趣闻 | 江总书记与五点共圆问题

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导读：五点共圆问题早在读中学的时候我们就知道，并且证过，题目介绍说这是江泽民主席给澳门濠江中学的学生出的一道数学题，流传甚广。最近读到《师从张景中》（彭翕成著）中关于该问题的介绍，才了解到其中的背景，感觉非常有意思，现将其摘录分享给大家。从中既可以了解到该问题的一段有趣故事，还可以欣赏该问题的美妙之处，文中还介绍了关于机器证明的一些知识。

江总书记与五点共圆问题

2000年10月18日，张师接到一个电话。

“您好！您是张景中教授吗？我是江泽民。”

“是的，我是。” 张师简直不敢相信自己的耳朵。可是，他还是听出来了，这确实是江总书记那熟悉的声音。

“院士科普丛书里有本《计算机怎样解几何题》，是您写的吧？”

“是我写的。我很高兴您给丛书写了序言。”

“我教过几何，也是一个几何爱好者。有时间看看您那本《计算机怎样解几何题》，也是一种很好的休息。那本书里有些我不明白的想请教您。”

“谢谢您看我的书。什么问题呢？”

“书里有这么个问题，关于一个一般的五角星的问题，不是我们国旗上的那种正五角星，是一般的，五个角大小不一定相同的五角星。五个角，是五个三角形。在每个三角形上作一个圆，外接圆，一共是五个圆。相邻的两个圆本来有一个交点，还会有一个新的交点。要证明的是：这五个新的交点共圆。您的书上说用计算机解决了这个题。不用计算机，人也能证明吧？”

“能证。用几何课本上的知识也能。只要证明其中四点共圆就可以了。”

“对的。因为三个点就能确定一个圆。我和陈省身，还有别的几位数学家谈到过这个题目。他们也说能证。您知道怎么证吗？”

“我想能证。我以前给数学奥林匹克选手讲过，可以回忆起。”

 “您能不能写个证明给我看？我在休息时喜欢想点几何问题，这是一种很好的休息。您估计多久能写给我？”

“我想明天下午5点前能写好。因为上午约好有个采访。”

“那谢谢您，再见。”

10月19日，张师将他为五点共圆定理所做的一个证明，连同他写给江总书记的一封短信，交给有关部门，请他们转交给江总书记。

同年12月20日，在澳门出席澳门特别行政区成立一周年庆祝活动的国家主席江泽民，来到濠江中学，即兴给同学们出了这道五点共圆的经典几何题。此题一出，迅速激起了全国众多数学爱好者的热情，一时间被传为佳话。

如图，作五角星ABCDE，产生5个交点G、H、I、J、F；再分别作△AGF、△DHG、△BIH、△EJI、△CFJ的外接圆；这5个圆生成5个新的交点M、N、P、K、L；求证：M、N、P、K、L五点共圆。

超级画板自动推理只需2.9秒，图为部分推理过程

我曾多次向张师请教过五点共圆问题。现将张师的一些看法整理如下：

这道题有两个特点：一是图形非常美，有五角星和圆，五角星的形状既可以是正五角星，也可以是歪歪斜斜的，如果没有人告诉你这个性质，你很难想到；二是证明所需的知识点不多，利用圆周角定理和圆内接四边形对角互补，反复证明四点共圆就行了，极其有趣。

一个几何题，如果大家看不明白就不会流传；如果解起来很难，要用到很多高深的知识也很难流传。在几何里，像五点共圆这种漂亮的题目不止一个，但它相对来讲是比较典型的。

江总书记很早就对五点共圆问题有兴趣。1993年，在接见获得数学奥林匹克竞赛金牌选手时，就曾经提到这道题。也不止一次地与著名数学家，如陈省身等谈到过这道题。江总书记看了张师写的《计算机怎样解几何题》之后，知道可以用计算机来证明这道题。

小编注：《计算机怎样解几何题》最初由清华大学出版社出版，脱销多年。现今由湖北科技出版社出版，有兴趣的读者可以参考。本书结合实例向读者介绍了消点法、自动求解的代数方法等利用计算机的认识图形符号、进行加减乘除等基本功能解几何题的方法。

张师留意五点共圆问题也很多年了。80年代，美国科学基金委员会的一位专家，写信给吴文俊先生，问能不能用机器证明这道题。因为中国在机器证明领域是走在世界前列的，吴先生是这个领域的权威。但这个问题根据吴先生的方法，在工作站上运行了20个小时，机器溢出，证明失败。

