aligned} \frac{\overline{AB}}{\overline{BC_n}}\to \frac{\overline{A^\prime B^\prime}}{\overline{B^\prime C_n^\prime}} (n\to +\infty) \end{aligned}\\

反过来也可以右侧得到左侧 A′B′¯B′Cn′¯→AB¯BCn¯,(n→+∞)\begin{aligned} \frac{\overline{A^\prime B^\prime}}{\overline{B^\prime C_n^\prime}}\to \frac{\overline{AB}}{\overline{BC_n}}, (n\to +\infty) \end{aligned}\\

因为实数数列收敛极限唯一，因此就得到结论: AB¯BC¯=A′B′¯B′C′¯\begin{aligned} \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} = \frac{\overline{A^\prime B^\prime}}{\overline{B^\prime C^\prime}} \end{aligned}\\

2. Thales 定理

上述讨论证明了平面欧几里德几何最基本的结论之一，即 Thales 定理，也被称为截距定理 (intercept theorem)。我们在下面正式声明。

定理 4.2(Thales): 设 r,s,tr,s,t 为平行线，取点 A,A′∈r,B,B′∈s,C,C′∈tA, A^\prime \in r, B, B^\prime\in s, C,C^\prime\in t , 使得 A,B,CA, B, C 和 A′,B′,C′A^\prime, B^\prime, C^\prime 是两个相交点的三元组，那么有 AB¯BC¯=A′B′¯B′C′¯\begin{aligned} \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} = \frac{\overline{A^\prime B^\prime}}{\overline{B^\prime C^\prime}} \end{aligned}\\

例 4.3: 使用尺规作图，将线段 ABAB 五等分。

第四比例项 (fourth proportional): 给定正实数 a,b,ca,b,c , 正实数 xx ，如果满足 ab=cx\begin{aligned} \frac{a}{b} = \frac{c}{x} \end{aligned}\\ 则称实数 xx 是 a,b,ca,b,c 的第四比例项。

同样的称呼可以针对线段来描述，这里自行补充。

例 4.4: 构建给定三条线段的第四比例线段。

与 Thales 定理一样重要的是，下面的 Thales 定理的部分逆，也属于 Thales。

推论 4.5: 如上图所示，AB¯BC¯=A′B′¯B′C¯⟹r∥s\begin{aligned} \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} = \frac{\overline{A^\prime B^\prime}}{\overline{B^\prime C}}\implies r\parallel s \end{aligned}\\

3. 角平分线定理 (angle bisector theorem)

角平分线定理是 Thales 定理的一个重要应用。

定理 4.6: 设 ΔABC,AB¯≠AC¯\Delta ABC, \overline{AB}\neq \overline{AC} 。

a) 若 P,QP, Q 分别是三角形角 AA 的内角和外角平分线在 BCBC 直线上的交点，则有 BP¯PC¯=BQ¯QC¯=BA¯AC¯\begin{aligned} \frac{\overline{BP}}{\overline{PC}} = \frac{\overline{BQ}}{\overline{QC}} = \frac{\overline{BA}}{\overline{AC}} \end{aligned}\\

b) 若 AB¯=c,AC¯=b,BC¯=a\overline{AB} = c, \overline{AC} = b, \overline{BC} = a , 则有 {BP¯=acb+cPC¯=abb+c,{BQ¯=ac|b−c|QC¯=ab|b−c|\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{ll} \overline{BP} = \frac{ac}{b+c}\\ \overline{PC} = \frac{ab}{b+c} \end{array} \right., \left\{ \begin{array}{ll} \overline{BQ} = \frac{ac}{|b-c|}\\ \overline{QC} = \frac{ab}{|b-c|} \end{array} \right. \end{aligned}\\

证明:

首先 (b) 直接可以从结论 (a) 得到

设 BP¯=x,PC¯=y\overline{BP}= x, \overline{PC} = y , 则有 x+y=ax+y = a 。利用 (a) 的结论 xy=cb\begin{aligned}\frac{x}{y} = \frac{c}{b}\end{aligned} 。然后解方程组: {x+y=axy=cb\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{ll} x+y = a\\ \frac{x}{y} = \frac{c}{b} \end{array} \right. \end{aligned}\\

就可以得到 {x=acb+cy=abb+c\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{ll} x=\frac{ac}{b+c}\\ y=\frac{ab}{b+c} \end{array} \right. \end{aligned}\\

剩下的公式证明类似。

接下来我们来证明 (a), 我们只证明 BQ¯QC¯=BA¯AC¯\begin{aligned} \frac{\overline{BQ}}{\overline{QC}} = \frac{\overline{BA}}{\overline{AC}} \end{aligned} ， 另一半证明类似。

我们考虑 AB¯<AC¯\overline{AB} < \overline{AC} 的情形， AB¯>AC¯\overline{AB} > \overline{AC} 的情形类似。

过 BB 点做 AQ↔\overleftrightarrow{AQ} 的平行线, 标记它与 ACAC 边交于点 B′B^\prime , 那么就有 ABB′^=BAQ^=QAX^=BB′A^\widehat{ABB^\prime} = \widehat{BAQ} = \widehat{QAX} = \widehat{BB^\prime A}\\

因此 ΔABB′\Delta ABB^\prime 是底边 BB′BB^\prime 的等腰三角形，因此就有 B′A¯=BA¯\overline{B^\prime A} = \overline{BA} 。应用 Thales 定理，就有: BQ¯QC¯=AB′¯AC¯=BA¯AC¯\begin{aligned} \frac{\overline{BQ}}{\overline{QC}} = \frac{\overline{AB^\prime}}{\overline{AC}}= \frac{\overline{BA}}{\overline{AC}} \end{aligned}\\

结论得证。 #

练习

4.2 相似三角形 (similar triangles)

1. 相似三角形

相似三角形: 如果两个三角形，对应内角相等，对应边的比例相等，则称这两个三角形相似 (similar)。

上图中两个三角形 ΔABC,ΔA′B′C′\Delta ABC, \Delta A^\prime B^\prime C^\prime 相似，

具有对应顶点 A↔A′,B↔B′,C↔C′A\leftrightarrow A^\prime, B\leftrightarrow B^\prime, C\leftrightarrow C^\prime\\

对应角关系 A^=A′^,B^=B′^,C^=C′^\widehat{A} = \widehat{A^\prime},\widehat{B} = \widehat{B^\prime}, \widehat{C} = \widehat{C^\prime}\\

对应边比例相等 AB¯A′B′¯=BC¯B′C′¯=AC¯A′C′¯=k\begin{aligned} \frac{\overline{AB}}{\overline{A^\prime B^\prime}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B^\prime C^\prime}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{A^\prime C^\prime}} = k \end{aligned}\\

这种比例 k>0k>0 称为这两个三角形之间的相似比 (相似比率 ratio of similitude)。注意比例的分子和分母，对换位置则变为倒数。

三角形相似，记作 ΔABC∼ΔA′B′C′\Delta ABC \sim \Delta A^\prime B^\prime C^\prime ，隐含的顶点对应关系 A↔A′,B↔B′,C↔C′A\leftrightarrow A^\prime, B\leftrightarrow B^\prime, C\leftrightarrow C^\prime 。

很容易证明，对于相似比来说可以等于两个三角形内任意对应线段之间的比。

2. 相似的 SSS 判定

命题 4.7: 如果两个三角形对应边比例相等，则这两个三角形相似，这就是相似的 SSS 情形。

证明: 我们已知条件为对应边比例相等，要证明相似，也就是要证明对应角相等。我们可以在大的三角形中做小三角形的全等三角形，结合 SSS 全等和 Thales 定理即可得证。

3. 相似的 SAS 判定

命题 4.8: 两个三角形对应两条边比例相等，且它们夹角相等，则这两个三角形相似。

4. 相似的 AA 判定

命题 4.9: 两个三角形其中两个角对应相等，则这两个三角形相似。

5. 直角三角形常用度量

作为上述相似情形的一个重要结论，我们现在推导出直角三角形中的常用度量关系。(c) 项的内容是著名且普遍存在的毕达哥拉斯定理；另一个证明见例 5.8。

证明: 直角三角形作斜边上的高 AHAH ，则有多个相似三角形。

ΔABC∼ΔHAC⟹ah=bc\Delta ABC\sim \Delta HAC\implies ah = bc 。

其他的类似，我们这里证明过程略去。

推论 4.11: 边长为 aa 的正方形对角线长度为 a2a\sqrt{2} 。

推论 4.12: 边为 aa 等边三角形的高为 32a\begin{aligned}\frac{\sqrt{3}}{2}a\end{aligned} 。

6. 两正根的二次方程几何求根法

例 4.13: 方程 x2−sx+p2=0,(s>2p,s,p>0)x^2 - sx + p^2 = 0, (s>2p, s,p > 0) 。

根据二次方程根与系数关系，我们可以判断这样的方程有两个根，而且都是正根。下面是几何求根法:

7. 勾股定理逆定理

练习

4.3 应用举例

本节收集了三角形相似性的一些更详细的应用，向 Apollonius of Perga, Claudius Ptolemy and Leonhard Euler 致敬。

我们的第一个结论建立了角平分线定理的逆定理。对于它的陈述，回想一下，

在任何三角形中，关于顶点的内角平分线和外角平分线总是相互垂直的。

1. 角平分线逆定理

命题 4.15: 设 ΔABC\Delta ABC 为任意三角形， P,Q∈BC↔,P∈BC,Q∉BCP, Q\in\overleftrightarrow{BC}, P\in BC, Q\not\in BC 。

若 PAQ^=90∘,BP¯PC¯=BQ¯QC¯\begin{aligned} \widehat{PAQ} = 90^\circ, \frac{\overline{BP}}{\overline{PC}} = \frac{\overline{BQ}}{\overline{QC}} \end{aligned}\\

则 APAP 是内角 ∠BAC\angle BAC 角平分线， AQAQ 是 ∠BAC\angle BAC 外角角平分线。

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证明: 过点 PP 作 AQ↔\overleftrightarrow{AQ} 的平行线交 ACAC 于 VV 点，交 ABAB 延长线于 UU 点。

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2. Apollonius 圆

阿氏圆是阿波罗尼斯圆的简称，已知平面上两点 B,CB,C ，则所有满足 PB¯/PC¯=k,k>0,k≠1\overline{PB}/\overline{PC}=k, k>0, k\neq 1 点 AA 的轨迹是一个以定比 m:nm:n 内分和外分定线段 BCBC 的两个分点 P,QP,Q 的连线为直径的圆。这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆。

例 4.17: 绘制阿氏圆相对于 (B,C)(B,C) , 比率为 2/32/3 。

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  1. 绘制直线 r∥sr\parallel s , 它们分别过 B,CB,C 点，且不与 BC↔\overleftrightarrow{BC} 重合，我们这里直接画垂直的，方便绘制。
  2. 任意选一个长度 uu 的线段，然后在直线 rr 上取一个长度为 2u2u 的线段 BXBX , 在直线 ss 上取两条 3u3u 长度的线段 CY,CZCY, CZ 。其中让 X,YX,Y 点在 BCBC 同侧，让 ZZ 在 BCBC 的另一侧。
  3. 然后连接 XZ,XYXZ, XY 并延长，取它们与 BC↔\overleftrightarrow{BC} 的交点 P,QP,Q 。
  4. 于是我们可以用相似的 AAAA 情形，得到 ΔXBP∼ΔZCP,ΔXQB∼ΔYQC\Delta XBP\sim \Delta ZCP, \Delta XQB\sim \Delta YQC 。那么我们就可以利用相似得到 BP¯PC¯=BX¯CZ¯=23,BQ¯QC¯=BX¯CY¯=23\begin{aligned} \frac{\overline{BP}}{\overline{PC}} = \frac{\overline{BX}}{\overline{CZ}} = \frac{2}{3}, \frac{\overline{BQ}}{\overline{QC}} = \frac{\overline{BX}}{\overline{CY}} = \frac{2}{3} \end{aligned}\\
  5. 最终以 PQPQ 为直径的圆就是我们所求的轨迹。

3. 托勒密定理 (Claudius Ptolemy)

下面就是著名的圆内接四边形的托勒密定理。

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简单描述为: 圆内接四边形对边乘积之和等于两对角线乘积。

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证明: 在对角线 BDBD 上取一点 PP ，使得 PCD^=ACB^\widehat{PCD} = \widehat{ACB} 。

因为 BAC^=BDC^=12BC⌢\widehat{BAC} = \widehat{BDC} = \frac{1}{2}\overset{\LARGE{\frown}}{BC} , 于是可以利用 AAAA 相似判定，可得到 ΔABC∼ΔDPC\Delta ABC\sim \Delta DPC ，于是就有 AB¯AC¯=DP¯CD¯\begin{aligned} \frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = \frac{\overline{DP}}{\overline{CD}} \end{aligned}\\

同理我们可证得 ΔADC∼ΔBPC\Delta ADC\sim \Delta BPC ，又有比例关系 BP¯BC¯=AD¯AC¯\begin{aligned} \frac{\overline{BP}}{\overline{BC}} = \frac{\overline{AD}}{\overline{AC}} \end{aligned}\\

由上面两个关系，我们可以得到 BD¯=BP¯+PD¯=AD¯⋅BC¯AC¯+AB¯⋅CD¯AC¯\begin{aligned}\overline{BD} = \overline{BP} + \overline{PD} = \frac{\overline{AD}\cdot \overline{BC}}{\overline{AC}} + \frac{\overline{AB}\cdot \overline{CD}}{\overline{AC}}\end{aligned}\\

结论得证。 #

推论 4.19: 等边三角形 ABCABC 和 P∈BC⌢P\in \overset{\LARGE{\frown}}{BC} (小弧上的) 点。那么有 PA¯=PC¯+PB¯\begin{aligned}\overline{PA} = \overline{PC} + \overline{PB} \end{aligned}\\

直接利用托勒密定理，我们就有 AB¯⋅PC¯+AC¯⋅PB¯=AP¯⋅BC¯\begin{aligned} \overline{AB}\cdot \overline{PC} + \overline{AC}\cdot \overline{PB} = \overline{AP}\cdot \overline{BC} \end{aligned}\\

然后利用等边三角形三边相等，立即得到结论。 #

4. 欧拉线 (Euler)

定理 4.20(Euler): 如果 O,G,HO,G,H 分别表示三角形 ΔABC\Delta ABC 的外心、重心和垂心，那么

a) AH¯=2OM¯\overline{AH} = 2\overline{OM} , 其中 MM 为 BCBC 的中点。

b) H,G,OH,G,O 共线 (collinear), 且 G∈HO,HG¯=2GO¯G\in HO, \overline{HG} = 2\overline{GO} 。

证明: 首先外心 OO 是三角形外接圆的圆心，有 OA¯=OB¯=OC¯\overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC} 。另外外心与某个边中点连线是三线合一。

而垂心 HH 是三角形三条边的高线交点。重心 GG 为三条中线交点。

a) 我们取 ACAC 的中点 NN ，然后连接 ONON 。

首先 MNMN 是 ΔABC\Delta ABC 的一条中位线，自然就能得到 MN=∥12ABMN\stackrel{\parallel}{=} \frac{1}{2}AB 。

另外 BH⊥AC,ON⊥AC⟹BH∥ONBH\perp AC, ON\perp AC\implies BH\parallel ON , 同理可得 AH∥OMAH\parallel OM 。

于是我们自然可以得到 ΔOMN∼ΔHAB\Delta OMN\sim \Delta HAB , ( AAAA 相似三角形判别法)。然后就可以得到 OM¯AH¯=MN¯AB¯=12\begin{aligned} \frac{\overline{OM}}{\overline{AH}} = \frac{\overline{MN}}{\overline{AB}} = \frac{1}{2} \end{aligned}\\

b) 要证垂心、重心、外心三点一线，且重心在中间将另外两点连线分为 2:1 的两段。

我们不妨先考虑 AM,HOAM,HO 的交点为 G′G^\prime ，然后证明 G′G^\prime 就是 ΔABC\Delta ABC 的重心即可证得三点一线。

首先不难证明这两条线段相交 (how?)， 对顶角相等: OG′M^=HG′A^\widehat{OG^\prime M} = \widehat{HG^\prime A} 。前面我们已经知道 AH∥OMAH\parallel OM 。

AAAA 得到相似三角形 ΔMOG′∼ΔAHG′\Delta MOG^\prime \sim \Delta AHG^\prime 。结合 a) 的结论，我们很容易得到 OG′¯HG′¯=MG′¯AG′¯=OM¯AH¯=12\begin{aligned} \frac{\overline{OG^\prime}}{\overline{HG^\prime}} = \frac{\overline{MG^\prime}}{\overline{AG^\prime}} = \frac{\overline{OM}}{\overline{AH}} = \frac{1}{2} \end{aligned}\\

而重心 G∈AMG\in AM , 并且由重心性质可得到 AG′¯MG′¯=AG¯MG¯\begin{aligned} \frac{\overline{AG^\prime}}{\overline{MG^\prime}}= \frac{\overline{AG}}{\overline{MG}} \end{aligned}\\

因此由问题 2(Page 108), 证得 G=G′G = G^\prime 。 #

上面图 4.19 中的直线 HO↔\overleftrightarrow{HO} 称之为欧拉线 (Euler line)。 HOHO 称作 ΔABC\Delta ABC 的欧拉中线 (Euler median)。

5. 欧拉圆 (九点圆)

接下来我们再看一个 Euler 的奇妙发现，关于三角形几何的九点共圆，或者称为欧拉圆的问题。

几何导论九点共圆截图

上图 HH 为 ΔABC\Delta ABC 的垂心。 A′,B′,C′A^\prime, B^\prime, C^\prime 分别是三条边 BC,AC,ABBC, AC, AB 的中点。A′′,B′′,C′′A^{\prime\prime}, B^{\prime\prime},C^{\prime\prime} 分别是三条线段 AH,BH,CHAH, BH, CH 的中点。 D,E,FD,E,F 分别是 ΔABC\Delta ABC 的三条边上的垂足。

欧拉圆说的就是这九个点 ( A′,B′,C′;A′′,B′′,C′′;D,E,FA^\prime, B^\prime, C^\prime; A^{\prime\prime}, B^{\prime\prime},C^{\prime\prime};D,E,F ) 共圆。

添加图片注释，不超过 140 字（可选）

定理 4.21(Euler): 任意三角形 ΔABC\Delta ABC , 正三角形的外心与欧拉中线的中点重合。正三角形的外心也是中线三角形的外心，并且经过连接三角形顶点到正交中心的线段。此外, 它的半径等于 ΔABC\Delta ABC 外接圆半径的一半。

而这个定理说明的是，九点共圆的圆心为欧拉中线的中点，且半径为三角形外接圆半径的一半。

证明: 先说明一下各个记号的意义

HH 为 ΔABC\Delta ABC 的垂心， HaH_a 为对应 BCBC 边上的垂足。

OO 为 ΔABC\Delta ABC 的外心, MM 为 BCBC 边上的中点。前面定理我们已经证得 AH¯=2OM¯\begin{aligned} {\overline{AH}} = 2\overline{OM} \end{aligned} ，并且 AH∥OMAH\parallel OM 。

A′A^\prime 为 AHAH 的中点。自然就有 AA′=∥OMAA^\prime\stackrel{\parallel}{=} OM , 因而得到平行四边形 AA′MOAA^\prime MO 。

O′O^\prime 为欧拉中线的中点。也就是我们要证明的九点共圆的圆心。

ΔABC\Delta ABC 的外接圆半径为 RR ， 我们知道 OA¯=R\overline{OA} = R 。而平行四边形 AA′MOAA^\prime MO 中， A′M=OA=RA^\prime M = OA = R 。

另外我们还能证得 A′HMOA^\prime HMO 也是平行四边形。因而得证 O′O^\prime 就是欧拉线 HOHO 的中点，同时也是 A′MA^\prime M 的中点。于是 O′A′¯=O′M¯=12A′M¯=R2\begin{aligned} \overline{O^\prime A^\prime} = \overline{O^\prime M} = \frac{1}{2}\overline{A^\prime M} = \frac{R}{2} \end{aligned}\\

