牛顿的水桶1687-2011

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牛顿的水桶1687-2011

作者:方励之

绝对的转动

经典物理的开山之作“自然哲学之数学原理”发表于1687年。书中,牛顿第一个讲到的物理实验是水桶实验。

牛顿说,用一根长的软吊绳提一桶水,把吊绳拧成麻花状。如果你握住吊绳,不让麻花状的绳子松开,桶及桶中的水是相对是静止的,水面是平的。突然放开手,麻花开始放松,吊绳旋转,水桶也随着吊绳旋动。最初,桶中的水并不转动,只有桶在旋转,桶和桶中的水有相对转动。慢慢地,水被桶带动,也开始转动。最后,水和桶一样转动。这时,水和桶之间又是相对静止的,不转动的。但水面却呈凹状,中心低,桶边高。牛顿爵士特别说“ I have experienced”。他亲自做过这实验。

这个实验很容易,任何有水桶和软绳的人都可以试试。我也多次做过这个实验。 1957 冬 – 1958年春, 我在河北省赞皇县南邢郭村下放劳动。天天要用软吊绳的桶从约十米深的井中打水。水桶的姿态只能用软吊绳控制。没有十天半个月的练习,是学不会水桶姿态控制的。结果是,任凭你让吊桶十五次七上八下,每次提上来的水,大多不过是半桶水,而且在旋转。常被同吃同住同劳动的老农(其实不老,同我年龄相仿,但农活经验老道)笑话:“哈哈,半桶知识分子……”。半桶正好作牛顿水桶实验。牛顿爵士当年可能也在苹果树附近的井中打过水,所以,“I have experienced”。

水桶实验的关键是揭露,有两种“桶及桶中的水是相对是静止”的状态。最初(第一状态),绳被放松之前,“桶及桶中的水是相对是静止的,水面是平的”;最后(第二状态),绳被放松一段时间之后,“水和桶之间又是相对静止的”, 水面却是凹状。两种状态中,水和桶之间都是相对静止的,但水面却不同,前者平,后者凹。引起牛顿的疑问,为什麽?

为此,牛顿问一位“聪明人”:“为什麽桶中水面有时平,有时凹?”

聪明人答:“这个问题简单,转动时水面凹,无转动时水面平。”

牛顿反诘:“不对吧。你看水桶实验,在第一和第二状态时,水相对于桶都是无转动的。但水面可以是平的(第一状态),也可以是凹的(第二状态)。”

聪明人觉得这个问题也不难答:“虽然在第二状态水和桶之间相对无转动,但实际上水和桶同时都在转动,它们并不是在真正的无转动状态,只是相对无转动而已。所以,水面是凹的。”

到要害了,牛顿的兴致来了:“那就是说,转动必须分成真正的无转动,和相对的无转动。只在真正的无转动状态,水面才平。有相对无转动,没有真正的无转动,还不行。”

聪明人只能同意了:“应当是吧。”

牛顿再追问:“那,谁是在真正的无转动状态?”

聪明人意识到这是难题,只能碰碰运气了:“水井就没有转动呀!水井就在真正的无转动状态。”

果然被牛顿抓个正着:“哈哈,聪明的朋友,水井建在地球上。如果水井是在真正的无转动状态,地球也应当是在真正的无转动状态。这不就同哥白尼学说矛盾了吗? 地球的自转一天一圈,公转一年一圈,虽然比水桶的旋转慢得多,但也是在转动呀。”

聪明人语塞:“……”

牛顿紧逼:“再想想,什麽东西在真正的(或绝对的)无转动状态?”

聪明人想:是太阳?不对,太阳也有转动。是银河系?(牛顿时代,尚无银河系结构概念)不对,银河也有转动……

聪明人已无招架之功了:“牛先生,还是请你告诉我们答案吧。”

其实,牛顿自己也不知道答案。但是,牛顿的过人之处,在于敢大胆假定他自己也没有见过的东西。牛顿在他的“自然哲学之数学原理”里假定,“绝对空间:其自身特性与一切外在事物无关,处处均匀,永不移动”。“永不移动”的东西当然是不会有转动的。所以,“绝对空间”是在绝对的无转动状态。尽管,谁也没见过“绝对空间”。

这样,水桶实验的一个自洽的解释是,只当桶中水相对于绝对空间无转动时,水面才是平的,否则是凹的。

马赫的解释

一百多年后, E. 马赫 (1838-1916)强烈反对牛顿的解释。主要理由就是,牛顿的假定 —— “当桶中水相对于绝对空间不转动时,水面才是平的”—— 是无法实验检验的,无法证伪的。谁知道如何观测“绝对空间”?