吴文俊（1919～），数学家，中科院院士，主要成就在拓扑学和数学机械化两个领域。1997年获自动推理领域最高奖Herbrand Award，2001年首届国家最高科学技术奖得主，2006年获邵逸夫奖数学科学奖。（小编注：点击《吴文俊的数学人生》了解更多）

这中间存在很多需要考虑的问题。为什么机器会溢出，其中一个原因就是信息量过大，通俗地说，就是爆炸了。想想看，四点共线蕴涵了4条有关三点共线的信息。五点共圆，则蕴涵了5条有关四点共圆的信息。如果把这些信息按照常规方式写出来，非常占空间，而且以后查找信息也不方便，需要采取一种更紧凑的形式。有些谓词描述了几何元素或几何量之间的等价关系，如平行、相似、全等、等长，这类信息的记录就可以按等价类的形式来处理。这叫信息的压缩。

例如，已知AB=CD，AB=FF，可记作 (=AB CD EF)，以后又得到新信息CD=GH时，就把原来的记录扩充为 (=AB CD EF GH)，同时自动地得到新信息GH=AB和GH=EF。这样，一些较平凡的推理在信息记录和数据整理过程中就自动地实现了。这使推理效率得到提高。

小链接：1948年，塔斯基（Tarski）发表了一条引人注目的定理：“一切初等几何和初等代数命题构成的命题类，是可判定的”。

什么叫初等几何和初等代数命题？什么叫可判定？这需要解释。

命题是一个具有前提和结论的判断句。如果命题的前提和结论都可以用有限个整系数多项式的等式或不等式来表达，它就叫做初等几何和初等代数命题。　　　如果有一套机械的方法，对于某个命题类的任一命题，都能用这套方法经有限步的操作而确定命题的真假，就说这个命题类是可判定的。 　　

　　塔斯基定理的证明是构造性的。也就是说，他确实提出了一套能判定任一个初等几何或初等代数命题的机械化方法。可是这方法的计算复杂度太大了。即使用快速的计算机，也不能在合理的时间内（比如说几小时或几天）证明稍微难点的几何定理（如许多中学生就知道的几何事实，像西姆松定理）。在很长一段时间内，下面这个看来很简单的问题，机器都解决不了。已知A、B、C三点共线，A、B、D三点共线，A、B、E三点共线，求证C、D、E三点共线。而如果按照张师的想法，问题是很容易解决的。图为超级画板的自动推理结果。

而如果要使得机器所给出的证明是人能看得懂的，还需考虑更多的问题。譬如使用全角来代替传统意义上的角，推理更加方便，可是中学教科书上又不讲全角。为了教育的需要，传统的角又不能不用。所以我们最后决定：内部推理用全角，而生成证明或解答时，再根据具体图形翻译成用传统角表达的形式，兼顾推理效率和可读性。

五点共圆的一般形式是Clifford链定理，定义如下：

两条直线交于一点，称此点为两线的2级Clifford点（简称2级点）；三条直线确定的3个2级点共圆，称之为这3条直线的3级Clifford圆（简称3级圆）；

对任意正整数n>1，平面内两两相交且任意三条都不共点的2n条直线产生的所有2n-1级Clifford圆共点，称为这些直线的2n级Clifford点；两两相交且任意三条都不共点的2n+1条直线产生的所有2n级Clifford点共圆，称为这些直线的2n+1级Clifford圆。

当时，上述定理即为Miquel定理和五圆定理，如图所示。

Miquel定理和五圆定理

Clifford链定理的证明，已经有不少了。但人们总还是希望寻求更简单的证明。 

张师用原始而简单的数学符号来刻画两条直线的交点、三条直线所确定的三角形外接圆等几何对象（称之为M编码），给出了Clifford定理在n=5,6时的简洁的证明。后借助数学归纳法，推广到为任意自然数的情况．在张师的指导下，李涛用Mathematica编程实现了Clifford定理的机器证明，所费时间不到10秒。这种M编码应该还可应用到更加广泛的领域，有待我们进一步研究

* 本文摘自《师从张景中》一书，作者彭翕成，清华大学出版社出版。本书真切细致地记述了著名数学家张景中院士对青年学生的关心照顾和指导培养，而作者自己虚心向学，终略有小成。本书角度独特，记录真实可信。书里张师的教导对于年轻人治学具有广泛的指导意义，而其中的师生故事也让人潸然泪下。本书不局限于对张景中先生治学研究、培养人才等有兴趣的数学爱好者，书中所传递的坚韧不拔的精神振奋人心，给人以鼓舞，适合所有有志奋斗者阅读。

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