到目前为止已经证得了 BCBC 中点 MM ， AHAH 中点 A′A^\prime 在这个圆 ⊙O′\odot O^\prime 上，剩下只需要证明垂足在其上即可。

也就是证明 Ha∈⊙(O′,R/2)H_a\in \odot(O^\prime,R/2) 即可。

因为在任何直角三角形中，中线长度为斜边长度的一半。而在 RtΔA′HaMRt\Delta A^\prime H_aM 中，刚好有 O′Ha¯=12A′M¯=R2\begin{aligned} \overline{O^\prime H_a} = \frac{1}{2}\overline{A^\prime M} = \frac{R}{2} \end{aligned}\\

这就证得了垂足也在九点圆上。

综上，我们分别证明了 A′,M,Ha∈⊙(O′,R/2)A^\prime, M, H_a\in \odot(O^\prime,R/2) 。

而剩下的 6 个点证明完全跟这里的一样，九点共圆得证。 #

为了对之前的结论进行部分概括，我们建议读者参考第 150 页的问题 20。关于九点圆的近似性质，请参见第 302 页的问题 16。

练习

4.4 相交和平行 (Collinearity and Concurrence)

在本节中，我们介绍了关于相交和平行的两个经典结论，以及它们的一些重要应用。稍后，在第 9 章中，我们将看到它们是射影几何开始的自然起点。

1. 约定

今后，我们采用下面的约定:

  1. 给定平面内两个不同点 X,YX,Y , 则 XYXY 表示连接 X,YX, Y 点的线段，从 XX 到 YY 。我们记 XY=−YXXY = -YX 表明两条长度相等、方向相反的线段。
  2. 给定共线的三个点 X,Y,ZX,Y,Z , 我们表示如下:

有了上述符号，我们可以陈述和证明上述第一个结论，这是由于公元一世纪和二世纪亚历山大的希腊天文学家和数学家 Menelaus 得出的。它在数学文献中被称为 Menelaus 共线性定理 (collinearity)。

2. Menelaus 共线定理

定理 4.22(Menelaus 共线定理): 设 ΔABC\Delta ABC , A′,B′,C′A^\prime, B^\prime, C^\prime 分别是直线 BC↔,AC↔,AB↔\overleftrightarrow{BC}, \overleftrightarrow{AC}, \overleftrightarrow{AB} 上的三个与顶点不重合的点。那么 (4.2)BA′A′C⋅CB′B′A⋅AC′C′B=−1\bbox[10pt,border:1pt]{ \begin{aligned} \frac{BA^\prime}{A^\prime C}\cdot \frac{CB^\prime}{B^\prime A}\cdot \frac{AC^\prime}{C^\prime B} = -1 \end{aligned} }\tag{4.2}\\

当且仅当 A′,B′,C′A^\prime, B^\prime, C^\prime 三点共线。

添加图片注释，不超过 140 字（可选）

证明: 我们假设 A′A^\prime 在 CBCB 延长线上， B′,C′B^\prime, C^\prime 分别在 AC,ABAC,AB 边上 (其他情形类似)。

若三点共线，证明等式 (4.2) 成立。

过 BB 点做 BP∥ACBP\parallel AC , 交 A′BA^\prime B 于 PP 点。那么自然有 ΔA′BP∼ΔA′CB′,ΔPBC′∼ΔB′AC′\Delta A^\prime BP \sim \Delta A^\prime CB^\prime, \Delta PBC^\prime \sim \Delta B^\prime AC^\prime ，因此有 BA′A′C=−BPCB′,AC′C′B=−AB′BP\begin{aligned} \frac{BA^\prime}{A^\prime C}= -\frac{BP}{CB^\prime}, \frac{AC^\prime}{C^\prime B}= -\frac{AB^\prime}{BP} \end{aligned}\\

因此就有 BA′A′C⋅CB′B′A⋅AC′C′B=−BPCB′⋅CB′B′A⋅AB′BP=−1\begin{aligned} \frac{BA^\prime}{A^\prime C}\cdot \frac{CB^\prime}{B^\prime A}\cdot \frac{AC^\prime}{C^\prime B}= -\frac{BP}{CB^\prime}\cdot \frac{CB^\prime}{B^\prime A}\cdot \frac{AB^\prime}{BP} = -1 \end{aligned}\\

反过来，满足 (4.2) 式，要求我们证明三点共线。

设 A′C′A^\prime C^\prime 延长线交于 ACAC 于点 B′′B^{\prime\prime} , 那么我们只需要证明 B′=B′′B^\prime = B^{\prime\prime} 即可。

因为 A′,B′′,C′A^\prime, B^{\prime\prime}, C^\prime 三点共线，由前面的结论，我们可以知道: BA′A′C⋅CB′′B′′A⋅AC′C′B=−1\begin{aligned} \frac{BA^\prime}{A^\prime C}\cdot \frac{CB^{\prime\prime}}{B^{\prime\prime} A}\cdot \frac{AC^\prime}{C^\prime B} = -1 \end{aligned}\\

对比 (4.2), 我们得到: CB′B′A=CB′′B′′A\begin{aligned} \frac{CB^{\prime}}{B^{\prime} A}= \frac{CB^{\prime\prime}}{B^{\prime\prime} A} \end{aligned}\\

这样我们根据问题 2(Page 108)，很容易推断出 B′=B′′B^\prime = B^{\prime\prime} , 因此得证 A′,B′,C′A^\prime, B^{\prime}, C^\prime 三点共线。 #

接下来的例子展示了 Menelaus 定理的典型应用。关于推广的概括，请参见问题 5 的 (c), (d) 项。

例 4.23: 设 ΔABC\Delta ABC 中 AB¯≠AC¯\overline{AB} \neq \overline{AC} 。如果 DD 是 AA 外角角平分线在 CBCB 延长线的交点， E,FE,F 是 B,CB,C 内角的角平分线在对边的交点，证明 D,E,FD,E,F 三点共线。

不失一般性，不妨设 AB¯<AC¯\overline{AB} < \overline{AC} , 如上图所示， B∈CDB\in CD 。

由 Menelaus 定理，我们需要证明 AFFB⋅BDDC⋅CEEA=−1\begin{aligned} \frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA} = -1 \end{aligned}\\

由角平分定理得到: AFFB=AC¯CB¯,BDDC=−AB¯AC¯,CEEA=BC¯AB¯\begin{aligned} \frac{AF}{FB} = \frac{\overline{AC}}{\overline{CB}}, \frac{BD}{DC}= -\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}, \frac{CE}{EA} = \frac{\overline{BC}}{\overline{AB}} \end{aligned}\\

因此，两边对应相乘就得到要证的结论。 #

3. Desargues 定理

德萨格定理 (Desargues theorem)，是射影几何的重要定理之一。以法国几何学家德萨格 (Gérard Desargues,1591~1661) 命名。定理指出：若两三角形的对应顶点连线共点(此点称为透视中心)，则其对应边之交点必共线(此线称为透视轴)。此定理的逆定理亦成立。满足德萨格定理的两个三角形称为透视的。

作为 Menelaus 定理的另一个应用，我们证明了 17 世纪法国数学家 Girard Desargues 的一个著名结论，他被称为现代射影几何的创始人。

定理 4.24(Desargues): 三角形 ΔABC,ΔA′B′C′\Delta ABC, \Delta A^\prime B^\prime C^\prime ，其中对应边或延长线相较于 X,Y,ZX, Y, Z 。

那么 X,Y,ZX,Y,Z 共线当且仅当 AA′↔,BB′↔,CC′↔\overleftrightarrow{AA^\prime}, \overleftrightarrow{BB^\prime}, \overleftrightarrow{CC^\prime} 要么交于一点 (concurrent) 要么平行(parallel)。

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证明: 先证 X,Y,ZX,Y,Z 共线 ⟹\implies AA′↔,BB′↔,CC′↔\overleftrightarrow{AA^\prime}, \overleftrightarrow{BB^\prime}, \overleftrightarrow{CC^\prime} 要么交于一点要么平行。

添加图片注释，不超过 140 字（可选）

如上图所示，我们要证明 AA′↔,BB′↔,CC′↔\overleftrightarrow{AA^\prime}, \overleftrightarrow{BB^\prime}, \overleftrightarrow{CC^\prime} 要么交于一点 (concurrent) 要么平行， 只要假设 AA′↔,BB′↔\overleftrightarrow{AA^\prime}, \overleftrightarrow{BB^\prime} 交于 OO ，那么只需要证明 O∈CC′↔O\in \overleftrightarrow{CC^\prime} 即可。(说明一下: 如果不交于一点，那么自然就是平行的了)。

要证明 O∈CC′↔O\in \overleftrightarrow{CC^\prime} ， 也就是证明 O,C,C′O, C, C^\prime 三点共线。

已知条件 BC,B′C′BC,B^\prime C^\prime 延长线交于 XX ，也就是 B,C,XB,C,X 共线，且 B′,C′,XB^\prime, C^\prime, X 共线，且假设了 B,B′,OB,B^\prime, O 。

  1. B,C,XB,C,X 共线。 考虑 ΔYZA\Delta YZA 。
  2. B′,C′,XB^\prime, C^\prime, X 共线。 考虑 ΔYZA′\Delta YZA^\prime 。
  3. B,B′,OB,B^\prime, O 共线。 考虑 ΔZAA′\Delta ZAA^\prime 。

用上面三组共线可以推出 C,C′,OC, C^\prime, O 共线, 考虑 ΔYAA′\Delta YAA^\prime 。

考虑ΔYZA\Delta YZA ，B,C,X\color{red}{B,C,X} 共线，应用 Menulaus 定理有: YXXZ⋅ZBBA⋅ACCY=−1\begin{aligned} \frac{Y\color{red}{X}}{\color{red}{X}Z}\cdot \frac{Z\color{red}{B}}{\color{red}{B}A}\cdot \frac{A\color{red}{C}}{\color{red}{C}Y} = -1 \end{aligned}\\

考虑ΔYZA′\Delta YZA^\prime ，B′,C′,X\color{red}{B^\prime,C^\prime,X} 共线，应用 Menulaus 定理有: YC′C′A′⋅A′B′B′Z⋅ZXXY=−1\begin{aligned} \frac{Y\color{red}{C^\prime}}{\color{red}{C^\prime}A^\prime}\cdot \frac{A^\prime\color{red}{B^\prime}}{\color{red}{B^\prime}Z}\cdot \frac{Z\color{red}{X}}{\color{red}{X}Y} = -1 \end{aligned}\\

考虑ΔZAA′\Delta ZAA^\prime ，B,B′,O\color{red}{B, B^\prime,O} 共线，应用 Menulaus 定理有: ZB′B′A′⋅A′OOA⋅ABBZ=−1\begin{aligned} \frac{Z\color{red}{B^\prime}}{\color{red}{B^\prime}A^\prime}\cdot \frac{A^\prime\color{red}{O}}{\color{red}{O}A}\cdot \frac{A\color{red}{B}}{\color{red}{B}Z} = -1 \end{aligned}\\

而证 O,C,C′O, C, C^\prime 三点共线， 只需要考虑 ΔYAA′\Delta YAA^\prime , 只需要证明 YC′C′A′⋅A′OOA⋅ACCY=−1\begin{aligned} \frac{Y\color{red}{C^\prime}}{\color{red}{C^\prime}A^\prime}\cdot \frac{A^\prime\color{red}{O}}{\color{red}{O}A}\cdot \frac{A\color{red}{C}}{\color{red}{C}Y} = -1 \end{aligned}\\

而上面三个相乘刚好得到，因此得证。

反过来证明类似，这里省略掉。 #

以视觉艺术的角度来看，如果 X,Y,ZX,Y,Z 三点共线，那么我们就可以说三角形 ΔABC,ΔA′B′C′\Delta ABC, \Delta A^\prime B^\prime C^\prime 是从一条线的角度来看 (点 X,Y,ZX,Y,Z ), 这被称为是地平线 (horizon)。

另一方面，如果 AA′↔,BB′↔,CC′↔\overleftrightarrow{AA^\prime}, \overleftrightarrow{BB^\prime}, \overleftrightarrow{CC^\prime} 要么共点要么平行，那么我们说 ΔABC,ΔA′B′C′\Delta ABC, \Delta A^\prime B^\prime C^\prime 以点的角度来看，也就是说如果 AA′↔,BB′↔,CC′↔\overleftrightarrow{AA^\prime}, \overleftrightarrow{BB^\prime}, \overleftrightarrow{CC^\prime} 如果共线，那么它们有共同交点 (称作消失点 (vanishing point))；如果平行，那么它们交点在无限远处。

这就是说，我们可以用语言来陈述 Desargues 定理，即在平面上，两个三角形从一条线透视，当且仅当它们从一个点透视。这种观点将在 9.4 节再次被采用和深化。

4. Ceva 定理

继续，我们现在提出一个类似于 Menelaus 定理的定理，但这次处理的是将给定三角形的每个顶点连接到包含对边的线上的点的线的共点性。这一结论归功于 17 世纪和 18 世纪的意大利数学家 Giovanni Ceva，被称为 Ceva 定理。

定理 4.25(Civa): 设 ΔABC\Delta ABC , A′,B′,C′A^\prime, B^\prime, C^\prime 分别是直线 BC↔,AC↔,AB↔\overleftrightarrow{BC}, \overleftrightarrow{AC}, \overleftrightarrow{AB} 上的点。那么 (4.4)BA′A′C⋅CB′B′A⋅AC′C′B=1\bbox[10pt,border:1pt]{ \begin{aligned} \frac{BA^\prime}{A^\prime C}\cdot \frac{CB^\prime}{B^\prime A}\cdot \frac{AC^\prime}{C^\prime B} =1 \end{aligned} }\tag{4.4}\\

当且仅当 AA′↔,BB′↔,CC′↔\overleftrightarrow{AA^\prime}, \overleftrightarrow{BB^\prime}, \overleftrightarrow{CC^\prime} 共点或平行。

添加图片注释，不超过 140 字（可选）

证明:

a) 当 AA′↔,BB′↔,CC′↔\overleftrightarrow{AA^\prime}, \overleftrightarrow{BB^\prime}, \overleftrightarrow{CC^\prime} 三点共线或平行时，证明 (4.4) 式成立。

对于这三条线共点 (concurrent) 时，不妨设 A′A^\prime 在 BCBC 延长线上， B′B^\prime 在 ACAC 边上， C′C^\prime 在 BABA 延长线上。

设 BB′↔,CC′↔\overleftrightarrow{BB^\prime}, \overleftrightarrow{CC^\prime} 交于点 PP 。(其他情形类似)

过 CC 做 CQ∥BB′CQ\parallel BB^\prime , 过 AA 做 AR∥BB′AR\parallel BB^\prime , 分别交 AA′,CC′AA^\prime, CC^\prime 于 Q,RQ,R 点，如上图所示。

那么我们可以得到几个相似三角形: ΔBPA′∼CQA′,ARC′∼BPC′,CB′P∼CAR\Delta BPA^\prime\sim CQA^\prime, ARC^\prime \sim BPC^\prime, CB^\prime P\sim CAR ，因此有 BA′A′C=−BP¯CQ¯,AC′C′B=−AR¯BP¯ \begin{aligned} \frac{BA^\prime}{A^\prime C} = - \frac{\overline{BP}}{\overline{CQ}}, \frac{AC^\prime}{C^\prime B} = - \frac{\overline{AR}}{\overline{BP}} \end{aligned}\\

以及 CB′B′A=−CB′¯B′A¯=CA¯−B′A¯B′A¯=CA¯B′A¯−1=CQ¯B′P¯−1 \begin{aligned} \frac{CB^\prime}{B^\prime A} = - \frac{\overline{CB^\prime}}{\overline{B^\prime A}} =\frac{\overline{CA}-\overline{B^\prime A}}{\overline{B^\prime A}} =\frac{\overline{CA}}{\overline{B^\prime A}}-1 =\frac{\overline{CQ}}{\overline{B^\prime P}}-1 \end{aligned}\\

因此就有: BA′A′C⋅CB′B′A⋅AC′C′B=BP¯CQ¯(CQ¯B′P¯−1)AR¯BP¯=AR¯(1B′P¯−1CQ¯)\begin{aligned} \frac{BA^\prime}{A^\prime C}\cdot \frac{CB^\prime}{B^\prime A}\cdot \frac{AC^\prime}{C^\prime B} =\frac{\overline{BP}}{\overline{CQ}}\bigg(\frac{\overline{CQ}}{\overline{B^\prime P}} -1\bigg)\frac{\overline{AR}}{\overline{BP}} =\overline{AR}\bigg(\frac{1}{\overline{B^\prime P}}-\frac{1}{\overline{CQ}}\bigg) \end{aligned}\\

剩下的就是证明上式等于 1，也就是要证明 1B′P¯=1AR¯+1CQ¯\begin{aligned} \frac{1}{\overline{B^\prime P}} = \frac{1}{\overline{AR}} + \frac{1}{\overline{CQ}} \end{aligned}\\

这刚好是我们 Page 116 问题 11 所说的内容。 得证。

AA′↔,BB′↔,CC′↔\overleftrightarrow{AA^\prime}, \overleftrightarrow{BB^\prime}, \overleftrightarrow{CC^\prime} 平行的同样可以证明，这里略去。

b) 如果 (4.4) 式成立，证明 AA′↔,BB′↔,CC′↔\overleftrightarrow{AA^\prime}, \overleftrightarrow{BB^\prime}, \overleftrightarrow{CC^\prime} 要么共点要么平行。

如法炮制，我们取点 B′′∈AC↔B^{\prime\prime}\in \overleftrightarrow{AC} , 使得 AA′↔,BB′′↔,CC′↔\overleftrightarrow{AA^\prime}, \overleftrightarrow{BB^{\prime\prime}}, \overleftrightarrow{CC^\prime} 要么共点要么平行。根据前面的结论我们可以得到 BA′A′C⋅CB′′B′′A⋅AC′C′B=1\begin{aligned} \frac{BA^\prime}{A^\prime C}\cdot \frac{CB^{\prime\prime}}{B^{\prime\prime} A}\cdot \frac{AC^\prime}{C^\prime B} =1 \end{aligned}\\

对比 (4.4) 式，我们就得到 CB′′B′′A=CB′B′A\begin{aligned} \frac{CB^{\prime\prime}}{B^{\prime\prime} A}= \frac{CB^{\prime}}{B^{\prime} A} \end{aligned}\\

此时我们只需要再次利用 Page 108 页问题 2 的结论，就可以立即得到 B′=B′′B^\prime = B^{\prime\prime} 。因此就得证 AA′↔,BB′↔,CC′↔\overleftrightarrow{AA^\prime}, \overleftrightarrow{BB^\prime}, \overleftrightarrow{CC^\prime} 要么共点要么平行。 #

在 Page 157 的问题 16 中我们还有 Ceva 关于三线共点的另一个证明方法。

5. Ceva 定理应用 1

接下来看看如何用这个定理来证明三角形中线、内角平分线、高线分别交于特定的一点的问题。

例 4.26: 使用 Ceva 定理证明三角形中线、内角平分线、高线分别交于特定的一点的问题。

首先看中线交于重心的命题证明, 如上图所示的记号。我们很容易得到 BMaMaC=CMbMbA=AMcMcB=1\begin{aligned} \frac{BM_a}{M_aC}= \frac{CM_b}{M_bA}= \frac{AM_c}{M_cB}=1 \end{aligned}\\

因此就有 BMaMaC⋅CMbMbA⋅AMcMcB=1\begin{aligned} \frac{BM_a}{M_aC}\cdot \frac{CM_b}{M_bA}\cdot \frac{AM_c}{M_cB}=1 \end{aligned}\\