马赫提出的解释是,如果桶中水相对于整个星空背景无转动,水面是平的。当水相对于星空背景有转动时,水面是凹的。马赫的解释中,不需要绝对空间。表面看,马赫似乎只是用“整个星空背景”替代了牛顿的“绝对空间”。但二者有很大不同,马赫的解释是可以检验的。人人都看得见“星空背景”,而看不见“绝对空间”。

人类很早就以星空背景作为位置和方向的基本参考系。无论是在陆地上旅行,或在海上航行,星空背景都是有效的导航者。(南邢郭村是一个很孤立的小村。如果在无月夜去其他村,必须靠星空辨识方向。否则,在四面漆黑的平坦的田野上,很容易走失方向,严重者走成鬼打墙的圈子。所以,老农警告:“阴天夜不出行”。)

表面看,马赫的解释似乎与星空导航相似,实则有很大不同。导航参考系是运动学(位置和方向)问题,而马赫解释赋予星空背景特别的动力学性质。他说,水面之所以变凹,是由于星空背景与水之间的相互作用。相互作用是动力学。马赫还设计了一个“手臂实验”,类似牛顿的水桶,证明他的动力学解释,大意是:

“你站在星空下的一块开阔地。如若你的两个手臂自然地下垂在身体两边,这时你看到的遥远星空(相对于你)必是不转动的。然后,你设法让自己以身体为轴,快速自转。以致你的两个手臂不再自然地下垂,而是向两边分开。这时,你会看到,整个星空(相对于你)在快速地旋转。”所以,用你看到的遥远星空是否旋转,可以区分两种状态“手臂自然地下垂”和“手臂自然地向两边分开”。“手臂自然地向两边分开”是由于旋转星空对手臂的作用。

手臂实验要比牛顿水桶实验还难做。谁能让自己快速自转,以致手臂都不能自然下垂?芭蕾舞演员也难于做到。用芭蕾舞者的裙子在旋转时张开的角度,似可行。

不过,马赫的解释的确可以极精确地验证,无需牛顿的水桶,芭蕾舞者的裙子,而是用陀螺。陀螺的最基本的动力学性质是它具有转动惯性。物体惯性的基本动力学性质是:在没有外界干扰时,动者恒动,静者恒静。转动惯性的基本动力学性质是:在没有外界干扰时,陀螺的转轴方向保持恒定,它的指向是不变的。

按马赫的解释,一个没有外界干扰的陀螺轴的指向,应当相对于星空背景无转动,亦即,

“一旦一个没有外界干扰的陀螺轴指向星空某一方向,它就总是保持这个方向。”

各种飞行器上的惯性导航系统,就是根据陀螺的这个性质。当飞行器转向时,惯性导航仪中的陀螺轴指向相对于星空保持不变。所以,不必看星空背景,只要看陀螺,就可以度量飞行器相对于星空的转动。

再回到牛顿水桶。如果把牛顿水桶和导航陀螺两者放在一起,让陀螺轴垂直于吊绳,按马赫的解释,当水面是平的时,水相对于陀螺轴一定无转动,当水面是凹状时,水面相对于陀螺轴必有转动,这也可以实验验证。至此,在马赫解释里,陀螺,水桶,芭蕾舞旋转,星空背景等之间的关系,都得到自洽的说明,而且有实验支持。

爱因斯坦的“颠覆”

如果“无转动状态决定于星空背景的作用”,那末,逻辑上就不能否认个别星体也会对动力学无转动状态有作用。因为,星空背景是由个别星体构成的。当然,整个星空背景包含大量星体,其作用可能比个别星体的作用大得多。

不过,个别星体的作用是否可以忽略,不能想当然,而应由定量的理论估计。

马赫也意识到,他的解释必须有动力学理论支持。他曾企图建立动力学理论,定量解释“水面之凹,是由于水与星空背景在相对转动时的相互作用”。但不成功。

爱因斯坦于1915年建立广义相对论。

1916 – 1918 年就有人注意到,广义相对论的一个重要推论是,无转动状态不仅取决于星空背景,也决定于个别星体。

如果有一艘飞船飘浮在太空里,它距离所有星球都很远。这时,太空飞船里的导航陀螺轴相对于星空背景是不转动的。如果飞船离一颗星体太近,按照广义相对论,导航陀螺轴相对于星空背景是有转动的。结论是:

“一旦一个没有外界干扰的陀螺轴指向星空某一方向,它就总是保持这个方向”——在星体附近不再正确。陀螺导航的根据被“颠覆”。

“颠覆”效应的大小,取决于星体的质量和转动。如果飞船飞到一个快速转动的大黑洞附近,陀螺轴相对于星空背景会有很强的转动。这时,不能再用它导航。

幸好,地球的质量不大,自转(一天一圈)也慢。“颠覆”效应很小。在近地空间的飞机和卫星,仍可以用陀螺导航,广义相对论只带来极小的修正。修正有两项:

1。测地漂移:地球质量引起的陀螺轴相对于星空背景的转动(1916,W. de Sitter [1]);

2。惯性参考系拖拽:地球转动引起的陀螺轴相对于星空背景的转动(J. Lense 和 H. Thirring [2] )。

在地球上空一千公里以内的导航陀螺,测地漂移大约是每年千分之一度(角度,下同)。惯性参考系拖拽大约是每年十万分之一度。

所以,如果你乘的飞机是Airbus 380 (其中就有由激光陀螺构成的惯性导航系统),那怕飞行一整天(24小时),飞行距离两万公里。测地漂移和惯性参考系拖拽带来目标偏差,分别不大于1米,和1厘米。导弹的飞行时间短,飞行距离小,广义相对论的修正更小。

