《重谈哥德巴赫猜》勘误

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《重谈哥德巴赫猜》勘误

作者：Sr. Loonie

新语丝今年3月6日所载之《重谈哥德巴赫猜想》（以下简称《重谈》）本为正本清源之作。但我读罢，却顿觉“秦人不暇自哀，而后人哀之；后人哀之而不鉴之，亦使后人而复哀后人也。”

文中有三处涉及数论和史实的重大错误：

其一，1到底是不是素数？大多数古希腊人根本就不承认1是一个数，自然也不会认为这是一个素数。后来，中世纪和文艺复兴时期的许多数学家将1纳入并作为首个素数（这或许是《重谈》中把1当作素数的原因之一吧）。但是，在研究类似质因数分解这样的问题时，如果1是素数，而1的任何次幂都是1，那么某数的因数个数就无法得到明确的结论。同样地，埃氏筛也会因为一开始就把除了1以外所有的自然数都剔除了而失效。因此，在20世纪初，数学家开始将自然数分为三类：素数、合数和单独的1。现在的数学课本上都会说：1既不是素数，也不是合数。有趣的是，克里斯蒂安·哥德巴赫 (Christian Goldbach) 在与莱昂哈德·欧拉 (Leonhard Euler) 通信讨论今日所谓“哥德巴赫猜想”时，将1当作第一个素数，而后者则坚决否定此议。

其二，素数都是奇数吗？从《重谈》所举的例子来看，似乎所有的素数都是奇数。可是，偏偏还有那么一个自然数，既是素数也是偶数，那就是第一个素数——2。不知道《重谈》举例时为何恰恰漏掉这么重要的一个素数。

其三，哥德巴赫猜想的正确陈述是什么？1742年6月7日，哥德巴赫在信中提出一个猜想：

任一大于2的整数，都可表示成三个素数之和。

欧拉在6月30日的回信中注明此猜想有一个等价的版本：

任一大于2的偶数，都可表示成两个素数之和。

（两者陈述的差异缘于前文所及不同的素数约定）

欧拉将此猜想视为一定理，但自言无法证明。今日常见的猜想陈述即为欧拉版，亦称为“强哥德巴赫猜想”。既然有强，那自然就有弱。“弱哥德巴赫猜想”为：

任一大于5的奇数都可写成三个素数之和。

“弱猜想”之所以“弱”，是因为如果“强猜想”成立，则“弱猜想”必定成立。2013年，有人宣称已完全证明“弱猜想”（还在审核中）。根据奇偶性的不同，“强”、“弱”又分别称为“偶数哥德巴赫猜想”和“奇数哥德巴赫猜想”。

数学不是自然科学，却比自然科学更注重严密性。所以，提请新语丝审核校对类似文章时，能更严谨一些。

(XYS20160313)

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