因此由 Ceva 定理，直接可得 AMa,BMb,CMcAM_a, BM_b, CM_c 交于同一点。

然后再看看三个内角平分线交于一点的问题。因为由角平分线定理，我们可以得到: APcPcB=ba,BPaPaC=cb,CPbPbA=ac\begin{aligned} \frac{AP_c}{P_cB}=\frac{b}{a}, \frac{BP_a}{P_aC}=\frac{c}{b}, \frac{CP_b}{P_bA}=\frac{a}{c} \end{aligned}\\

因此有: APcPcB⋅BPaPaC⋅CPbPbA=ba⋅cb⋅ac=1\begin{aligned} \frac{AP_c}{P_cB}\cdot \frac{BP_a}{P_aC}\cdot \frac{CP_b}{P_bA}=\frac{b}{a}\cdot\frac{c}{b}\cdot \frac{a}{c}=1 \end{aligned}\\

应用 Ceva 定理确保 APa,BPb,CPcAP_a, BP_b, CP_c 共点。

最后再看看高线交于一点的问题，仅考虑锐角三角形的情形。

第 98 页问题 2，我们得到 ΔAHbHc∼ABC\Delta AH_bH_c\sim ABC , 因此有 AHc¯HbA¯=AC¯AB¯=bc\begin{aligned} \frac{\overline{AH_c}}{\overline{H_bA}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{b}{c} \end{aligned}\\

类似的可得到: BHa¯HcB¯=ca,CHb¯HaC¯=ab\begin{aligned} \frac{\overline{BH_a}}{\overline{H_cB}}=\frac{c}{a}, \frac{\overline{CH_b}}{\overline{H_aC}}=\frac{a}{b} \end{aligned}\\

因此就有: AHcHcB⋅BHaHaC⋅CHbHbA=AHc¯HbA¯⋅BHa¯HcB¯⋅CHb¯HaC¯=ab⋅bc⋅ca=1\begin{aligned} \frac{AH_c}{H_cB}\cdot \frac{BH_a}{H_aC}\cdot\frac{CH_b}{H_bA}= \frac{\overline{AH_c}}{\overline{H_bA}}\cdot \frac{\overline{BH_a}}{\overline{H_cB}}\cdot\frac{\overline{CH_b}}{\overline{H_aC}}=\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{c}\cdot \frac{c}{a}=1 \end{aligned}\\

因此由 Ceva 定理可得 AHa,BHb,CHcAH_a, BH_b, CH_c 交于一点。

6. 等偏角切氏线 (isogonal cevian)

切氏线 (cevian): 三角形顶点到对边所在直线上的任意点的连接线段称为切氏线。前面所说的中线、内外角平分线、高线都是 cevian 线的例子。

等偏角切氏线 (isogonal cevian): 关于内角平分线对称的两条切氏线称为等角切氏线。

上图中 AP,AP′AP, AP^\prime 为等角切氏线的充要条件是 PAQ^=P′AQ^\widehat{PAQ}= \widehat{P^\prime AQ} 。

在任意三角形 ΔABC\Delta ABC 中，每条切氏线 APAP 都有唯一的等角切氏线 AP′AP^\prime , 它们可以互称等角切氏线。

引理 4.27: 使用上图中的记号，如果 D,ED,E 是从 PP 点到两个边 AB,ACAB, AC 的垂线的垂足， F,GF,G 是从 QQ 点到 AB,ACAB, AC 两条边的垂线的垂足，那么 AP→,AQ→isisogonal⟺PD¯PE¯=QG¯GF¯\begin{aligned}\overrightarrow{AP}, \overrightarrow{AQ}\ \mathrm{is\ isogonal}\iff \frac{\overline{PD}}{\overline{PE}} = \frac{\overline{QG}}{\overline{GF}}\end{aligned}\\ 证明: 首先很容易判定四边形 ADPE,AFQGADPE, AFQG 都是圆内接四边形 (对角互补)。

那么我们立即可得到同弦对应的圆周角相等即 DAP^=DEP^,QAG^=QFG^\widehat{DAP} = \widehat{DEP}, \widehat{QAG} = \widehat{QFG} 。

另外两个四边形 ADPE,AFQGADPE, AFQG 共用一个内角 ∠A\angle A , 显然可以得到 DPE^=FQG^\widehat{DPE} = \widehat{FQG} 。

于是就有 PD¯PE¯=QG¯GF¯⟺ΔDPE∼ΔGQF⟺DEP^=GFQ^\begin{aligned} \frac{\overline{PD}}{\overline{PE}} = \frac{\overline{QG}}{\overline{GF}} \iff \Delta DPE\sim \Delta GQF\iff \widehat{DEP} = \widehat{GFQ} \end{aligned}\\

而 DEP^=GFQ^\begin{aligned} \widehat{DEP} = \widehat{GFQ} \end{aligned} 刚好就可以等价于 AP→,AQ→\overrightarrow{AP}, \overrightarrow{AQ} 相对于角 ∠A\angle A 等偏角。

7. 三角形三组等角切氏线的共点性

我们最终可以陈述并证明 Ceva 定理的期望结论，该定理建立了三组给定切氏线的共点性。

定理 4.28: ΔABC\Delta ABC 的切氏线 AA′,BB′,CC′AA^\prime, BB^\prime, CC^\prime , 它们关于对应角的等角切氏线分别为 AA′′,BB′′,CC′′AA^{\prime\prime}, BB^{\prime\prime}, CC^{\prime\prime} 。

则直线 AA′↔,BB′↔,CC′↔\overleftrightarrow{AA^{\prime}}, \overleftrightarrow{BB^{\prime}}, \overleftrightarrow{CC^{\prime}} 共点或平行当且仅当仅当 AA′′↔,BB′′↔,CC′′↔\overleftrightarrow{AA^{\prime\prime}}, \overleftrightarrow{BB^{\prime\prime}}, \overleftrightarrow{CC^{\prime\prime}} 共点或平行。

在上面定理陈述中的记号，如果 P,QP, Q 分别表示共点切氏线 AA′,BB′,CC′AA^\prime, BB^\prime, CC^\prime 和 AA′′,BB′′,CC′′AA^{\prime\prime}, BB^{\prime\prime}, CC^{\prime\prime} 的公共交点，我们称 P,QP,Q 为等偏角共轭 (isogonal conjugates), 或者称 PP 为 QQ 的关于三角形 ABCABC 的等偏角共轭，当然这种关系具有对称性，交换两者来说也是一样的。

练习

4.5 有趣的弦定理

在本节中，我们将继续探讨三角形相似性概念的基本结论。我们首先介绍相交弦定理 (therem of intersecting chords)，这反过来将使我们得到许多有趣和重要的结论。

1. 相交弦定理

命题 4.29: 给定两条线段 AB,CDAB, CD , 它们所在直线相交于点 PP ，那么 共圆 PA¯⋅PB¯=PC¯⋅PD¯⟺A,B,C,D 共圆\overline{PA}\cdot \overline{PB} = \overline{PC}\cdot \overline{PD}\iff A,B,C,D 共圆 \\ 证明: 有两种情况，两线段相交和两线段的延长线相交。

第一种情况，两线段相交，如下图所示:

若凸四边形 ACBDACBD 的四个顶点共圆，要证明 PA¯⋅PB¯=PC¯⋅PD¯\overline{PA}\cdot \overline{PB} = \overline{PC}\cdot \overline{PD} 。

设 ACBDACBD 的外接圆为 Γ\Gamma , 则 ΔPBC∼ΔPDA\Delta PBC\sim \Delta PDA , 对应边成比例，我们立即可得到上述结论。

反过来，如果 PA¯⋅PB¯=PC¯⋅PD¯\overline{PA}\cdot \overline{PB} = \overline{PC}\cdot \overline{PD} ， 要证明四点共圆。可以证明 ΔPBC∼ΔPDA\Delta PBC\sim \Delta PDA ， 利用命题 3.38 我们可以得到四点共圆。

第二种情况: 两线段延长线相交，这部分证明略去。

命题 4.30: 相交弦定理的极限情形。

推论 4.31: 相交弦定理的推论。

直接由相交弦定理推得，证明过程从略。

2. 欧拉结论

定理 4.32(Euler): 给定圆 γ(I,r)\gamma(I, r) 位于圆 Γ(O,R)\Gamma(O, R) 内，任选一点 A∈ΓA\in\Gamma , 设 AB,ACAB, AC 为 Γ\Gamma 的弦，它们与 γ\gamma 相切。那么 γ\gamma 是 ΔABC\Delta ABC 的内接圆当且仅当 OI¯2=R(R−2r)\overline{OI}^2 = R(R-2r)\\

证明: 连接 AIAI 并延长交 Γ\Gamma 于 PP 点， AIAI 为 ∠BAC\angle BAC 的角平分线。由相交弦定理的推论我们有: (4.6)AI¯⋅IP¯=R2−OI¯2\bbox[10pt,border:1pt]{ \begin{aligned} \overline{AI}\cdot \overline{IP} = R^2 - \overline{OI}^2 \end{aligned} }\tag{4.6}\\

作 IY⊥ACIY\perp AC , 垂足 YY ; OX⊥BPOX\perp BP , 垂足 XX 。我们很容易得到 BOX^=12BOP^=BAP^=PAC^=IAY^\widehat{BOX} =\frac{1}{2}\widehat{BOP} = \widehat{BAP} = \widehat{PAC} = \widehat{IAY}\\ΔAIY∼ΔOBX⟹BX¯OY¯=BO¯AI¯\Delta AIY\sim \Delta OBX\implies \frac{\overline{BX}}{\overline{OY}} = \frac{\overline{BO}}{\overline{AI}}\\(4.7)BX¯⋅AI¯=BO¯⋅IY¯\bbox[10pt,border:1pt]{ \begin{aligned} \overline{BX}\cdot \overline{AI} = \overline{BO}\cdot \overline{IY} \end{aligned} }\tag{4.7}\\ 因为 BO¯=R,IY¯=r,BX¯=12BP¯\overline{BO} = R, \overline{IY} = r, \overline{BX} = \frac{1}{2}\overline{BP} , 由 (4.6),(4.7) 得到: R2−OI¯2=AI¯⋅IP¯=2Rr⋅IP¯BP¯\begin{aligned} R^2 - \overline{OI}^2 = \overline{AI}\cdot \overline{IP} = 2Rr\cdot\frac{\overline{IP}}{\overline{BP}} \end{aligned}\\

因此 OI¯2=R2−2Rr⟺BP¯=IP¯\begin{aligned} \overline{OI}^2 = R^2 -2Rr\iff \overline{BP} = \overline{IP} \end{aligned}\\

而上面右侧的等式成立当且仅当 II 是 ΔABC\Delta ABC 的内心。 #

推论 4.33: 若 r,Rr, R 分别表示 ΔABC\Delta ABC 的内径和外径，那么 R≥2rR\geq 2r , 当且仅当三角形为等边时取等。

推论 4.34(Euler): 设 γ,Γ\gamma, \Gamma 分别是 ΔABC\Delta ABC 的内切圆和外接圆。若 A′∈Γ−{A,B,C}A^\prime \in \Gamma-\{A,B,C\} , A′B′,A′C′A^\prime B^\prime,A^\prime C^\prime 是 γ\gamma 的切线，则 γ\gamma 也是 ΔA′B′C′\Delta A^\prime B^\prime C^\prime 的内切圆。

证明: 若 γ(I;r),Γ(O,R)\gamma(I; r), \Gamma(O, R) 分别是 ΔABC\Delta ABC 的内切圆和外接圆，由欧拉定理 4.32 可知 OI¯2=R2−2Rr\overline{OI}^2 = R^2 - 2Rr\\

将这个等式再次应用三角形 ΔA′B′C′\Delta A^\prime B^\prime C^\prime ，立即得到 B′C′B^\prime C^\prime 与 γ\gamma 相切，得证结论。#

3. 点和圆的位置关系

定义点 PP 关于圆 Γ(O;R)\Gamma(O;R) 的幂为下面的实数 (4.8)PwrΓ(P)=OP¯2−R2\bbox[10pt,border:1pt]{ \begin{aligned} \mathrm{Pwr_\Gamma}(P) = \overline{OP}^2 - R^2 \end{aligned} }\tag{4.8}\\ 因此就有

  • 点在圆上: PwrΓ(P)=0⟺P∈Γ\mathrm{Pwr_\Gamma}(P) = 0 \iff P\in \Gamma 。
  • 点在圆外: PwrΓ(P)>0⟺P\mathrm{Pwr_\Gamma}(P) > 0 \iff P 在圆 Γ\Gamma 外。
  • 点在圆内: PwrΓ(P)<0⟺P\mathrm{Pwr_\Gamma}(P) < 0 \iff P 在圆 Γ\Gamma 内，或称在圆盘上。

另外需要注意到 PwrΓ(P)≥−R2\mathrm{Pwr_\Gamma}(P) \geq - R^2 , 当切仅当 P=OP = O 时取等。

定理 4.35: 若 Γ1(O1,R1),Γ2(O2,R2)\Gamma_1(O_1, R_1), \Gamma_2(O_2, R_2) 为两个圆心不重合的圆，那么平面内满足 PwrΓ1(P)=PwrΓ2(P)\mathrm{Pwr_{\Gamma_1}}(P) = \mathrm{Pwr_{\Gamma_2}}(P) 的点 PP 的轨迹是 O1O2O_1O_2 的垂直平分线。

证明: (4.9)PwrΓ1(P)=PwrΓ2(P)⟺O1P¯2−R12=O2P¯2−R22⟺O1P¯2−O2P¯2=R12−R22\bbox[10pt,border:1pt]{ \begin{aligned} \mathrm{Pwr_{\Gamma_1}}(P) = \mathrm{Pwr_{\Gamma_2}}(P) & \iff \overline{O_1P}^2 - R_1^2 = \overline{O_2P}^2 - R_2^2 \\& \iff \overline{O_1P}^2 - \overline{O_2P}^2=R_1^2 - R_2^2 \end{aligned} }\tag{4.9}\\

上式说明等价于 PP 到两个圆心的距离平方之差等于两个半径平方之差。关于这点的证明，我们放到后面命题 6.8 中完成。 #

4. 两圆的径向轴线

上面陈述的概念中所描绘的轨迹通常称之为两个圆 Γ1(O1,R1),Γ2(O2,R2)\Gamma_1(O_1, R_1), \Gamma_2(O_2, R_2) 的径向轴 (radical axis)。

接下来的例子教我们如何使用尺规作图来构造两个相切或相隔圆 (two tangent or secant circles) 的径向轴线。基于这样的事实: 如果 PP 是由圆 Γ(O,R)\Gamma(O,R) 界定的圆盘外的点， TT 是过 PP 画出的切线之一的接触点，则推论 4.31 给出 (4.10)PwrΓ(P)=OP¯2−R2=PT¯2\bbox[10pt,border:1pt]{ \begin{aligned} \mathrm{Pwr_\Gamma}(P) = \overline{OP}^2 - R^2 = \overline{PT}^2 \end{aligned} }\tag{4.10}\\

例 4.36: 绘制相切圆或相隔圆的径向轴线。

第一种情形: 两圆刚好外切，它们的公切线为 ee 即为所求。设公切点为 TT 。

事实上， ∀P∈e−{T}\forall\ P\in e- \{T\} ，则 PwrΓ1(P)=PT¯2=PwrΓ2(P)\mathrm{Pwr_{\Gamma_1}}(P) = \overline{PT}^2 = \mathrm{Pwr_{\Gamma_2}}(P)\\

第二种情形: 两圆刚好内切，它们的公切线 ee 刚好就是它们的径向轴线。同理可得 PwrΓ1(P)=PT¯2=PwrΓ2(P)\mathrm{Pwr_{\Gamma_1}}(P) = \overline{PT}^2 = \mathrm{Pwr_{\Gamma_2}}(P)\\

第三种情形: 两圆相隔，交点为 A,BA,B : 那么此时径向轴线刚好就是过 A,BA,B 的直线

对于 ∀e−AB:PwrΓ1(P)=PA¯⋅PB¯=PwrΓ2(P)\forall\ e- AB: \mathrm{Pwr_{\Gamma_1}}(P) = \overline{PA}\cdot \overline{PB}= \mathrm{Pwr_{\Gamma_2}}(P)\\

为了演示如何使用尺规作图绘制两个非同心圆的径向轴线，这两个圆可以是内圆，也可以是外圆，我们首先需要建立定理 4.35 的以下结论。

5. 圆心不共线圆的径向中心 (radical center)

推论 4.37: 三个圆 Γ1(O1,R1),Γ2(O2,R2),Γ3(O3,R3)\Gamma_1(O_1, R_1), \Gamma_2(O_2, R_2), \Gamma_3(O_3, R_3) , 它们两两不同心，且三个圆心不共线。那么平面内存在唯一的点 PP 使得 PwrΓ1(P)=PwrΓ2(P)=PwrΓ3(P)\mathrm{Pwr_{\Gamma_1}}(P) = \mathrm{Pwr_{\Gamma_2}}(P)= \mathrm{Pwr_{\Gamma_3}}(P)\\

证明: 两个圆的径向轴线我们已经讨论过，那么如上图所示，任意两个圆的径向轴线已经标记好。因为三个圆心不共线，那么必然有 e12,e23e_{12}, e_{23} 非平行。不妨设它们交点为 PP , 因为 P∈e12⟹PwrΓ1(P)=PwrΓ2(P)P∈e23⟹PwrΓ2(P)=PwrΓ3(P)P\in e_{12}\implies \mathrm{Pwr_{\Gamma_1}}(P) = \mathrm{Pwr_{\Gamma_2}}(P)\\ P\in e_{23}\implies \mathrm{Pwr_{\Gamma_2}}(P)= \mathrm{Pwr_{\Gamma_3}}(P) \\

于是就得到: PwrΓ1(P)=PwrΓ3(P)⟹P∈e13\mathrm{Pwr_{\Gamma_1}}(P) = \mathrm{Pwr_{\Gamma_3}}(P)\implies P\in e_{13} \\

至于唯一性自行验证。

上面所述的点 PP 称为三个圆 Γ1(O1,R1),Γ2(O2,R2),Γ3(O3,R3)\Gamma_1(O_1, R_1), \Gamma_2(O_2, R_2), \Gamma_3(O_3, R_3) 的径向中心 (radical center)。这个径向中心位于三条径向轴线 e12,e13,e23e_{12}, e_{13},e_{23} 上。

例 4.38: 尺规作图，绘制两圆的径向轴线。

  1. 绘制任意第三个圆与前两个圆相交，两个相交圆的径向轴线就是它们交点的连线所在直线。而由上面的命题可知，三个圆的径向中心是它们径向轴线的共同交点。有了两条径向轴线，就可以找到这个径向轴心，设为 PP 。
  2. 然后作 PP′⊥O1O2PP^\prime \perp O_1O_2 , 则直线 PP′PP^\prime 即为所求。

上面的步骤合理性验证我们就略过了。

作为径向中心概念的第二个应用，我们在接下来的两个例子中给出了 Apollonius 关于圆相切问题的两个特例。

值得注意的是，下面第一个例子的解决方案是对上一个例子解决方案中提出的论点的轻微修改作出的简化。

例 4.39: 给定平面内一个圆 Γ\Gamma , 以及圆外的两个点 A,BA,B , 尺规作图，绘制一个与该圆相切，且过 A,BA,B 的圆 γ\gamma 。

解: 如上图所示，先任意绘制一个过 A,BA,B 且与 Γ\Gamma 相交的圆 β\beta 。上面三个圆心不共线的圆的结论知道，我们要求要做的圆、 Γ\Gamma 、以及这个任意的圆 β\beta 存在一个径向中心，由 Γ,β\Gamma, \beta 的两交点连线和 ABAB 连线的交点就是这个径向中心。那么过 PP 做圆 Γ\Gamma 的切线我们前面已经做过，设这条切线为 tt ，则这条切线刚好也是我们要做的圆 γ\gamma 的过 PP 的切线。设这个切点为 TT 。