历时48年的“水桶”实验

今年(2011)五月底,物理评论通讯(Physical Review Letters )发表了一篇短文,只有五页 [3]。它报告了Gravity Probe B 实验的最终结果。Gravity Probe B 实验的目的是精密测量地球附近的测地漂移和惯性参考系拖拽,以定量地检验广义相对论。Gravity Probe B 的主要装置是,一台极精密的陀螺仪放在一颗卫星上。卫星的轨道为圆形,并经过地球南北两极上空,离地高度642公里。它测量陀螺轴相对于星空背景的转动。按广义相对论计算,在这个卫星上陀螺轴的测地漂移和惯性参考系拖拽,分别是每年千分之1.8度,和每年十万分之1.1度。

Gravity Probe B 由斯坦福大学C. W. F. Everitt教授主持 。这项实验历时48年(1963 – 2011)。前45年 (1963 – 2008),由美国宇航局(NASA)支持。它是美国宇航局支持时间最长的一个项目,共耗资 7亿5千万美元,亦即,五页的文章,每页平均耗资1亿5千美元。美国宇航局于2008年停止支持。近三年(2009 – 2011),是由沙特阿拉伯王国的一位王子 —— 在斯坦福大学获PhD 学位 —— 在沙特王国找的钱。

尽管Gravity Probe B耗费的时间和财力巨大,其结果并不理想。按原来宣称的目标,Gravity Probe B 能给出精度达0.01% 的测地漂移数据,和精度达1% 的惯性参考系拖拽数据。而最终结果的精度只分别是 0.28% 和 19%。比预期的精度差十倍以上。 因此,引来不少微词 ,“花钱太多了……”。

不完全成功的主要原因是,项目主持人低估了技术上的困难。技术的关键之一是陀螺的稳定性。我认识Everitt教授,他年纪长我两三岁。80年代初期,Everitt访问过中国。那时Everitt 正雄心勃勃招兵买马,因为项目进入工程阶段,需要工程人员。Everitt曾问我:“你认识不认识搞陀螺的中国工程专家,有好的给我推荐。”我说:“试试看”,我知道七机部里有人研究陀螺技术。但是,Everitt 回美国后不久,就来信说:“不必找了,美国防部不同意找中国陀螺专家,因为陀螺是军事技术, 不能让中国专家介入。”

美国防部的戒令,后来好像废了。Everitt 的团队里,有中国学生。可能因为 ,美国防部认识到,Everitt 要做的陀螺,难有军事应用。Everitt 等在他们的论文中一开始就写到,他们需要的陀螺的稳定性要比现今最好的导航用陀螺高一百万倍!Everitt要测“每年十万分之1.1度”的转动,那末,陀螺的不稳定性至少应当小于每年百万分之1度。而Airbus 380上用的激光陀螺的不稳定性,不会小于每年1度。所以,它比Everitt 等的要求——小于每年百万分之1度,要差一百万倍以上。(物理和天文前沿实验用的仪器,其精度,一般都比民用和军事设备高。许多高精度技术,是物理和天文前沿实验的副产品。)

我在Everitt的实验室看过他的陀螺仪原型。它由4个乒乓球大小的水晶球构成。球的每个方向上不得与理想球面有40个原子厚度以上的偏差。球的表面再镀以鈮。4个水晶球都放在液氦的低温(1.8K)环境里,几乎没有热噪声。在此低温度下,鈮成为超导体,当镀鈮水晶球转动时,会产生磁场。磁场的方向就是陀螺的轴的方向。Gravity Probe B即测量磁场方向相对于背景星的转动。

虽然Gravity Probe B不完全成功,Everitt 等人近半个世纪的努力,仍是功不可没。它是第一次在近地空间,用陀螺直截了当地证伪了“一旦一个没有外界干扰的陀螺的轴指向背景星空某一方向,它就总是保持这个方向”。其结果支持爱因斯坦理论预言的测地漂移和惯性参考系拖拽。

下一轮的“水桶实验 ”

今年(2011),意大利空间局将发射激光相对论卫星(Laser Relativity Satellite [LARES] )。计划费用为4百万欧元 。其目的是要将惯性参考系拖拽测准到 1% [4]。LARES 不用陀螺仪。LARES 的轨道本身就是一个陀螺。(同行们正在 关心,意大利债务问题是否会影响 这个项目)。

等着瞧,四百多年的牛顿水桶,还在转。

参考文献

[1] W. de Sitter , Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 77, 155, (1916)

[2] J. Lense and H. Thirring, Phys. Zeits, 19, 156, (1918)

[3] C. W. F. Everitt et al. Phys. Rev. Lett. 106, 221101, (2011)

[4] I. Ciufolini et al. Space Sci. Rev. 148, 71, (2009)

2011, 9. Tucson

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