那么问题就变成，绘制一个经过三点 A,B,TA,B,T 的圆的问题了。这个问题我们前面也构建过。 #

当然，这个问题我们还有其他的解，见 301 页的问题 10。

例 4.40: 给定两个圆 Γ1(O1,R1),Γ2(O2,R2)\Gamma_1(O_1, R_1), \Gamma_2(O_2, R_2) , 这两个圆不相交，另外再给定一个点 AA 在两个圆的外边。现在要求通过尺规作图绘制一个与这两个圆相切且经过点 AA 的圆。

解: 假设问题已经解决了，如上图所示。设 P,QP,Q 分别是所求圆 Γ(O,R)\Gamma(O, R) 与 Γ1(O1,R1),Γ2(O2,R2)\Gamma_1(O_1, R_1), \Gamma_2(O_2, R_2) 的切点。

设 CC 为 O1O2,PQO_1O_2, PQ 的交点。 BB 为 ACAC 与 Γ(O,R)\Gamma(O, R) 的另一个交点。那么我们就有 O2RQ^=O2QR^=OQP^=OPQ^\widehat{O_2RQ} = \widehat{O_2QR} = \widehat{OQP} = \widehat{OPQ}\\

因此得到 OP↔∥O2R↔\overleftrightarrow{OP}\parallel \overleftrightarrow{O_2R} 。

练习

直观地说，平面区域的面积应该是一个正数，我们将其与该区域相关联，并用于量化它所占的空间。我们建议感兴趣的读者参考 E.Moise 的优秀著作 [19]，以证明确实有可能将满足假设 1-5 的平面中的每个凸多边形相关联的面积概念与。本章的目的主要是面积运算的计算，从中提取一些有趣的应用。

5.1 凸多边形面积

1. 面积性质

为了使凸多边形的面积概念有用，我们假设它应该具有以下 (直观上理想的) 性质:

  1. 凸多边形的面积为正实数。
  2. 全等凸多边形的面积相等。
  3. 如果将凸多边形划分为有限的子凸多边形组合，那么整体面积等于各个部分面积之和。也就是说凸多边形是所有有限划分的并。
  4. 如果大的凸多边形内部包含另一个小的凸多边形，那么大凸多边形面积要比内部小凸多边形面积大。
  5. 边长为 1 厘米的正方形的面积为 1 平方厘米。

从现在开始，我们假设公设 1-5 成立。

那么边长为 n∈N+n\in \mathbb{N}^+ 的正方形做完划分，我们可得到其面积为 An=n2A_n = n^2\\

当然边长为 mn\frac{m}{n} 的 Amn=(mn)2A_{\frac{m}{n}} = (\frac{m}{n})^2\\

当然后面比较枯燥的推广到任意实数边长的正方形面积，我们就简单列举一下，有兴趣的自行查阅 (5.1)Al=l2\bbox[10pt,border:1pt]{\begin{aligned} A_l = l^2 \end{aligned} }\tag{5.1}\\

唯一需要在心里知道的是，关于边长为实数的正方形面积实际上考虑的是其极限值。

2. 常见凸四边形面积公式

命题 5.1: 边长为 ll 的正方形面积为 l2l^2 。

命题 5.2: 长宽为 a,ba,b 的矩形面积为 abab 。

命题 5.3: 平行四边形底边为 aa ，高为 hh ，则面积为 ahah 。

命题 5.4: 三角形 ΔABC\Delta ABC 面积 (5.2)A(ABC)=aha2=bhb2=chc2\bbox[10pt,border:1pt]{\begin{aligned} A(ABC) = \frac{ah_a}{2} = \frac{bh_b}{2} =\frac{ch_c}{2} \end{aligned} }\tag{5.2}\\ 最后总结一句: 凸多边形的面积都可以分割为三角形，然后将每个三角形面积求出来加和就得到对应凸多边形的面积了。

面积等价 (area-equivalent): 如果两个图多边形面积相等，那么我们称这两个凸多边形面积等价。

例如长宽为 a,ha, h 的矩形面积与底和高为 a,ha, h 的平行四边形面积相等，我们说它们面积等价。

练习

5.2 一些应用

1. 等面积三角形

推论 5.6: 与底边平行的直线上的任意一点作为三角形的第三个顶点，这样得到的三角形面积都相等。

例 5.7: 绘制与下面四边形 ABCDABC D 面积相等的三角形 ABEABE ，其中 E∈BC↔E\in\overleftrightarrow{BC} 。

例 5.8: 使用尺规作图证明直角三角形的相关等式关系

2. 特殊四边形的面积

梯形的高线 (altitude, height): 梯形两条底边之间的距离成为其高，任意一条两底直线上之间的垂线段都是其高线。

命题 5.9: 梯形面积公式 A(ABCD)=(a+b)h2A(ABCD) = \frac{(a+b)h}{2}\\

命题 5.10: 菱形面积公式 (rhombus of diagonals) A(ABCD)=12AC¯⋅BD¯A(ABCD) = \frac{1}{2}\overline{AC}\cdot\overline{BD}\\

3. 相似三角形面积关系

命题 5.11: 相似三角形面积之比等于对应边之比的平方。

例 5.12: 三角形 ABCABC , 在边 ACAC 上选一点 EE ，左平行于底边 BCBC 的直线交 ABAB 于 DD 点，使得 A(ADE)=A(BDEC)A(ADE) = A(BDEC) 。

首先，如果问题已解决的话，我们知道 A(ADE)=A(ABC)/2A(ADE) = A(ABC)/2 ，而 ADE∼ABCADE\sim ABC , 根据相似三角形对定边成比例 AE¯AC¯=A(ADE)A(BDEC)=12\begin{aligned}\frac{\overline{AE}}{\overline{AC}}=\frac{A(ADE)}{A(BDEC)}= \frac{1}{\sqrt{2}}\end{aligned}\\

那么我们就可以按照如下步骤来绘制:

  1. 以 ACAC 为直线绘制一个圆 Γ\Gamma 。
  2. 设 MM 为 ACAC 中点，作 PM⊥AC,P∈ΓPM\perp AC, P\in\Gamma 。那么根据勾股定理很容易得到 AP¯=12AC¯\overline{AP} = \frac{1}{\sqrt{2}}\overline{AC} 。
  3. 然后以 AA 为圆心绘制半径为 AP¯\overline{AP} 的圆，交 ACAC 于 EE 点，则该点即为所求。

4. 三角形面积公式 2

命题 5.13: 三角形 ABCABC 面积公式 (5.3)A(ABC)=pr=(p−a)ra\bbox[10pt,border:1pt]{\begin{aligned} A(ABC) = pr = (p-a)r_a \end{aligned} }\tag{5.3}\\

其中 p=(a+b+c)/2p = (a+b+c)/2 , rr 为内切圆半径， rar_a 为外切圆半径 ( BCBC 边的外切圆)。

前面一部分: 将三角形 ABCABC 以内切圆圆心到三个顶点对三角形进行划分，三角形面积等三个小三角形面积之和 A(ABC)=A(ABI)+A(ACI)+A(BCI)=cr2+br2+ar2=pr\begin{aligned}A(ABC) &= A(ABI) + A(ACI)+ A(BCI) \\&=\frac{cr}{2} + \frac{br}{2} + \frac{ar}{2} = pr \end{aligned}\\

后一部分: A(ABC)=A(AIaB)+A(AIaC)−A(BIaC)=cra2+bra2−ara2=(p−a)ra\begin{aligned}A(ABC) &= A(AI_aB) + A(AI_aC) - A(BI_aC) \\&=\frac{cr_a}{2} + \frac{br_a}{2} - \frac{ar_a}{2} = (p-a)r_a \end{aligned}\\

5. Carnot 定理

接下来介绍托勒密定理的一个结论，这在数学文献中称之为 Carnot 定理。

定理 5.14(Carnot): 锐角三角形 ABCABC , 外心为 OO 。分别用 x,y,zx,y,z 表示外心到三条边的距离。 R,rR,r 表示外接圆和内切圆半径。则有 x+y+z=R+rx+y+z=R+r\\

证明: 首先，我们可以很容易证明四边形 OPAN,ONCM,OMBPOPAN, ONCM, OMBP 都是圆内接四边形，于是分别利用托勒密定理 (对角线乘积等于对边乘积之和) 得到: (5.4)x⋅c2+z⋅a2=R⋅b2x⋅b2+y⋅a2=R⋅c2y⋅c2+z⋅b2=R⋅a2\bbox[10pt,border:1pt]{\begin{aligned} x\cdot \frac{c}{2} + z\cdot \frac{a}{2} = R\cdot \frac{b}{2}\\ x\cdot \frac{b}{2} + y\cdot \frac{a}{2} = R\cdot \frac{c}{2}\\ y\cdot \frac{c}{2} + z\cdot \frac{b}{2} = R\cdot \frac{a}{2} \end{aligned} }\tag{5.4}\\

另外我们可以得到 A(ABC)=xa2+yb2+zc2A(ABC) = \frac{xa}{2} + \frac{yb}{2} + \frac{zc}{2}\\

另外前面我们知道 A(ABC)=prA(ABC) = pr， 于是就有 xa2+yb2+zc2=pr\frac{xa}{2} + \frac{yb}{2} + \frac{zc}{2} = pr\\

结合 (5.4), 我们就可以得到 (x+y+z)p=(R+r)p(x+y+z)p = (R+r)p\\

Canot 定理得证。 #

对上述证明的直接检验表明，卡诺定理对直角三角形仍然成立。关于将其推广到钝角三角形，请参阅第 169 页的问题 16。

6. 陪位重心 (symmedian point)

陪位重心 (symmedian point) 亦称类似重心或勒穆瓦纳点，是与三角形重心有关的一个点。三角形三条陪位中线的交点，称为该三角形的陪位重心，即三角形重心的等角共轭点。若 G 是△ABC 的重心，K 是 G 的等角共轭点，则 K 是△ABC 的陪位重心。勒穆瓦纳 (É.M.H.Lemoine) 于 1873 年，向法国科学进步协会会议提交的论文《三角形特殊点的某些性质》中，提出了有关几何结构的类似重心学说，后经多年的研究，使理论更完善而严密，形成一套包括基本公式、勒穆瓦纳圆定理等的三角形几何理论。

定义 5.15: 三角形的陪位中线 (symmedians) 是与三角形中线等角切氏线 (cevians isogonal to the medians of the triangle)。它们的重合点是三角形的陪位中心 (symmedian point) 或 Lemoine 点。

在 Lemoine 点的几个有趣性质中，最引人注目的可能是定理 5.17 中收集的。然而，在我们证明它之前，我们需要建立一个辅助结论，这对分析 Lemoine 点的其他性质也很重要。

切氏线 (cevian): 三角形顶点到对边所在直线上的任意点的连接线段称为切氏线。前面所说的中线、内外角平分线、高线都是 cevian 线的例子。

等偏角切氏线 (isogonal cevian): 关于内角平分线对称的两条切氏线称为等角切氏线。

上图中 AP,AP′AP, AP^\prime 为等角切氏线的充要条件是 PAQ^=P′AQ^\widehat{PAQ}= \widehat{P^\prime AQ} 。

在任意三角形 ΔABC\Delta ABC 中，每条切氏线 APAP 都有唯一的等角切氏线 AP′AP^\prime , 它们可以互称等角切氏线。

引理 4.27: 使用上图中的记号，如果 D,ED,E 是从 PP 点到两个边 AB,ACAB, AC 的垂线的垂足， F,GF,G 是从 QQ 点到 AB,ACAB, AC 两条边的垂线的垂足，那么 AP→,AQ→isisogonal⟺PD¯PE¯=QG¯GF¯\begin{aligned}\overrightarrow{AP}, \overrightarrow{AQ}\ \mathrm{is\ isogonal}\iff \frac{\overline{PD}}{\overline{PE}} = \frac{\overline{QG}}{\overline{GF}}\end{aligned}\\

命题 5.16: 设 PP 为 ΔABC\Delta ABC 内部的一个点。若 x,yx,y 分别表示 PP 到 AB,ACAB,AC 两条边的距离，那么 AP→isasymmedian⟺xy=AB¯AC¯\overrightarrow{AP}\ \mathrm{is\ a\ symmedian}\iff \frac{x}{y} = \frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}\\

证明: 取 BCBC 的中点 MaM_a , 并作两边 AB,ACAB, AC 的垂线，设这两条垂线长度分别为 u,vu,v , 则由引理 4.27 可知 (5.5)AP→,AQ→isisogonal⟺xy=vu\bbox[10pt,border:1pt]{ \begin{aligned}\overrightarrow{AP}, \overrightarrow{AQ}\ \mathrm{is\ isogonal}\iff \frac{x}{y} = \frac{v}{u}\end{aligned} }\tag{5.5}\\

然后利用三角形面积及性质进一步推导: ABMa,ACMaABM_a, ACM_a 以 BCBC 边方向考虑为底，那么高一样，所以面积相等。

而它们的面积还能用分别表示为 12AB¯⋅u=A(ABMa)=A(ACMa)=12AC¯⋅v⟺vu=AB¯AC¯\frac{1}{2}\overline{AB}\cdot u = A(ABM_a) = A(ACM_a) = \frac{1}{2}\overline{AC}\cdot v\iff \frac{v}{u}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}\\

于是结论得证。 #

7. 陪位重心最小化问题的唯一解

本节的最后的一个结论将概念陪位重心描述为最小化问题的唯一解。The final result of this section characterizes the symmedian point as the only solution of a minimization problem.

定理 5.17: 三角形 ABCABC 内一点 PP 到三条边的距离平方之和最小当且仅当 PP 为三角形 ABCABC 的陪位重心。

证明: 对于任意三角形 ABCABC 来说，其面积是定值 SS 。我们可以设 PP 到三边的距离分别为 x,y,zx,y,z 那么三角形的面积就可以表示为 S=A(ABP)+A(BCP)+A(CAP)=ax+by+cz2S = A(ABP)+ A(BCP) + A(CAP) = \frac{ax + by + cz}{2}\\

这个等式就等价于 ax+by+cz=2Sax+by+cz = 2S\\

我们的目标是求 min(x2+y2+z2)\min(x^2+ y^2 + z^2) , 一旦三角形给定，则 a,b,ca,b,c 为定值。我们可以利用 Cauchy 不等式来证明 (x2+y2+z2)(a2+b2+c2)≥(ax+by+cz)2=4S2(x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2) \geq (ax+by+cz)^2 = 4S^2\\

于是得到 (x2+y2+z2)≥4S2(a2+b2+c2)(x^2+y^2+z^2)\geq \frac{4S^2}{(a^2+b^2+c^2) }\\

取等条件为 xa=yb=zc\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}\\

反过来，根据前面的命题，当且仅当 P P 是 ABCABC 的 Lemoine 点时，上述关系才发生。 #

知乎用户 小兔叽妈吖​​ 发表

比起都是枯燥的文字定义，

我倒是觉得现在的教材可比我小时候学的教材更适合对应阶段的小孩子呀！

我们没有赶上今年的新课改，

但孩子现在用的数学教材也类似于描述中说的，大部分都是例题，和我小时候学的课本区别很大！

坐标天津河西，北师大版数学！

2014 年 7 月第 1 版次，2023 年 7 月第 10 次印刷。

这版教材每年也是被吐槽的没脸没皮！

孩子现在学到了公顷、平方千米。

课本上的信息看着好像不多，也有家长反应它描述的不够细。

吐槽归吐槽，可如果我们仔细看教材，关键信息它都有呀！

而且还列举了孩子们可以接触的例子，比如操场、教室的面积，这种具象化的东西来让孩子理解面积的单位！

所以，我们到底还想要什么？还需要多少信息来辅助孩子去学习这个知识点？

一本教材，在一个学期有限的时间内，到底需要放多少信息才能满足我们家长的需求？
我们要不要考虑孩子实际的接受能力？
一学期的教材，到底要不要做成百科全书？

知识点学了，剩下的不就是多练习巩固嘛？

就像课本中的这几个片段，定义 + 例子，还不能说明公顷有多大吗？

再比如，组合图形的面积！

也有家长说:

这破教材，啥也不是！
上来就是让孩子计算，做练习，都没有知识点可以教，这是防止孩子自学啊！

真的，我不止一次听家长这样吐槽了。

而真正去辅导过孩子学习，真正看过教材，真正来去站在孩子的角度去看待这个事情的家长，或许看法会有所不同。

我问过孩子，老师在课上会讲「什么是组合图形？」

而教材中看似都是练习题的设置，实际上是在循序渐进的引导孩子去思考「为什么」和「怎么做」？

学习，不就是要多思考嘛？数学，理清思维和逻辑不是很重要吗？

就非要把定义赤裸裸的都摆在那儿喂给孩子们嘛？

再说了，定义也不是没有，该有的定义课本上会体现！

现在更多地还是引发孩子们去思考！

五年级上册，北师大版的数学，大方向上就这些内容⬇

看目录也不多，但这就是一学期要学的内容！

可就这些内容，期中考试都结束了，已经学过的知识有些孩子还是掌握的不够好；但有些孩子就能充分拿捏！

咱说教材不行？

不能够吧！

不妨再聚焦一下孩子的学习习惯、学习态度或者理解能力方面的原因。

再者说，不管是一线城市，还是七八线地方，大家用的教材版本都差不多。

在教育资源分配不均的情况下，教材统一已经很可以了。

最关键的问题是，义务教育阶段，对于不同年级要考察的内容来说，它已经尽可能的去贴合年级段的孩子们的考察目标和学习目标了。

咱要非拿教材来和自己期望孩子达成的目标来比，那确实没法比，因为我们的期望总是很高！

再有，考得难这个话题，我们仔细看看卷子也能发现考察的内容也没有脱离教材的基础知识，万变不离其宗！

所以呀，同样的教材，同样的起点，不同的学习结果，实际上就是对不同学习质量的考察。

结果就是筛选和分流，这个话题我们应该都能懂！

@知乎亲子

知乎用户 知乎用户 OA0OQc 发表

目前我们这些能发现教材离谱的中国人，都是八九十年代教育出来的人为主

我们的教材最早是叶圣陶，巴金这一批老人参与编写的

而现在这些奇怪的教材

是王旭明等回族人故意写的，还经历过毒教材问题，甚至还有五胡入华 等弱化汉族价值观的问题

让我们回溯历史

清据时期，为了奴化汉族

方便管理

他们也是故意废掉汉人的教育来促进稳定的

例如说用强制八股取士弱化汉人的文学能力

或者可以这么说，教育问题可能是一个比较小的问题，

一个大问题是

清到底分不分前后

知乎用户 百日做梦 发表

如果用应试的观点来评价现在的教材，确实离谱。很多都没有给，或者放到了习题里，让自己推导。习题也很简单，普通学生学一遍都能几乎全对。然后回家一看布置的作业，一脸懵逼，考试一看试卷，一口老血。作业比课本难一个，考试比作业难一个数量级。这才是中国教育畸形所在。

知乎用户 山左不肖生 发表

说一个自己的观察：前些天因为别的事情看了看最新版初中数学课本，发现教学内容的次序跟以前相比有了明显变动；我一开始以为是版本问题，后来又找了一个主流版本教材发现差不多。

记得本世纪 10 世代的初中数学内容次序是这样：

六年级：有理数，直线线段射线对顶角同位角内错角，一次函数反比例函数，全等。

七年级：二元一次方程组及应用，各种四边形（菱形矩形等）的纯几何证明，概率。

八年级：实数，一元二次方程的解与应用题，定义在（0，π/2）的三角函数，统计。

九年级：最难的二次函数和圆的纯几何证明，还有函数跟几何的综合。

但是最新版课本把比较难理解的无理数跟实数概念挪到七年级了，反而把比较简单的一次函数从六年级下册挪到了八年级下册；甚至把反比例函数放到九年级和二次函数一块儿学，全等三角形、二元一次方程组等知识点依次往后推半个学年（一学期）。

虽然我大概明白这样做是想把相关的知识放在一个体系里，但我觉得这种排版难免导致六年级的教学内容太少而最后一年多的教学内容太多，不知道各位觉得哪种排版更合理？

相关回答：

新版的高中数学教材为什么要删掉极坐标系？

知乎用户 伏地躲咪喵 发表

离谱也不至于，就是有些支离破碎。

小学课本没看过，不知道什么样。

初高中的物理化学教材变化不大，和二十年以前相比，知识点有删减，大差不大。

数学属于变化比较大的学科。先说初中，第一，几何这种原来学一个学期的东西，拆成了学几年，东一锤子西一棒槌的，看的难受，学习很不连贯。代数删除了大量计算相关的内容，十字相乘，繁分数，高阶因式分解解方程都删掉了。如果学校老师补充了或者补习班学了这些，高中学习平滑一点，否则不少高中老师会爆炸。。。可能做为补救，人教社又出了一本初高衔接的小册子当课本，我说的内容都做了补充，强烈建议家里有初中生的提前学一下！！！人教社的淘宝店就有的卖，非常重要！！！

高中数学教材很多人说防自学，我觉得有点扯。单独看人教 b 版的话，我觉得挺不错，缺点就是深度广度还差一点意思。真想把数学学到 135 以上，那这一套课本肯定不够。建议以人教新 b 版为主，人教老版 ab 版本，北京四中讲义，数理化自学丛书，甲种本，这些当参考书，把这些课本例题包括习题认真刷完（部分书里有些题目远超高考难度），数学 135 应该问题不大了。

知乎用户 xwx406981 发表

看了很多评论，真正觉得教材编的离谱的，感觉都是些可能高考 100 分都不到的人。有些人总喜欢用成人的方式去理解孩子的事情。比如，很多人给低年级的孩子辅导作业，总是搞得鸡飞狗跳的。其实，大多数这种情况，不是因为孩子太笨，而是因为家长太蠢。一些家长，一边对填鸭式教育深恶痛绝，恶语相向，一边却对启发式教育的教材抱有同样的态度。现在的教材尤其是理科，更多是启发式的教育，比如，我们早期的数学课，都是每一章里面包含了多节内容，每一节内容基本都是完整的，基本套路就是要学一个公式，然后，简单推导一下，把公式列出来，然后，后面有几道例题，套用公式基本都可以解出来。现在的数学课，基本都是一章内容混到一起，提出问题，解决问题，慢慢的一步一步引导学生，并没有直接告诉你这个公式。可能到本章学完了才告诉你公式。所以，很多人会不适应。觉得教材是故意为难学生，其实，学习的目的是什么，不是单纯的记住公式，而是锻炼一个人的思维方式。

知乎用户 三叔公 发表

看看新华字典吧，这些词非得这么组吗？

知乎用户 还我民主自由 发表

文化工作者一定要有文化，教育工作者一定要被教育

知乎用户 福建话 发表

我是今年刚刚高考完的学生，虽然总分不错，但是语文只有 116 分已经是班里倒数了。其实回想起来高中三年语文学起来都挺痛苦的。并不知道教材教了我什么，现代文的主旨不知道，书也不告诉我，要我自己探究。文言文一堆重要的词汇不给注释，光靠课文下面的那一些根本就读不懂文章。古诗就更不用说了，老师不讲是完全读不懂的。

我也并不觉得自己是很笨的人（毕竟考到 top2 去了），但是我学语文的时候真的很无力，高考的时候真的很绝望。看到大家的回复都在说数学物理教材编的不好，但其实作为真正的新教材使用者，我觉得跟语文教材比起来，其他的科目都已经算是顶级细糠了，当然这个比喻也只是说的相对上而不是绝对上（高考的时候也多亏了其他科目拯救）……

而且现在的教材也没有《滕王阁序》了，本人还是十分喜欢这篇文章的。

知乎用户 知乎用户 Am​ 发表

从小培养 “依赖性”，听话，服从……，在家听父母，在校听老师，在单位听领导，在社会听“国家”。而教育的各个环节是这种“依赖性” 培养的关键。

教材虽不可能面面俱到，但 “看教材” 和“看教参（教材指导 / 教材学习补充资料等）”就是不能让它们在学生的学习中结合起来，否则要老师干嘛？连 “教参” 都像机密材料，有的学校还得几个老师共用。

这样的国度，所谓 “学习”，不可以自己去思考、去动脑筋，必须听老师的，必须照“正确答案” 学。

知乎用户 妮妞妈妈 发表

坐标上海，作为一个 90 后拿到课本我也想问这个问题，为什么现在小学教材编的这么离谱？

害的老母亲我白天上班晚上还要辅导小朋友。

我家妮宝今年幼儿园大班，明年就上小学一年级了，幼儿园三年宝贝玩的那是一个开心。

幼儿园什么也不教，三年纯玩。

明年毕竟要上一年级了，再加上姑姑家俩娃今年上一年级，由于幼儿园三年一点也没教，上了小学以后语、数、英三门的学业，小朋友吃不消，家长也跟着受罪。

三天两头被家长找，晚上只能给孩子开小灶，每天晚上都到九十点小朋友才能休息。

最可怕的是，中秋放假三天，他们在家里恶补了三天。

听了他们 “惨不忍睹” 的遭遇，我上网买了一年级的三本教材。

首先我们来看看语文

上来就是《上学歌》，然后全文字，没有拼音。

嗯…. 深思几秒，这难道是默认小朋友都认识字吗？

往后翻一翻，翻到后面终于看到拼音字母了，课本中的文字也开始标拼音了。

那前面这几页没有音标的是几个意思？

我记得我们那时候学习语文是先拼音后偏旁部首，现在的课本顺序有点搞不懂。

难道前面几节课是目的是为了干啥呢？

我是没搞懂…

幼儿园不教，一年级直接读，不知道编织咋想的。

再说说这个英语

语文吧前几节是没有拼音，但至少后面是有的。

这个英语就厉害了，一本书没看到教 26 个字母的地方。

我也比较好奇，老师在教小朋友单词的时候都怎么教的？不拆分吗？小朋友写单词的时候怎么写呢？不用一个字母一个字母写出来吗？

还是小学一年级的英语只用学会读，考试全是听力，没有笔试的吗？

我很好奇，毕竟我家娃还没进入一年级，各位知友家长，有知道欢迎评论区答疑，深表感谢 。

最后就是数学

我个人觉得还算正常。

前半部分是认识形状和十以内加减法，后面是二十以内的。

就是这个语文和英语感觉编的有点超出了我的理解范围。

@知乎亲子

知乎用户 侯晓朴​ 发表

都感觉出来编的离谱了，

那么，

为什么

相关的监管部门，

不出来操练编者？

这才是不能触碰的问题。

知乎用户 小酸奶 发表

现在的教材盲目最求 新、变、跟风，好多知识点之间的逻辑关系混乱，基本原理不讲透，说的云里雾里的，主题设计花里胡哨。以前的老课本学生自己对着课本可以预习，因为前后课程设置衔接清晰，学生在原有基础上循序渐进逐步提高。自学或复习时也能看着课本，看到知识的演进，形成清晰的脉络。到现在课本变的豪华了，跟热点跟的紧了，知识脉络七零八落，学生拿着课本想自学都无法着手。天天讲教育水平如何，就课本编的水平来说是巨大退步

知乎用户 哎呀我去 发表

搞笑我都不打算要孩子 他就在离谱和我有鸡毛关系

知乎用户 admin 发表

未来 95% 以上的牛马只需要认字和算数能力，外加一项技能，不需要掌握其他东西，方便掌控。

知乎用户 bugman 发表

我不明白

写字为啥要规定笔画，为啥要区分除和除以，搞一些没用的浪费精力

有这时间，还不如多上两节体育课

知乎用户 风月寒暄 发表

任何一种商品垄断了，都会发展出令人发指的无底线。

历史的必然中，有你，有我，也有他。

不信，君请看，那些联合学校把子女当阶级敌人一样专政的父母们。

当然，更有甚者，会毫无道德负担的，把子女送到武术学校和杨永信手里。

知乎用户 西瓜冬瓜南瓜​ 发表

这个问题，也是很多老师和家长集体吐槽的痛点。现在的中小学教材，特别是理科教材，似乎正在走向一个极端：它们越来越不像传统的 “学习工具”，而更像是一本需要老师深度“二次创作” 的教学大纲。 这种 “离谱” 的编制风格，绝不是简单的编辑失误，而是教育理念的宏大叙事与一线教学现实激烈冲突的结果。

**首先，教材 “去定义化” 和“去公式化”，**是 “新课改”和 “减负” 理念矫枉过正的体现。

新课改的核心思路，是要从传统的 “知识传授型” 转向“能力培养型” 和 “探究式学习”。教材编制者希望学生能 “自己发现”规律，而不是 “被动接受” 定义和公式。他们认为，如果一开始就给出黑体加粗的定义和公式，学生会失去思考的乐趣和探究的机会。因此，教材采用了大量的案例、情境引入和开放式问题。然而，对于大多数基础阶段的中小学生而言，这种 “探究式” 设计往往过于抽象和耗时。当学生无法快速通过情境理解知识时，最终的结果就是知识点被稀释、核心概念被隐藏，老师上课不得不 “跳着讲”，自己补充定义和公式，反而加重了老师和学生的负担。

**其次，知识点设计得 “零散不连贯”，**反映了 “素质教育”目标与 “考试选拔” 现实的巨大矛盾。

教材编写者的目标是面向全体学生，注重知识的广度、应用的场景和素养的培养，追求 “让所有孩子都能快乐地学”。这导致知识点被打散，融入到各种看起来很“生活化” 的场景中，试图展现知识的实际应用价值。然而，现实中评价学生的唯一标准仍然是中考和高考。选拔性考试要求知识必须是结构化、体系化和逻辑严密的。当教材的体系性被打破后，学生难以建立完整的知识框架。老师为了应对考试，只能牺牲教材的 “情景”，自己重新梳理并构建 **“应试体系”。这种 “教材一套，考试一套，老师讲课又是一套”的三角拉扯，最终导致教材成了 “四不像” 的摆设。

最后，教材设计得像一本 **“习题集”，**实际上是对教师专业能力的 “过度赋权” 和对 “自学能力” 的变相否定。

如果一本教材里全是习题，没有清晰的定义和例题，它实际上是要求老师在教学中承担 **“教材设计者”和 “知识点建构者” 的角色。教材编制者似乎预设了所有的老师都具备极高的专业水平和教学创造力，可以利用习题和情境，引导学生自主得出结论。但对于一些基础较差地区的老师或缺乏经验的新老师来说，这种教材设计反而剥夺了他们快速、高效传授基础知识的能力 **。同时，对于那些希望通过自学进行预习或复习的学生来说，教材也失去了基本的工具性价值，变相提高了学习的门槛。这种设计，与其说是 “防自学”，不如说是对传统学习模式的彻底颠覆，但又未能提供一套成熟的替代方案。

知乎用户 土豆地蛋​ 发表

教材尤其是理科，包括人教版，课本上找不到定义、定理、公式、例题，全是习题，防自学？！知识点零散不连贯，老师讲课也只能跳着章节讲。

建议给出具体的案例说明。

不然我只能说你是在胡咧咧。

我也看看什么课本上找不到定义定理公式例题。就是五三王后雄这些，也没有这么搞的。

只有专门的习题练习册，才会出现只有习题的情况。

我举个例子说明一下为什么有些人会觉得教材在防自学。

这张图就是在这个问题下某答主回答里找到的。

感觉像是某音截图。

我不知道一开始搞这个的人，到底是做什么的，初中有没有念完。

做这种视频说事儿的真是对教育教学以及认知规律没有一点点的了解。

这两道题目，左边是过去小学五年级的时候，第一次学习解方程的例题。

这个方程用到的概念是 “被减数 - 减数 = 差 ⇔ \Leftrightarrow 减数 = 被减数 - 差”，属于用过去已经熟悉的理论应用到新问题上。这个时候还没有讲到什么一元一次方程的概念，只是简单接触认识一下简易方程。

其实过去在讲这个时候，很多学生也是学得很吃力，解方程之前要先背一下这些定律。加减乘除都有两个变形，一共 12 个，对于很多学生来说是很累的。

现在课本上是先学习等式的性质，即等号两边同时加减相同的数，等式不变。

所以只需要把未知的问题转化成已知的问题即可，慢慢熟悉方程这个概念。

右边是过去七年级的时候，学习 “一元一次方程 - 移项变号” 的时候，这个时候就需要开始接触稍复杂的方程了，比如 12−x=2x+312-x=2x+3 这种，如果这时候还用 “被减数 - 减数 = 差 ⇔ \Leftrightarrow 减数 = 被减数 - 差” 就很麻烦。而且这种问题也是为了后面需要学习的更复杂的 24−3x+2y=5x−4y+324-3x+2y=5x-4y+3 打基础。

也就是马上就要学习 “移项变号” 这个简单化简操作了。

现在的五年级用的是右边这个讲法，但是道理是一样的，都是为了后面更复杂的内容打基础铺垫。

但是你不能一开始将例题的时候，就直接拿 12-x=2x+3 这个来讲，毕竟第一次学习方程的时候是四年级，需要先用熟悉的问题 5−x=35-x=3 来导入，这样学生比较好接受新方法。

接下来再一步步把 5-x=3 变成 12-x=2x+3，进而 24-3x+2y=5x-4y+3。

这样学生就一步步的学会了。

循序渐进，即是如此。

我真有点怀疑发布防自学概念的人，其动机到底是什么了。

明明现在学习资源那么丰富，网上自媒体也好，网上大学课程也好，你觉得现在教材学校都在防自学，那你倒是去自学啊，去拿三五个博士学位我们瞧一瞧，博士不好搞，十个八个的学士学位也行，再不济，学学木工钳工裁缝烹饪什么的，正儿八经去考几个证书，给我们开开眼，看看没人限制、防自学的时候，人类自学极限在哪里。你要有这个自学的本事，怕是几辈子花不尽的家业都挣出来了，还用担心你的儿被防自学了？

知乎用户 penguinking 发表

就小学的辣鸡教材，逼得我找 70 年代的教材来过渡给孩子讲解，每个知识点清清楚楚每类题型有专门接法，现在的数学书就是低级习题书，一点用都没有。

知乎用户 南瓜 发表

不是早说了筛选人才，让花成花，让树成树，让土成土吗？

譬如我们开会的时候说上课禁止满堂灌，让学生成为主题，多让学生上去讲题，老师负责指导就行。

课堂要让学生活跃起来，让学生互相讨论，准备些小组活动。

我说就这些要求，对自控力不强的学生来说简直就是彻底断了人家上大学的路。

包括不允许买教辅这种事情，我们学校严格遵守，说不买就不买，上面订什么资料我们用什么资料，至于适不适合，有没有用，那不是我们能管的。

但是我们本地最好的学校，人家说这个练习册不好，马上就通知家长重新买什么什么，家长也很配合地转钱订购。

就比如本地书店送了我们教师一些辅助学习的资料，我看了一下有些真的很好，答案，易错点给你写得一清二楚。而我们现在的练习册答案只有最终结果，连个过程都没有。

我读书的时候买过什么《倍数学习法》《尖子生什么什么》《全效学习》，那个时候这些书是真有用啊，每道题后面有解析，解析完了有涉及的知识点，还有变式训练。

其实那时候我们老师也没让我买，是我看到我一个同学在用，我当时觉得非常震惊，还有这种书？（ps: 农村人刚去县城上学，第一次接触教辅）

然后也去买了用，高中也自己买了用。

现在很多地方，给你整一些不合适的练习题，还要求你必须讲解，孩子必须做。做了这个自然孩子的时间少了，你想自己弄点资料给他们都难。

知乎用户 苜蓿 发表

这么关注教育。怎么，你们想生孩子？

知乎用户 Alex YU​​ 发表

我说一个方面。

就是教材的章节知识间的先后和结构。

我女儿在小学高年级，我不记得具体是五年级还是六年级，数学课上已经出现一元一次方程了，并且已经有了需要构建一元一次方程解题的应用题。

为此我还给她说过很久如何设未知数，如何找等量关系构建方程。

今年她升初中了，七年级上来数学学的是数轴相关，比如正负数和有理数的概念，与数轴的数形结合，相反数与绝对值的概念，以及在数轴上的表示，两数之差与数轴上距离的关系，等等。

这一大块我觉得没什么问题，虽然有一节” 二进制 “的乱入。

在这一节里，综合题出现最多的就是数轴上的动点问题，我看她们的教案，老师的讲解，辅导书的例题等等，无一不是将时间 t 设为未知数构建方程的模式。

甚至我前几天一个回答里还提到了女儿因为没有用方程来解某个问题，没拿到该题的分的事。

也就是说，到目前为止，我默认她在之前的学习里已经学过并掌握了一元一次方程的应用。

然后昨天晚上，我让她把数学书给我看看，要制定下半学习的进度目标了。

然后我翻到最新一章，章节的标题俨然是

“解一元一次方程”

是我的表达能力太差了吗？

我的疑问在于” 教材的章节知识间的先后和结构”

我的观点是”解一元一次方程 “这一章节，应该放在需要大量使用” 解一元一次方程“来解决问题的数轴部分之前

初中教材如果认为小学的方程教学已经足够让学生掌握一元一次方程，就不应该设置这一章。（这种情况不太可能，我读书的时候，数学还分代数和几何两本书，代数课上来就是很大篇幅的未知数和方程讲解，这不可能是小学就能搞定的内容）

初中教材如果认为小学的方程教学非常基础粗浅，学生需要一章系统性的专门学习，这一章就应该放在需要大量使用” 解一元一次方程 “的章节之前。

用工具解决问题之前先学习如何使用工具，我觉得应该是这个顺序，所以我说我默认女儿是一个已经熟练掌握一元一次方程的意思是，我认为” 解一元一次方程 “这一章已经在前面学过了，而从我的观点来说，也应该是要在数轴动点问题之前学这一章的。

总比现在这样老师讲数轴，讲动点问题，用方程式表达动点在数轴上的位置，用方程式构建涉及动点的位置、距离的等式时，学生坐在下面半懂不懂，不懂装懂，机械背题要强。

知乎用户 天下无敌大元帅​ 发表

列位，您记住喽：

a) 中小学的课本你都看不懂，那么能找个拧螺丝的活就已经很不错啦，还要啥自行车？

b) 更可笑的是有人说教育不是灌输，真让人笑掉大牙。

你觉得是别人摁着你的头给你 “灌输”，那说明，你就不适合学习这个知识点，懂了吗？

学霸，可不觉得那是灌输，那是解惑，那是原来如此，那是呼吸一样自然。

举个例子：

老师：5 比 4 大 1/4，4 比 5 小 1/5。

学霸：原来如此，他们的不同。

学渣：天王老子来了也是 5 比 4 大 1，4 比 5 小 1，什么 1/4、1/5 的，瞎扯什么，硬给我 “灌输” 这些反人类的知识。

知乎用户 像条小蛇 发表

现在的教育界就是以毁灭为目的！他们快赢了~

知乎用户 元元元 发表

还记得数学课本吗？还记得数学课本的配图作者吗？

到现在还没被判刑呢，大家绝望不？

知乎用户 删帖是国粹 发表

防自学机制啊，教材不是一直都这样吗？

优秀的防自学机制，外加毕业了找不到工作考教师编的老师们，才能让我们的技术停留，才能实现稳定的控制

知乎用户 微信用户 发表

形式主义，或者叫装逼样，或者叫既啥那啥，既就是中考高考要刷人的，那就是我们学生的负担是轻的

知乎用户 不要留恋垃圾桶​ 发表

非常同意问题描述。之前别人说教材离谱，我还反驳过，因为我看过人教版初中、高中理科教材，基本的核心概念是有的，引言以及课后习题扩展也基本没问题。

然而，最近看了小学教材，我这里用北师大教材，真的眼前一花。学数，没有自然数、整数明确定义，学计算没有运算法则，学竖式没有竖式方法，学图形没有图形定义。

离了个大谱。

在小学这根子种下，难怪现在的初高中学生那么多人完全不看教材，也不从定义出发架构知识，没有定义提纲挈领，一味刷题只会得到一盘散沙。

知乎用户 拒绝阴阳怪气 发表

编得离谱，还能广泛使用屹立不倒，是什么原因？有人思考过这一点吗？

学习只为考试，而非真才实学；考试只考教材，又不考真才实学。

课本这一单元写了哪些字，为了考试你就只准学哪些字，这一单元只有 “爷爷” 就不准学“奶奶”，否则就是不务正业，浪费时间。

知乎用户 飘雨山人 发表

1

我认为现在的教材编的很好，也更适合自学。

为什么我觉得现在的教材比几十年前的教材好，根本没有所谓的防自学机制？

2

小学生的思维模式处于高速成长之中，他们需要底层逻辑思维模式，先从更具体更形象的知识入手，更容易建立完整的知识结构。

小学生直接学定义，学一些高大上的 “名词”，难度很大，而且会让他们思维僵化。只是学一些教条解题模板，即使短期能拿高分，从未来发展来看是有害无益的。

以前学生小学教学内容很少，也不补课，并不妨碍出大科学家。

3

真正的学习，需要建立认知体系。知识很重要，如何通过观察探索思考，去形成知识体系，更为重要。

现在的学生，作业太多，刻意训练过多，没时间来仔细思考探究，这是目前最大的问题。好的教材没有反复仔细阅读思考，没有真正弄懂，浪费了。

知乎用户 不入虎穴阉得虎子​ 发表

觉得不对的人，那看除号 ÷ 百分号 % 是不是也不对。

知乎用户 456 发表

何止教材？

教师用书教师教学用书虽然越来越多，但是，比三十年前的差远了，条理都不清晰。

知乎用户 语文课代表 发表

（一）

这几年，“毒教材” 成了网络热词，好多读者挑出了人教版教材的众多毛病，其实，我们挑出的毛病只是冰山一角，如果我们再把各版本的教材对比一遍，就会发现其中还有那么多不可思议的错误。

教材中有毒，很可怕；同时，教材中不仅有毒，还有沙子，这就不仅可怕，还很 “磕碜人” 了。

今天单拿人教版 2001~2012 年的教材为例，讲几个匪夷所思的错误——课文的作者，竟然都可以随便标注！

怎么样？这种错误，够寒碜人的吧？

（二）

请看第一篇课文，题目是《我不能失信》，讲的是少年宋庆龄讲诚信的故事，可是，课文中的宋庆龄那么讲诚信，教材编者却毫不讲诚信，连作者是谁都可以开玩笑。

在 2001 年课程标准实验版教材第五册（三年级上册），这篇课文的作者被标注为 “牟文正”。

而在 2016 版统编语文教材三年级下册，这篇课文的作者又被标注为 “孙永猛”。

经本课代表查找资料，可以基本认定作者为孙永猛，孙永猛（1944~1999）毕业于山东大学中文系，生前曾任山东省文化厅副厅长。课文选自他的作品《女中之杰宋庆龄》。

上面标注的另一位 “作者” 牟文正，也写过一本书，题目是《中华名人童年故事》，其中可能讲到了宋庆龄的事迹，当年的教材编者没有查证，也就将错就错了。

（三）

再看第二篇，《盘古开天地》，在 2001 年课程标准实验版教材第五册（三年级上册），标明作者是 “石宗华、马林、张明华”。

仅仅根据 “石宗华、马林、张明华” 这三个名字，本课代表很难找到有效信息，不知道当年的编者为什么把这么一篇并不出色的课文标注为三个作者，就算抢功，也犯不着抢这一篇啊。

而在 2016 版统编语文教材四年级上册中，这篇文章的作者又换了，成了 “袁珂”。

袁珂是作家、神话学家，著有《中国古代神话》《中国神话故事集》等作品，教材中好几篇古代神话故事都是他的作品，这篇课文的作者就应该是袁珂，以前的那三位作者，都是来冒名顶替的。

（四）

最有意思的是《小马过河》，这可是一篇经典老课文，2000 年之前的教材中，都从来不标注作者，在 2001 年人教版义务教育教材二年级上册中，作者第一次出现，被标注为 “彭席文”。

可是，到了 2016 年，在统编版教材小学语文二年级下册中，课文的作者由 “彭席文” 变成了“彭文席”，这是怎么回事？难道说作者改名了？

哪一个正确呢？当然是 “彭文席”。彭文席是一位中学教师，平日喜欢写作，他写的寓言《小马过河》从 1957 年就入选小学语文课本，承载了一代又一代人的记忆。

可是，长期以来，教材中并没有标注彭老师的名字，彭老师就这样默默无闻地教学生学习自己写的文章，一直教了几十年。好不容易等到 2001 年，新版教材标注了作者名字，可没想到，竟然被标注为 “彭席文”。当时，彭老师已年近八旬，不知道他老人家知道不知道这件事。

不过，这个错误很快就纠正了过来。作者彭老师也已于 2009 年去世，享年 85 岁，他用这一篇寓言，足以被称作著名作家，我们向他致敬！

（五）

虽然我们指出了老教材中的这么多错误，但最后还是强调三点，阐释 “老课文” 的立场。

第一，以上错误，大多数以 2016 年统编版教材为正确 “答案”，这说明，新出的统编教材确实下了功夫，它不应归为“毒教材”。我看网上有“逢教材必反” 者，把统编教材也说得一无是处，我觉得这样做很不客观。

第二，不管怎么说，从 2000 年前的教材中不标注作者，到 2000 年后开始标注作者，再到 2016 年的认真修订审核，这可以说是巨大的进步，这种进步足以掩盖其中的错误，虽然这种错误本不该出现。

第三，教材编写是一件极其严肃的事情，本课代表参与过高中教材编写，当年可以说是非常严谨细致，这也是我如今做 “老课文” 公众号的态度，虽然公众号是闲暇时的游戏之作，但我每一篇都写得很用心。从这个角度来说，以上错误都不该在教材中出现，当年的教材编者应该反思。

另外，我在品评各版本教材时，发现小学教材最容易出现错误，而出现错误后又常常没有一线教师指出，而高中教材中如果有错误，很快就会被老师发现，这种情形也值得反思。

知乎用户 Mr Alex 发表

教材编得离谱已经是老问题、小问题了。如今新的、更大的问题是，学校和老师按自己的办法教也可能被禁止，这才是要命的地方。

我上初中的时候，数学课本还是分代数和几何的。笼统地先教代数再教几何，学生很可能学了代数就忘了几何，所以总是交替着学，教学进度全由学校自己调控，反正一学期得把两本书教完。课本上缺的公式定理和解题方法，老师也会补上，让学生老老实实抄到课本上。比如初中代数的因式分解有个十字相乘法，课本上没有，但是老师讲了。高中数学的三角函数除了课本上的正弦余弦，还有一堆公式，老师也给补上。

但是这样的做法，放到现在可能是有风险的。学校稍有不慎，校长、老师被上面处理还是小事，可怕的是最终还得是学生遭殃。

一方面，学校和老师不仅不能随便增删教学内容，就连用什么教辅都被限死，敢顶风作案自己出作业题、用别的教辅资料的学校简直凤毛麟角。例如近年广州市的中小学普遍被一本叫「阳光学业评价」的垃圾教辅所困，家长在网上大肆批评。该书由广州市教育研究院编写，广州市教育局却表示不是「官方教辅」。不准学校另用教辅是教育主管部门的政策，如今普遍用的书又是官方机构编写的，怎么就不是「官方教辅」呢？

广州市教育局明确：并非 “官方” 教辅

另一方面，学校和老师如果把课讲足、把资料给足，招来的很可能又是家长的投诉。现在不少家长在网上吐槽，为什么作业都要家长打印？让学生回去打印，确实不合理。但问题是，课本上的习题如果是靠谱的，学校又可以像以前那样收试卷费资料费、统一订教辅，让学生回去打印的问题还会不会那么严重？「家委会」还有没有那么大的空间干各种狗屁倒灶的事情？

一个根本的问题是，现在几乎没有人认认真真、踏踏实实地管教学。学生本来一个小时、一个礼拜就能学懂弄通的知识，结果学了十个小时、十个月还是学不会。

电视剧《历史转折中的邓小平》花了相当长的篇幅讲当年从国外购买教材、重新改编国内中小学教材的故事。以现在中国的经济水平，编出真正能让学生把知识学好的教材，会是一件难事吗？

知乎用户 烧饼 发表

想活跃课堂，在探究中铸就分析思维

想联动师生，于合作处促进共同进步

这是新世纪一套套课标及其配套课本的改革新路

课改，即课程改革，详见《中共中央 国务院 关于深化教育改革全面推进 素质教育的决定》（中发〔1999〕9 号）

素质教育的推行，导致课本变成了类似于寻宝地图的探究指南，在课程设置中设置了很多疑点探究问题，这些问题的背后正是很多有用的知识点，要点。可是很多优质师资流失，新上来的有占比并不在少数的一部分老师不清楚这种改革方向，并没有真正落实这种活跃的课堂，还以为新课本跟课改以前的课本一样什么都有，更致命的是很多老师也不清楚学科核心素养是什么，该怎么培养，以为课标里面全是套话官腔，压根不瞟一眼。于是教学的时候就把本该传道授业解惑的培养变成了强行灌输式的培训，加上相关舆论强大的引导推动作用，以及一些没什么营养，胡编一气的资料占领校园，让很多同学陷入了「应试教育」的漩涡之中，让大家叫苦不迭。

课改之后的课标的制定和课本内容安排确实有的地方比较让人难以理解。比如 2003 年教育部颁行的普通高中数学课程标准实验稿规定的必修课程 12345 五大模块的顺序比较让人费解。而 2017 年新的普通高中数学课程标准虽然安排了较为合理的课程顺序，但是内容上暴露的问题更加严重，这里可以从新课标的忠实执行者——中国高中生主流数学课本——多少专家学者心血的凝结——多少天才大家智慧的结晶——课改成果的集大成者——数学发展的里程碑——人类文明的伟大成就——人教 A 版中窥见一二。

知乎用户 乐乐妈妈 发表

教材改的如何，这是一个大问题，私以为自己没有什么资格讨论这个。

我提供另外一个角度。

实际上大多数说教材改的如何如何的，通常只是因为现在的教材跟他读书的时候用的不一样而已。

另外相当多的家长并不具有教小孩的能力，大多数家长只是停留在会，还谈不上教。

甚至会这个事情都出现了问题。

比如很多家长说小学还能教，初中教不了了，这里面不少还是大学生。

实际上他们完全可以教，只是需要重新熟悉下课本即可。

我接触到的很多家长， 比如地理，学的一塌糊涂。

历史也有很多朝代顺序都乱了的。

数学更不提了。

比起重新学习书上的内容，指责教材往往来的容易很多。

本质上大多数人并不热爱知识，也没有什么求知欲。

就算读了大学，很多知识也都被动接受的。

大学毕业了，在本行业内为了生计，深入提高下已经烧高香了。

但是你又不能阻止这样的家长发言呀。

知乎用户 得过且过 发表

教材对素质教育的幻想和现实之间的矛盾。

现在的教材的幻想很「美好」，就是老师在课堂上不单方面灌输知识，而是启发式地、讲故事式的，通过一个个案例，来一步步诱导学生通过自己的思考来探索出想要教授的知识。也就是说，教材不再是一个查询知识的「字典」，而是教师诱导学生的「探索手册」。

比如下面的人教版小学五年级上册讲小数乘法：

是想让学生从生活中的问题出发：学生想买三个风筝玩，每个风筝九块五，一共需要付多少钱，进而让学生领会小数乘法的意义，以及小数乘法如何计算。这里 “小红” 和“小亮”扮演了班级里的两个同学的角色，教材编写者希望老师在提出问题的时候，班级里也会有这样两位同学乃至更多的同学思考出自己认为可以做到的计算的方法。

进而进入下一页：

这两个学生也不是在给学生讲授只是的，是希望老师来提出，或者教室里比较聪明和活跃的学生直接在课程中举手提出，亦或是课程的小组讨论中有人提出，对前一页里 “可以把 9.5 元看成 95 角” 这种做法提出疑问——如果不是价钱，那应该如何计算，然后教室里的大伙对这个问题继续进行头脑风暴，最终有学生想到 “能不能转化成整数” 这个方法。

在这个过程中，班级里的学生会对同学们提出的各种方法进行探讨和纠错，讨论这些方法到底行不行、为什么不行——就像早期的知乎讨论一样。

在整个过程中，老师所扮演的角色更多的不是一个知识传授者的角色，而是一个主持人的角色，主要的职能有：

  • 主持课堂的讨论议题——这是必然的，将军：讨论一定要有议题
  • 调动学生的讨论积极性，防止讨论冷场
  • 进行时间控制——如果学生很长时间没有想出来，这时候就要老师来直接解答了
  • 防止讨论失控——如同你知乎上很多讨论到最后都变成了骂战和人身攻击，老师要在出现这种苗条的时候进行制止

教材的编写者认为，如此的设计课堂，可以从小锻炼学生的探索能力、辩论能力、逻辑能力。如同做科研的理想状态一样，更多的不是照抄教材上的定义定理，而是需要苦逼博士生自己想出 idea，还需要让写出来的论文有说服力有逻辑性现在（当然实际上的 paper 大量灌水就是另一回事了 x）。

但幻想很丰满，现实…… 不好说。在实际操作中，达到这种状态简直太过困难了。

  • 首先，学校的首要目标是成绩和升学，教师的首要目标是班级取得好成绩得到评优和奖金，家长送孩子上学的首要目标同样是考个好成绩和好学校。在这样的显示目标下，让学生得到好的考试成绩的最好方法是用最快的方式来讲知识直接讲授给学生，然后让学生做更多的课外练习题来见识更多题型，否则你这个学校就是不合格的学校
  • 第二，学生的积极性存疑。上过学的都知道，小学一二三年级还好，到了高年级，学生就开始逐渐不爱课堂发言了，到了初中就没人想在课堂出头了，到了高中就更是一片沉默。加上枪打出头鸟、树大招风，这能否能产生有效的讨论不冷场是存疑的
  • 第三，学生的水平和性格参差不齐。且不论地区差异，即使但在一个班级里，也有的学生比较积极外向，有的学生比较消极内向；同时也有的学生比较聪明每次都能给出很好的 idea，有的学生比较笨会遇到挫败感
  • 第四，这种教学方法对教师的要求极高。相比于直接向学生灌输知识，这只需要教师的口才和知识储备，这种教学方法还锻炼教师的主持能力、控场能力、临场反应能力等等——这对教师的要求极高，也极其锻炼老师耐心的性格，需要大量高素质的老师才能支撑，对于内向的教师更是灾难
  • 第五，学生自身对学习的兴趣问题。有很多学生在年轻时是非常调皮的，不喜欢学习。在这种开放氛围下，如果他主动地掉队不想参与，那么他是无法从这种教学模式中得到任何收获的，这是学生的家长就会归咎于学校和教师，认为没有让自己的学生得到良好的教育，只搞一些花里胡哨的，不如直接提高成绩来得直接
  • 第六，中小学生年轻气盛，如果固执己见和刚愎自用，尤其是面对同龄人，或是学习成绩大致相当的同学，在讨论的时候，如果见解不同，那么可能会相互骂起来或者暗自在内心里结仇——就像在知乎上的知友经常说着说着就骂起来一样
  • 第七，现实问题。现实上从来没有老师实践过这样的教学模式，也从来没有人知道该如何践行这样的教学模式，直接向学生讲解知识是所有老师、校长和家长唯一能够掌握得住的教学模式，一旦修改教学模式不一定会出什么幺蛾子，甚至每个人都会手足无措，包括这样的模式是否真的能够实现也是一个大大的问号，因为没有现实佐证，无法说能够实现还是不能够实现
  • ……

当然，直接讲解式的字典式的教材也有很多问题，但这不是这个知乎问题下的重点，就不谈了。

总之，见仁见智吧。

当然，在现在的互联网环境下，这个问题没有讨论的代价（此处为 jumping 梗）。应该编写一部怎样的教材不可能会讨论清楚，因为一定会变成情绪的输出，无法产生有效的讨论，没有逻辑论证，直接结论一下然后一顿输出情绪，是包括你乎在内的互联网任何一个平台的现状。

知乎用户 叉丘 发表

素质教育呗，玩中学，不生搬硬套，趣味学习

看，多趣味，题目是没有的，定义、定理、公式、例题是找不到的，学生一定能在乐趣中学的更好，这就是教研改革成果

结果把最应试的苏式教育甲种本给捧红了

知乎用户 tktkkgjf 发表

中国人太多了，哪怕有 1% 的天才，那每年也能批量诞生数十万百里挑一的天才。

所以必须用更奇葩更艰难的方式挑选人才、挑选出 “千里挑一” 的人才。

知乎用户 金凯 发表

各位大师，有没有人评价这本书的水平？

知乎用户 生存 发表

砖家闲着淡痛，没事做，为了改而改，上面要求做创新，可问题是中小学内容本来就是人类已经完成探究的内容，内容能有什么创新？？？只能在教学形式，方式上改来改去，不这么做瞎折腾的话，上面的人就说你守旧，跟不上时代，只重视知识学习，不重视所谓的学科素养，只会应试。

在这个话题的评论区下方发 7 到一个，对中小学教育正确观点的回答

知乎用户 阿西呀呀 发表

能有 90 小学课本离谱吗？？

五上才设立一个单元系统讲简易方程

四上讲和差积商就安排求解未知数，不讲概念

这是 90 年代小学数学教材干出来的事

错误的编排一帮人还当成宝

还有哈，凑十法平十法早就在 8090 年代小学数学课本就出现了

一帮人也是脑袋空空就来网上叽里呱啦说学校乱教

再举一例

质量单位克千克吨，按理说应该一个单元学完

你猜人教社怎么编的？

二年级学克和千克，三年级吨和千米毫米分米一个单元

80 年代

90 年代二下

90 年代三上

2001 课改二下

2001 课改三上（放在 “测量” 单元，该单元前面是毫米分米千米）

2012 课改（2022 修订）

要不是 2024 课改要求三年级上综合实践 “曹冲称象的故事”，人教这轮课改还把这仨拆开学

2024 课改三上

知乎用户 川上岛 发表

说一个暴论，那些认为教材是被故意编差的人，七八成是又蠢又有被害妄想的。

教育，出书，做题，这实际上是三批人在做三件完全不一样的事情，倒不如说将它们三个能完美地平衡起来才是一件离谱的事情。

出书是什么人在做呢？这个活是手下一群研究生学术牛马分开做的，不流畅不连贯是很正常的事情。

而这些学术牛马的主业本来就不是写教材，充其量也就是只会学不会教，你要让这么十几年不高考的一群人编出一本让 0 基础，学完以后能解答所有疑惑的书，而且还能把各种考试题型囊括的教材，呵呵。

知乎用户 LIIIYTTTTY​​ 发表

群众里面进了狗。

知乎用户 熟能生巧 发表

信教的人不应该进入体制内。应该把所有信教的都清理出去，并且信教的绝对不能进入体制内。

原因很简单，他们一旦进入了，教材方面来说，他们就会把教材改为宗教教材。

其他方面都是一个道理。

文化方面他们会把汉文化改为宗教文化。

饮食方面他们会把饮食改为宗教食品。

衣食住行和文化思想都会被他们搞成宗教方面的。

他们就是被邪教控制的行尸走肉。

阿富汗叙利亚，就是他们统治的最终结果，最终形态。

中国不应该提倡宗教自由，应该严禁一切宗教。

从历史上和现实两个角度来看，所有的宗教都是邪教。

知乎用户 中郎将 发表

不光人教版，比如山东很多用的青岛版数学，你会发现知识点藏在很不起眼的地方（四年级上册乘法分配律、加法结合律）。我都不知道老师怎么用这样的教材讲课的。

不得不去在网上花几块钱买别人整理的知识点。

要是没有有组织有计划的渗透活动，我是万难相信的。

不过话说回来，如同魔王对佛说 “吾子吾孙为僧，披你的袈裟，坏你的佛法”，那也就无所谓渗透了。

知乎用户 88 画船听雨眠 88​ 发表

它们要赚钱，就要编新的；

但是没本事，就离谱

知乎用户 乌木先生​ 发表

原来是先制定教学大纲，然后选择适合的教材，教材是老师、学生共有的唯一书籍。

后来，大纲是大纲，教材是教材，辅导资料占据了主导。

再后来，根据要求大纲越来越 “减负”，教材越来越 “参考”，辅导机构和一对一成为了主角。

现在，教材开始防自学——终于给编不好教材找了一个理由，东拼西凑不通顺的知识点，可以说成是防自学。

当然，也有可能真是怕你学明白，教材正往武侠 “秘籍” 方向发展——或许未来，只有有机缘才能窥探教材中的知识。

@知乎校园

实在看不懂秘籍，还是看看外文教材吧，至少目前他们还没学会我们的 “核心技术”（防自学）。

知乎用户 青椒五香酱油牛肉 发表

上大学前很多老师都喜欢买教材解析来讲课，你以为老师是沙雕吗？按照书本来，那所学校基本没人能上大学了。

于是都互相演戏，教育局说你们不能超纲教学啊！

老师们说好好好，然后翻教材解析。

偶尔也有跳脚的老师说学生你们不要买教材解析!

然后高考考的东西只学书里讲的估计只够上个大专

归根结底就是上行下效，上头解决不了的问题层层传递到下面来了才这么抽象的，总不能指望教育局自己监管自己吧？

我觉得关于思想和文化传承的应该要有国安去审查的环节，防止传播异端或者落后于时代发展的思想。

关于实用和理论技术的要有国防相关部门领头，国内多个头部企业联盟去评审教材，不能让书本的数理化落后时代发展。

要时刻警惕。 上学是为了教你学习的方法结果变成了除了这句话屁的谋生手段都没有的高学历废物这种荒诞的现象，总是把责任归责于这一代学生废掉了这种借口，那么以后也不要怪后人对老人社会残酷

知乎用户 吓一纵 发表

编教材的纯粹是蠢，再加上自以为是的所谓新理念。

知乎用户 虚空 发表

以前我觉得只要上课听老师讲就好了…

现在：

权力只会向她们的来源负责…

编教材的那群人不需要把知识点说清楚…

她们只需要解决领导裤裆里的问题…

知乎用户 懒得起名 发表

人人只会喊着有内鬼。让我想起室外高温火车封闭，只有一个人会砸车窗，是那些没砸玻璃的人感觉不到热吗？请问这群人是受了什么样的教育才会有如此的行为？

言归正传，喊内鬼有没有可能是嫁祸于汉奸的口号？毕竟喊了那么久也没改变，毕竟教材问题从小孩家长到一线教师都意识到了问题（网上很多人发声）。那么现在教材防自学模式，有没有可能是就要从根上杜绝就算一堆人被困车厢，也没人敢去砸玻璃事件呢？这样的人在工厂打螺丝久了才不会反抗，这样的人在加班久了以后才会习以为常，这样的人在长久得不到五险一金的福利下才会觉得是自己不够努力。

谁让现在年轻人太清醒了呢？就算环境有问题，也居然敢躺平，敢不婚，敢不生，敢反抗，敢做自己？

知乎用户 牛啤 发表

因为校外教育利益巨大。

你校内都能学好，我校外还怎么赚钱？

知乎用户 古典心驰 发表

我觉得，对于中央的教育方针和政策，广东省还是执行得比较到位的，尤其是公办学校执行度还是很好的。教育局规定我们的小学生每天必须有一节体育课，教育局规定我们的小学生每天必须有足够的休息时间。因此，我们的公办学校上课时间都已经改到了早上的八点 20 分，并且每天孩子们都有体育课。这两项措施，目前看起来暂时不会有什么影响，但是如果坚持五年或者十年，我觉得这帮孩子得抑郁症的机率会大大降低的。难怪现在有很多上私立小学的孩子一股劲的转回来公办学校了。难怪广东的经济越来越发达，他们对国家的方针政策作出的反应是神速。

正因为上面两项政策的执行，第一体育课占用了时间，第二上课时间推迟。每一天的时间是固定的，因此孩子们相对而言，用于学习主课的时间就相对减少了。因此，按照目前的教材进度，老师们根本就不可能和从前一样保持教学进度，他们只能够是跳着章节来讲课。那么，此时此刻，有良好学习习惯的孩子就比较处于有利地位，因为他们已经养成了预习和复习的好习惯，即使有些章节老师没有讲，他们通过自学已经掌握得差不多了，所以不会害怕跟不上教学的进度。

而那些没有良好学习习惯的孩子就吃亏了，每一步都指望着课堂上的老师来帮你分析和讲解。老师却偏偏有些不讲，那么孩子就非常被动了。考试是需要考全部教学内容的，但是你家孩子没有养成自学、预习、复习的好习惯，明明老师有布置孩子去自学部分内容。但是如果孩子没有听话照做的话，对于老师没有讲的部分，就不会做，就不明白，就会跟不上进度。

为什么对于小学一、二年级的孩子来说，家长最好是陪着他一起共同度过这一两年的时间呢，首先把孩子的习惯给培养好了，孩子养成了好习惯，做事情就不会磨磨蹭蹭的，做作业也有自己的章法。等到了三四年级，尽管学习内容扩充了，可是只要孩子的学习习惯好，一般成绩都不会差到哪里去的。我看到我孩子他们班上那些学习成绩很好的学生，都是在一二年级就养成了良好的学习习惯，做作业做得又快又好，家长根本就不用管了，他自己就会自主管理自己。家长省心省力。但是，如果你在一二年级，没有狠狠的抓一下孩子的学习习惯，他到了三四年级就经常会磨蹭拖拉。此时你再去纠正他的习惯，已经很难了。因为习惯不好的前提下，高年级的知识点又开始变多了，你要一手抓学习习惯，一手抓学习进度，家长就会变得特别的累，孩子也会学得很辛苦。

知乎用户 18 年玩的 发表

语文教材我看着确实有点问题

知乎用户 章鱼大战蟑螂​ 发表

没有吧？我现在在给我孩子讲数学，初中高中课本我都看过了，缺点有，但是没有你说的这些问题，总体上还可以。除了习题还有很多题呢啊。

知乎用户 tt xx 发表

现在逼着自学，而且只能用分专题的教辅，不然看不懂。对于普娃来说，最终的效果就是花了大量精力，仅仅是维持不掉队。

与 80 年代的比较，感觉是为了迎合减负来设计的，

一，以前需要下个总结定义什么的时候，可能是害怕小孩读着绕口，不疼不痒的来个对话，还经常概括不全面，这样读起来就减负了，学起来就没有重难点了。

二，以前需要练习拔高的地方，现在变成了所谓的思考题。本来，好好练习小孩自己可以巩固一些概念的，现在老师因为害怕教学难，还有挑着讲的情况。这样确实也减负，但是学完了记不住了，学后面忘前面。

三，现在的单元试卷可一点不比以前简单，反而更灵活，学的不扎实，考的还灵活，再加上家长的某些执念——人的思维都是偏向于解释自己很强大的，其实 80 年代 90 年代那批也就那样——进而过度贬低小孩。连着考个三五轮不合格，小孩容易自我否定。这才是最大的重点，也是现在两极分化的源头。尤其是个别地区，1 到 2 年级只允许乐考，没有试卷，那个突然性…… 那个挫败感……

另外，某些政治正确，纯属扯淡**，只是被一些极品家长绑架的**。学校老师布置个作业就有不正常的家长投诉然后彻底取消。在校时间短了，学的科目也多了，凭什么不加强练习就能学好。

还能坚持下来的就慢慢补吧，现在五年级，中偏上，还保持足够的信心

这个教材只适合能力比较强的小孩，最少都能记住。而我们普通小孩不得不做更多的练习，以达到之前的效果。

重读了 80 年代的初中课本，有特殊的黑体字标注，每一节都附带大量的练习。然那个时代也有些偏颇，练习很多时候充斥着无意义的计算量，多项式里面满是小数系数，那是因为害怕科技制裁，没有电脑用用人力扛的，跳出来这个坑就是还不错的教材。还有一点不足，有些言语过于硬核，读起来得稍微花点心思。

知乎用户 mumu 发表

给教育部、国务院写信。指出具体的问题。

知乎用户 YouKnow 发表

建议恢复: 凌迟，诛三族，叛国罪，通敌罪，汉奸罪。

知乎用户 易十四 发表

差不多得了

我有段时间做语文的教材梳理，现在梳理完七年级了。

从低到高，每本书每个年级都有自己的特色和编辑逻辑。特别是越往后梳理，各年级之间的衔接可以说是完美，真是由浅入深环环相扣。特别符合小孩的认知规律。

比如说三年级上册学时间地点人物，学各种顺序学留言条学写日记，能找出有新鲜感的句子，三年级文章多童话，通俗易懂。四年级就深入学习并会使用写作顺序，会概括文章大意，会写信 (比留言条多几步)。五年级写景作文就要有动静结合，训练长篇阅读能力和概括能力，要接触经典名著。六年级就要写景时情景交融，详写略写精读速读要求。初一还要学精读速读，对速读要求更高。语言表达上也是如此。

再比如，七年级的必读书目《骆驼祥子》《朝花夕拾》，对于老舍，孩子们四年级一个单元学了老舍笔下的动物，五年级接触《骆驼祥子》的片段描写，六年级上下册都有老舍的文章。鲁迅读起来困难，那就在六年级下册安排一整个单元学鲁迅。这样七年级整本书阅读就轻松很多，更别提《西游记》这种小学就开始看的四大名著

等等等等。

梳理完，我就在想，如果孩子都能跟上学校老师的节奏，每一个能力都练到位，语文应该不是什么问题。

当然，我没孩子我不知道实际孩子接受程度如何。

总之，教材问题不大，也不离谱。如果不信，自己可以去看。

知乎用户 longsheying 发表

还有现在的汉字输入法。

知乎用户 临床实验 发表

别的不说，我儿子最近大班在教拼音。 那个 O 到底是窝还是哦啊？啊窝额？啊哦额？我们小时候教的不都是窝吗？现在怎么读哦？

知乎用户 一叶不知秋 发表

如果家长和孩子都在人教版的数学课本上找不到公式定理，那么说明你们俩个都不适合读书，学个手艺吧！

知乎用户 臭打游戏的死咸鱼 发表

现在才知道问题？你甚至还没意识到，不同版本的教材内容质量本身就存在落差，私立公立，师资队伍，各种现实条件，垄断内卷之类的……

知乎用户 不寒酸 发表

你认为离谱是因为你并没有搞清楚一个事实，那就是学校并不是教你知识的地方，它是一个集中训练你们，以确保你能待在规则需要你待的位置上的机构。

知乎用户 西门文星 发表

看似离谱，其实不然。

觉得离谱，是因为没有看明白编写者的逻辑和基于的教学教育理论。

现在的教材编写突出了一个螺旋式的发展，一步一步都将知识点教给学生，这样的好处就是学生学起来轻松，缺点就是有的学生觉得很简单，一带而过，也就是导致很多学生基础不牢固，不能进行融合贯通，直接导致了这样的错觉：学的不考，考的没学。

而老教材的逻辑系统性很强，学生能够在一段时间内很好的掌握所学知识，这是老教材的优点，但缺点也比较明显：这样的教材难度比较高，学生想要掌握好需要花更多的时间。

最后，推荐一本书《初中数学入门学习—代数篇》。

具体内容，上图！

知乎用户 谁为谁服务 发表

为了让你们在外面找补习班。

这样，孩子要学两遍，相当于提供了两倍的教育就业。

这样，家长就只能更唯唯诺诺的面对工作。

这样，就能从根源上断绝普通人的孩子会成为资本家和官员家孩子竞争对手的可能性。

知乎用户 图书馆的猫 发表

六公主的老电影里有有个剧情，还乡团来了。

社会主义的好，那是需要时时维护的，不然就会变质。敌人迟早打回来，我们还得打回去！

知乎用户 楚辞​ 发表

不知道哪个环节出了问题。

幼稚园一个字儿拼音啥的都不教，到一年级一来就是认句子，字儿都不认识怎么认句子？

一二年级一个英文字母都不教，到了三年级英语课也是直接读句子，拼音还没学明白呢突然学单词真的不会引起混乱吗？

我们那时候幼稚园也基本就是玩，但是一年级或学前班开始就是学拼音，学字先学笔画，字认得差不多了学词造句，初中才开始学英语。

看着好像那时候教学落后，但是学校教学很扎实啊，中文数学孩子们一点点啃，啃到初中拼音用不到了才开始学字母单词保证两个不混乱。

这能保证所有孩子不管有没有父母教都能认字顺利读句子造句一点点来。

现在这样是默认所有父母都认字都有一定的中文基础和英语基础？

幼稚园不让教，上小学突然上来就是词语长句造句，那不就是逼迫孩子父母自己教嘛，不说国情是不是他们理想中的都有基础文化，你就说现在的父母真有时间代替老师的工作一点点陪孩子啃基础拼音文字笔画这些？

你没文化你没时间教那孩子就是一问三不知，老师说的根本听不懂，字都不认看书更是天书了，有些边疆农村教育资源落后的地方所谓的九年义务教育出来孩子跟文盲唯一的差别的他们认中国字儿。

可是我们那时候初中毕业的文化水平其实还可以，基础生活所用的中英文（吃喝拉撒打招呼买卖东西的口语）问题不大，而且初涉了基本物理化学，我们是初二开始教物理化学初一着重教英语。

所以我们那时候虽然大环境不同初中辍学就有一堆人，但是能上完三年初中的基本都能考上高中。

现在这种教育跳级状态只适合要么天才要么天财，一考高中底层家庭大部分孩子特别是留守儿童就全部原形毕露。

这是为了精准分流？

不是说马上要安排十二年义务教育了嘛，就这么个教法不一样考不上大学？

赶紧分流吧别浪费人家底层孩子打工时间了。

哦，现在不准用童工了，那还是多学三年吧反正也不要钱。

知乎用户 人类第一导师​ 发表

不用学了。

我来告诉你，小学毕业就够了。剩下时间花点钱，让你孩子去国外留学。

如果可以的话，尽量移民加拿大或者美国。

因为加拿大几万可以免去考试就可以进入清华北大。

除了一些小学的基本，识字或者错题，可以学一下，初中，高中不用学。

国内一流大学都是一群废物，都是一群蠢货。

我说的是文科。

国内一流大学的所有文科都是一群最愚蠢的人，蠢到极限的人无一例外。

注意是无一例外。

哪怕他是清华大学的，硕士博士也是超级蠢货。

只要他是文科，一定是如此。

知乎用户 老杨识途​ 发表

勇于质疑不错。

学科的课程标准和教学大纲需要通读，新课标和都有相关的讲解视频，可以多看一下，都有介绍的。

更换教材需要时间去适应，同时要综合不同的反馈，在教学实践中检验。

知乎用户 yuna​ 发表

现在教材提倡的就是探索感知提炼总结，要求学生通过活动，练习，实践，自行总结概念，知识，从实践中发现规律在经过加工能够用自己的语言凝练其中的道理。最后再由老师进行一个提升和点播，把碎片信息进行汇总和串联。

学科知识不再是单一性的，死记硬背的东西，而是让学生能够有一种利用学科知识解决身边问题的能力。

我们在做教材培训的时候，那些编写教材的专家老师也说了，很多概念不具有唯一性，不同的来源对于概念的定义在文字上都会有差池，尤其现在的学科，知识，科技水平日新月异，有一天你理解的定义可能在若干年以后他就是错误的了。不下定义好像是新版教材所有编者的统一思想。

教材是专家编写的，就一定会有他的道理。与其抱怨不如尝试去理解去接受。

学科融合和项目式教学以及大单元的思想在新课改中更为突出。教师在备课时也要抛开以前一课一备的思想，着眼于整个单元，将这些书本中零散的内容根据自己的专业技能有效联系在一起，其实对老师的要求更高了。

所以，作为家长，如果有困惑不妨通读教材，好好看看编写者的思想。

新教材是为了培养能够在未来更好的适应新时代新社会的人才，因此侧重点和以往有很大不同，从孩子到老师再到家长都需要转变观念！而且其实对老师对孩子以及对家长都提出了更高的要求！

知乎用户 阿白 发表

这个话题下，绝大多数的回答归纳为两点

1、不懂幼儿教育。

以儿童的眼光，你如果刚开始学下面这个语言，你知道从哪学起吗？

我只是随便举个不恰当的例子，不要以成年人的角度去看待儿童的教育。教材当然不完美，但是你们说的这些更不靠谱。

“爷爷奶奶”这几个字靠在一起就一定更合理？不能是 “女” 字旁的 “姐姐、妈妈、奶奶” 放在一起更容易接受？

2、脑子进豆浆的阴谋论

知乎用户 洪荒行者​ 发表

这就是我说的 17 世纪古董 “启蒙人” 整天在教科书里和 19 世纪网左拔河，各拉一坨大的，苦了我们孩子。

还不如干脆不要说教，纯教语言的新概念英语。

知乎用户 呱唧呱唧​ 发表

我表哥就习惯质疑，质疑学校，质疑老师，质疑课本，质疑中国教育体制。

他孩子在班里倒数，我看回答里的大部分回答同样也是他的质疑，比如 3×4 和 4×3 根本没什么区别，纠结这个有什么用？笔顺比划有什么屁用，现在都电脑打字了？学英语也没什么用，又不让他出国？老师根本不管作业，都让家长教，一天屁事儿多……

我问，其他家长都是这么认为吗？

他又说，不是，人家家长闲呗，有空教，有钱……

我觉得，有质疑挺好的，起码保留了敢于质疑的精神。

但是，同样的教学方式下，自己孩子名次倒数，作为家长自己也是个下力气搬砖无法提供更优质教育、也没法发掘孩子其他天赋的水平下，少点质疑和抱怨，多模仿其他孩子的学习方法和其家庭的教育方法可能对培养孩子更有效，因为多数你质疑没用的东西，可能对培养孩子的学习思维、方法、习惯都是有用的。

知乎用户 桃花岛主​ 发表

我们目前应该也被腐蚀渗透成筛子了。

知乎用户 乖猫​ 发表

被迫害妄想症又发作了

就你那孩子，按着他学他都不学，

还防他自学

学习越差借口越多

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知乎不是号称高知平台吗，一个个回答真是让人脑壳痛。

你怀疑老师上课故意不教，骗你上辅导班

你怀疑教材都是毒教材，防止你孩子自学

你啥都怀疑，就是不怀疑是不是你们家基因和智商的问题吗？

你们家孩子真的自学吗？

一大堆人跑出来 balabala 小学语文先学生字再学拼音，好像天塌了

拼音之前一共就先置了天地人好像还有日月水田之类的不超过十个字

就跟天塌了一样上网叭叭

也就是说，你孩子上小学之前，连这几个字都不认识呗？

这不离谱吗？？

满大街的商店牌子广告语，你就没打算教给你孩子一个字？

到处都是卖绘本的，你们家就没有一本书？

上学前大字不识，扁担倒了都不知道是个一

你还怕啥防自学？

你根本也不学啊你！

知乎用户 边落 发表

1. 教材的编制，不是以满足家长的心意为标准，是有课标要求的。或者说，家长，老师心目中的好教材和教材编制部门心目的好教材不是互相包含的关系。归根结底，教材是人编写的，是人就有自己的想法，就会夹带私货。

2. 国家的教育归根结底是要符合国家的利益的，不要扯为了人的全面发展，素质教育之类的。首先，这些要符合国家利益，否则一切免谈。如果有一天，只需要理工，或者只需要社科，那国家的教育自然也就培养相应的人才。

3. 我们家长是孩子的第一责任人。之前教材五花八门，某个地方甚至出现了分裂主义分子编写的教材进课堂已经十余年。所以现在都是部编版，国家收回来了。某地的老师当时没有发现这种倾向吗？家长没有发现吗？发现了又如何？我的孩子求学生涯就这十几年，对于家长来说我跟你掰扯这对我的孩子上大学有用吗？能养家糊口吗？对于老师来说，更没必要了，铁打的营盘流水的兵。等罪魁祸首被抓了，才会出现某某某丧失理想信念，对抗组织审查。不被抓，他一直是人民的好公仆，甚至是优秀党员，先进工作者。

4. 再直白点，这种情况确实存在，甚至是故意的。是他们一次次试探我们的底线。上了公交车的人第一步就是把公交车车门焊死。对于上面，罢，抓，杀，我们管不到。对于我们，多寻找资料。

知乎用户 满分妈妈学习资料 发表

小学推荐阅读书目打卡活动，童话，绘本，电子书下载！可以让娃在 ipad 上看！不用去图书馆借啦！包括《 彼得兔的故事》《小巴掌 童话》《聪明的章鱼裁判》《好饿好饿的毛毛虫》《一园青菜成了精》《爷爷一定有办法》《肚子里有个火车站》《我妈妈 》 《我爸爸》 《小熊和最好的爸爸》《落叶跳舞》《老鼠娶新娘》《蚯蚓的日记》《要是你给老鼠吃饼干》《胡萝卜种子 》《阿利的红斗篷 》

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部分电子书资源

包括

《 彼得兔的故事》

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《聪明的章鱼裁判》

《好饿好饿的毛毛虫》

《一园青菜成了精》

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《肚子里有个火车站》

《我妈妈 》

《我爸爸》

《小熊和最好的爸爸》

《落叶跳舞》

《老鼠娶新娘》

《蚯蚓的日记》

《要是你给老鼠吃饼干》

《胡萝卜种子 》

《阿利的红斗篷 》.

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放到 ipad 上了

打开后非常清晰

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翻转一下，图片更大

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目前我整理了市面上 80% 的儿童绘本和电子书，都能在 ipad 或者手机上看

知乎用户 愚人节礼物​ 发表

好多人说这事儿说啥内鬼汉奸是有坏人，我也挺气愤的，后来一想没那么简单，教育再怎么说也是一国之本，上面不会不知道这事儿，那为啥还会出这事儿？

我记得以前经常看到关于自学成才的新闻人物，自己预习高年级课本知识，现在这种情况你能学好当下的估计就够你受得了，不借助外力想自学成才估计都难除非天才，

所以我觉得是社会真的不需要那么多高学历大学生，如果不增加难度，人人都是大学生了，那

知乎用户 格林卡啊 发表

之前有人问我:“既然你说人教 A 版高中数学那么垃圾，沪教版和人教 B 都好很多，为什么现在的学生都用 B 版呢？”

“都用 B 版，那 A 版卖给谁去？A 版主编上哪里讲座去？他不讲座，各地教研员怎么进步啊”

知乎用户 远山静月 发表

江浙家长出来说几句？？？

知乎用户 圆月清光​ 发表

如果光摘松果，不栽松树，总有一天，一棵松树也没有了？

摘松果要拔掉松树吗？

知乎用户 努力的胖妈​ 发表

现在的教材已经完全在自我放飞的路上疯癫了。

教材应该是教人成才的，要能够引导学生预习，指导学生学习，帮助学生复习的。可现实的教材却是防自学。是怕学生越学越聪明？还是怕学生会自学了影响经济发展？而且现在的教材分很多版本，人教版，科教版，冀教版，沪教版，部编版……. 太多了，遇到小众版本的教材，想在网上给孩子买个对应的辅导书的都买不到，只能去学校周边的书店买，价格自然也贵。编写教材的老师能否多从一线教师中选拔吗? 不需要职称多高，不需要成果多多，只需要了解一线教学的，了解孩子的老师。

想不明白，看不透。

想不明白就先不想，看不透就先不看。接受自己改变不了了，改变自己能改变的。

既然学生已经不能在教材中得到有价值的内容了，有一项技能就显得尤为重要，那就是 “自驱力”。其实自驱力每个孩子都有，只不过被我们无意识的禁锢了。家长经常会头疼的事情就是，孩子学习没有劲头儿，这就让我们误以为孩子不够努力，应该给他们外部加压。培养自驱力不需要家长和孩子的内卷，需要通过适当的引导，帮助孩子找到自己学习的动力。比如，现在的 AI，我们完全可以脱离课本去学习任何知识。问题就在于，不在家长的监督和提醒下，孩子会不会去研究。

多表扬，少批评。小孩子听话，是因为父母在他们心中是神一样的存在，孩子希望得到父母的表扬，所以他们会听父母的话，去不喜欢的兴趣班，做烦人的练习题。可见，父母的肯定对孩子是非常重要的。孩子做尝试做一件事，无论结果怎么样，我们都要给他们点个赞。但孩子觉得课本看不懂，我们主动拿走课本，打开电脑，让他们听网课。持续的鼓励孩子，久而久之，孩子会变得积极，愿意尝试，对任何事情都保有兴趣。

让孩子做大人。孩子也希望自己能有话语权，能够对自己的事情做决定，至少是可以发表意见。在日常生活中，我们多给孩子做决定的机会，比如周末是去跑步还是郊游，或者去电影院选一部电影，都可以让孩子自己做决定。但孩子意识到自己的决定也很重要的时候，他会主动思考，下一次的决定应该是什么，他的内在动力也就不知不觉的激发出来了。

发现孩子的兴趣点。兴趣班那么多，怎么选择？家长要学会发现孩子的兴趣点并支持他们。每个孩子都有自己独特的兴趣爱好，我们家长所要做的是平时多关注孩子，发现他们在日常生活中表现出来的兴趣。为爱发光，不外如此。

少报班，才是真的爱孩子。一岁早教，婴儿游泳，为了不让孩子输在起跑线上，家长们可以说是不计成本。孩子的课外时间被安排的满满的，搞得孩子晕头转向，跟别提找到自己的兴趣，也就跟谈不上内驱力的事情了。

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放弃复杂的教育手段，减轻无用的压力和焦虑，释放孩子的天性，打开孩子内驱力的窗户。

知乎用户 到岸读行者 发表

我就是觉得，现在中国教育界被外来生物渗透了，想彻底把长从里面挖开……

昨天参加孩子家长会，老师说今天的数学，一个算式，都是砖家们今天这样明天那样，不知道他们想干嘛……

所以中国人民最大的敌人，全在教育部！

知乎用户 物理修正案 发表

这是船心半本的……

知乎用户 孩子们的齐开老师 发表

教材改版这个事是一件很大的事，如果你误以为这仅是一场普通的教材改革，那你真的需要擦亮眼睛，否则可能会吃大亏。你家孩子的整个小学乃至初高中教育阶段，都可能因此走很多弯路。今年的教改与前几年的有着显著不同，它是先变革了考试内容，再让教材内容跟上这种变化，这个顺序是非常关键的。

家长们必须注意，考试的核心目的是为了选拔人才，而教材随着考试的改变进行调整。这清晰地表明了国家对于真正有能力的顶尖人才的渴求已经达到了前所未有的地步，甚至已经细致到了教材内容的层面。换句话说，从孩子踏入学校的第一天起，我们就应该瞄准国家的需要，培养他们的综合能力，这才是这次教改背后的真正意图。

我听一个顶尖老师是这么说的，他说教材改了之后啊，拼的就是孩子学习的主动性、积极性了，他说以前的课本是这样的，比如讲怎么做馒头，用多少面，配多少水，发多长时间，发好了再怎么揉，怎么洗，多大的馒头，什么样的火候，要蒸多长时间，然后考试的时候考的也是这些。所以以前孩子学习，只要他在课堂上认真听，认真背，多做题就行了，就能学的不错。你改了之后的课本是什么样的呢？说他就是直接布置任务时的，比如先简单讲一下馒头，然后就留作业，作业是馒头怎么做能更好吃，让孩子自己回去去想，你要是想不出来，课本里有几个参考说明，孩子可以根据这个参考说明自己去查资料，去学的更全面，懂得更多新教材改了之后呢，学法就靠孩子的主动性和积极性是吧？第一个单元讲馒头，然后往后再讲烧饼、讲油条、讲酥饼。但考试的时候呢，却不是这么高，考卷里可能会出现一些新的创新类的题，就是画卷怎么做，怎么能让馒头更松软，怎么能让馒头更有嚼劲，烧饼还能做出什么花样，什么味道呢？

所以我带大家回头看近几年教育部的一系列动作，从 21 年的双减，到 23 年 5 月份的新闻联播强调，再到 9 月的处罚办法落地，再到今年的北京率先新中考，再到东城、西城、海淀三区的考试题，再到前几个月的新教材改革通知，从上到下，从粗到细，以点扩线。从战略到执行，透过现象看本质，未来至少 10 年的教育趋势明确了！

第一。理工科上大学，上双一流的名额会越来越多，未来国家在选拔人才上面一定是越来越向下衔接。这个对咱们孩子接下来选择文理科有着直接的影响。什么意思呢？向下衔接就是开辟从基础教育到高等教育一体化的识别、选拔、培养、升学的通道，说白了就是从小就开始筛选了。这也是为什么会出现强基计划、科技特长生、五大联赛、综合评价等等这些选拔方案的原因，而且这些未来不仅仅是影响着升学，甚至影响未来招生。据统计，清北正常走考试的下降到了 50% 以下。渠道会越来越多元化，只想着走高考独木桥的家长，只会让孩子把路越走越窄。

第二，国家需要具备何种特质的人才，大学便致力于培养相应的人才。

这里家长们一定要深刻明白的是，国家迫切需要的是那些具有创新能力的人才，那些能够敏锐发现并有效解决实际问题的人才，那些能够助力我们国家成为科技强国的人才，那些能够让我们的关键高科技领域如芯片、光刻机等不再受制于人的宝贵人才。那么，我们该如何通过教育筛选机制精准地把这样的人才筛选出来？

1、情景化

先说英语教改，表面上是轻语法，重单词了，但你要仔细看清题目背后要提高的是孩子哪方面的能力，就会发现，纯粹的语法选择题都改成长完形和写作，但如果没有语法，孩子连句子都组织不好，还谈什么写作，即便是中文作文都需要语法，别说英语了。所以语法不是轻了，是不能再靠死记硬背刷干巴巴的语法题来拿分了，而是全部运用到阅读完型写作里了，是要孩子把知识放在写作里真正情景化的运用。难度上了一个高度，但这种难只是对比以前的死记硬背学英语的方式，当你给孩子更换程度，增加英文阅读时长，多扩充不同的阅读材料，就不会觉得难了。这个就是英语情景化改变方向，无论是单词还是语法，追求能够实际场景用得上。

再说数学，现在的数学卷子上的汉字比数字肯定多，题干再也不会干巴巴问，一定是结合现实生活中的数学应用，发生了什么事，需要用数学怎么解决？像小学数学融入了交通规则，甚至是只能驾驶这里边的的一些情景。

2、跨学科

先说语文，语文的学习从来不是仅仅依靠名著、古诗、字词句的死记硬背，而是要将所有学科的知识都融入到语文学习中，这一点不言而喻，因为无论是哪个行业，都需要扎实的中文功底，未来为国家服务的人才肯定不是只会之乎者也就能胜任的，一定是在具备综合素养的基础上才能为国家做出贡献，因此，跨学科的能力培养再次成为教育的重点。如果你还在坚持传统的学习思维，让孩子分学科死学，那么孩子的分数一定不会太高。因为跨学科已经成为未来中高考命题的大趋势，它代表了我们所需要的顶尖人才在真实环境下应该具备的能力。

再来说说数学，要想在数学科目中取得好成绩，孩子的语文能力一定要强，因为能否准确理解题干，直接关系到解题所需的信息获取，这一点比你脑海中记住多少数学公式要重要得多。其次，这些题干中往往包含了各个学科的知识，如历史、地理、经济、物理等，因此，跨学科的能力培养已经变得刻不容缓。此外，如果平时不让孩子多思考数学的本质，缺乏反思和创新能力，那么即便刷再多的题目也是无济于事，只有那些真正对数学感兴趣、喜欢数学的孩子才更容易在众多考生中脱颖而出，因此，数学启蒙的地位显得尤为重要。

第三个是英语，英语是基础，早教启蒙英语要多听多说，遵从听说读写规律，坚持磨耳朵、看英语启蒙动画等大量的输入，没有方向的家长，直接参照 4000 级英语原版动画分级表，2 到 8 岁孩子都适合，给孩子一部一部的学。动画是目前各种机构用的最火爆的 40 部，我按照难度排序划分了数字、语言、故事和科普四种题材。零基础词汇量看初阶，看学两个月顶别人一年效果。这些视频都是免费的，不花 1 分钱就能得到。我都放文末资料包里了。

这次改革后，小学教育将成为孩子们的第一道门槛，虽然孩子们的学习重点和未来方向看起来是一条光明大道，但对于我们这些普通家庭的孩子而言，仅靠学校的常规教育，很难在激烈的竞争中取得优势，而家长又缺乏丰富的教育资源和高水平的辅导能力，对孩子的学习规划更是感到迷茫，这对普通家庭来说无疑是一次巨大的挑战。那么，正在上小学的孩子该如何规划学习？家长又该如何应对？

清华附小任教 13 年的好友给了我一套《小学学霸秘籍》，里面详细介绍了如何让英语占据优势，如何提升语文阅读能力，以及如何培养数学思维等，还整理了 300 多个学习工具，为那些不知道如何辅导孩子、如何为孩子规划学习的家长提供了宝贵的指导，

知乎用户 一抹遥峰​ 发表

中小学教材本来就不是为了学生自学编制的，学校是没有老师上课吗？为什么反复看到这个问题出现？

知乎用户 趣选书孟清雅 发表

筛选出真正能读书的孩子，去解决 卡脖子问题。其他孩子，拼爹拼妈吧，拼不过，认命。

知乎用户 目的信心和情绪 发表

自从我在知乎上了解到英语这种一年就能学会

小学到高中 12 年教不会英语 三千个单词在那堆语法的时候 我已经知道中国教材是一种什么样的垃圾了

就是玩脑筋急转弯 目录打乱

读了一辈子书的很多人都没懂 90% 的人都被玩成了傻子 大学毕业出来工资 3000

那 10% 是盈利的企业老板，月入几万的程序员，高管

语数外物政史地生 教了十几年 一点有实际意义用途的东西一样都没有 全是驯化教育 和群体化的规训

很多人还在为了自己十几年的沉没成本辩解

我就知道这玩意有多垃圾 但是洗脑意义上它有多成功

它不教你任何有用的东西

不教你社会上如何跟人正确沟通 博弈

也不教你上班，社会现实 如何找工作 如何赚钱生存

就是花中国 60-90 后家长的钱养了 12+4 16 年的废物 不创造任何生产价值的废物

我 90% 的认知都是刷知乎贴吧和现实自己触碰了解到的 学校教了十几年 一堆垃圾

把一个 18 岁的人哄成胎盘 我今年三十 现在在外贸行业 当过小老板 开了几年店 保安 客服 干过工地 工厂 做过阀门水暖的学徒 现在干个破外贸 你知道最让我震惊的一件事情是什么吗？

在灰色行业 有一个 14 岁的小孩 一年利润过亿 员工几千人，我的理解 现代中国学校只是把一个人从幼龄关到 24 岁的监狱 说难听点叫现代监狱

福建有一半的人都买六的灰产 说的足够明白了吧

我爹 现在 60 岁，14 岁我家在山上有房，我爷爷生了俩男孩 三个女儿 给了他 50 块钱出门打工去当苦力（他那会是小孩不？）

14 岁在几十个工人里混进了厨师的位置，做几十个人的饭 不用去打木桩，工资是一样的 ，他是小孩还是那几十个工人大部分是小孩？

他初中学历从全身上下家里给他凑了 50 块钱，到在泉州做阀门水暖在厦门三套房子

他十四岁的时候收入工资水平能力当时都比我这三十岁高中毕业的废物强多了，我是从来不干稍微苦一点的活，饿不死就好

大部分所谓的家长 ，无法在基础社会帮自己家的娃突破 小孩 0 接触社会 认知 0 给他关学校和家庭的俩水泥棺材 关到 24，养一个废物小孩，是非常有优越感的

因为 0 成本把一个累赘，丢到学校里去

什么也不用操心 也不用担心被混混社会的欺负，遇到各种各样的问题 把人像鸡鸭鹅一样 10 岁关在鸡圈里关到 22 当然不会有什么问题

学习就＝好事 这种垃圾认知改改

让人遭受十几年损失的认知 还在争吵它是好是坏

真蠢 让你和小孩过得好的东西就是好东西

让你生活变差的东西就是损害

rz 真多 学习＝赚了的 傻逼认知改改

知乎用户 刘润达 发表

不论如何，总有 50% 的学生 / 孩子排名是后 50%，总有 95% 的学生 / 孩子，进入不了前 5%。

非常残酷：这不是他们努力就能改变得了的。

即使一部分人通过努力改变了自己的排名，结果也只是：换了一些人在后 50%/ 进不了前 5%。

在教育焦虑的大环境之下，“排名失败者”总需要一些心理安慰和疏导。但学校是分不出精力做这些事情的。所以，类似 “教材编的烂、防自学” 的说法，就能够成为一个比较好的借口，家长可以安慰自己说，并不是自己家的孩子比别人差，而是教材有阴谋，不想让孩子学得好。

知乎用户 大圈人 发表

教考分离最抽象的一点是去教材犄角旮旯找 “论据”，要我说整个社会也全在搞房间里的大象。

教育方面正版教程只字不提做题考试，但是各种考点全藏在课后题，补充题里面，尤其是文科，搞得跟拿教程考古一样。

原因是教材是必须美好且能让绝大多数人看懂的 (存疑)，但是考试又是选拔的，但是又不能超纲，于是编委会专门留了课后题这类空子，所以正文都是“用处不大” 的，反倒是课后习题比正文重要。

知乎用户 风雪夜归​​ 发表

文章批评当前小学和中学教材编制不合理，指出语文和数学课程设置存在诸多问题，如汉字学习顺序混乱、低频字过多、数学课程进度缓慢等，认为这种设计不仅增加了学生和教师的负担，还影响了学生的学习效率和兴趣，呼吁从课程设置和教材改革上真正实现减负。

现在的教材越来越 " 防自学 " 化，具体表现为：

知识点碎片化：将完整的知识体系打散在不同年级，美其名曰 " 螺旋式上升 “，实则让学生无法形成系统认知。比如数学中的函数概念，从初一讲到高三，还是有很多学生搞不明白。

结论直接给出：很多公式定理不再展示推导过程，直接要求记忆结果。物理教材中的很多公式，只告诉学生 “就是这样”，不解释 “为什么这样”。

衔接性差：不同学段教材衔接不畅，初中和高中知识出现断层。很多高中老师反映，学生初中学的知识点到高中完全对不上。

插图泛滥：用大量插图占据版面，真正的内容反而被稀释。某版本语文教材，一学期要学 30 篇课文，却有 100 多幅插图。

高校教授主导：多数来自 985 高校，但缺乏中小学教学经验。某版本数学教材主编坦言：“我上次给中学生上课还是 20 年前。”

教研员参与：各级教研员成为编写主力，但很多人早已脱离教学一线。某省教研员承认：“我已经十年没站过讲台了。”

出版社编辑：负责 “润色” 和 “排版”，实际上经常为了版面牺牲内容。某编辑透露：“有时候为了控制页码，只能删减内容。”

神秘专家：总有几位 “匿名专家” 提出修改意见，但谁也不知道他们是谁。

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