怎样从《几何原本》到《独立宣言》？

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来源：本文已获“马同学高等数学”授权转载

《几何原本》是人类文明的一个转折点，而《独立宣言》是人类文明的一个里程碑，这两者背后有着相同的思维方式。本文就来解释下这种思维方式是什么，以及这种思维方式是怎么从《几何原本》到《独立宣言》。

1 《几何原本》

大名鼎鼎的欧几里得写了《几何原本》，这句话反过来说可能更合适，因为写了《几何原本》后，欧几里得才得享大名：

其中的内容现在看来平平无奇，大概就是从小学到高中学习的各种几何知识，比如勾股定理 ：

在当时这些知识还是很重要的，《几何原本》出版后的一两千年中，人们都是通过这些几何知识，来描述、研究这个世界：

1.1 思维方式

《几何原本》问世大概八百年后，公元5世纪的普罗克勒斯给《几何原本》做注解时提到，勾股定理的发现应该归功于毕达哥拉斯。实际上，与勾股定理类似，《几何原本》几百个定理中很多都不是欧几里得的原创。但这并不妨碍《几何原本》被称为传世之作，比这些内容更重要的是，《几何原本》带来了革命性的思维方式。

首先书中提出了五大公理，这些公理（欧几里得以及当时的大部分人认为）都是一些很简单的事实，都是不证自明、毋庸置疑、显而易见：

（1）从一点向另一点可以引一条直线

（2）任意线段能无限延伸成一条直线

（3）给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆

（4）所有直角都相等

（5）若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交

然后通过逻辑推理，或者说通过演绎法，得到《几何原本》中的几百个定理。也就是说，这几百个定理的逻辑起点是五大公理，只要你认可五大公理，那么后面的定理必然都是永恒正确的，无可辩驳的。

1.2 影响

由于《几何原本》的革命性，使得它成为了数学史上最成功、最不朽的教科书，据说《几何原本》在西方的出版量仅次于圣经。更重要的是，它极大影响了后面数学的发展，比如微积分和概率论都建立在三大公理之上（线性代数建立在八大公理之上，太多了，这里就不列出了）：

它的影响力甚至超越了数学，比如牛顿力学受《几何原本》的影响提出三大假设，而狭义相对论提出两大假设，只要承认下面的假设是正确的，那么就等价于承认牛顿力学，或者狭义相对论是完全正确的：

所以说，《几何原本》称得上人类文明的转折点。

2 《利维坦》

“如果你有一把锤子，所有东西看上去都像是钉子”：

《几何原本》中的思维方式就是那把“锤子”。任何一个学习过《几何原本》的人，很难不击节赞赏这种思维方式，然后想把这把“锤子”用在别的地方。比如牛顿和爱因斯坦都深受这种思维方式的影响，并且恰当地用在了自己关注的领域。

2.1 托马斯·霍布斯

不过本文要提到使用这把“锤子”的是另外一位名人，有史以来最伟大的政治哲学家之一，16世纪的托马斯·霍布斯：

霍布斯1588年4月5日生于英格兰威尔特郡的马姆斯伯里。他是一个早产儿，当时他的母亲因听闻西班牙无敌舰队将入侵英格兰的惊吓而早产，日后霍布斯常说：我母亲生了双胞胎，我的孪生兄弟是恐惧。而他的一生也确实是在社会局势动荡不安恐惧氛围中渡过的。他父亲因与不是自己小教区的牧师打斗，被迫逃到伦敦，并将三名子女都寄托给他哥哥法兰西斯照顾。

1642年英国内战爆发，国王查理一世被送上了断头台，最终英国陷入了无政府状态。霍布斯看到暴徒在欺辱他们的同胞，庄园化为灰烬，马斯顿荒原和纳斯比沦为血腥的战场。霍布斯感到痛苦和绝望，他在反思，这场内战明明是以“自由”的名义开始的（反抗国王的专制），为什么最后只带来了无休止的混乱和战争？而且，在历史长河中这样的事情反复发生，不论什么原因导致的战争，最终都不能带来真正的和平。

2.2 几何学家霍布斯

介绍霍布斯的反思结果之前，我们有必要知道他的另外一个身份：几何学家。霍布斯与几何结缘是一个传奇的故事，从未学习过数学的他，40岁的时候，偶然在一个图书馆的书桌上，看到一本摊开的《几何原本》，书上的内容正是第47项定理，也就是勾股定理：

对于勾股定理的结论，霍布斯当时惊讶地说道：“上帝啊，这是不可能的”。于是他仔细观看了证明过程，这使得他又去参考了书中之前的一个类似的定理，然后又参考了更之前的一个定理，就像俄罗斯套娃一样，一直追溯到了五大公理。就这样，他被严格的证明过程彻底征服，最终相信了这个定理。

这次经历让霍布斯迷恋上了几何学，也见识到了《几何原本》中的“锤子”，或者说《几何原本》中的思考方式。霍布斯感叹道，几何学是“迄今为止上帝赐予人类的唯一科学”，因为其中每一个证明都建立在另一个更简单的结果之上，所以人们可以逐步进行逻辑推理，从不证自明的公理出发，一直可以得到更复杂的结果。这在霍布斯看来是非常了不起的成就，终于有一门学科可以真正证明其结果，同时人们又不会对该结果产生任何疑问，进行任何争论。

在随后的几年里，霍布斯努力弥补了由于起步较晚而落下的几何学知识，到了17世纪40年代，他已经与同时代的领先数学家保持着经常性地联系，包括笛卡尔、罗伯瓦尔和费马。后来霍布斯担任了流亡的威尔士亲王的数学家庭教师，这说明他已经成为了当时最受人尊敬的英国几何学家之一。

2.3 《利维坦》

因为几何学家的缘故，霍布斯对战争反思的结果是，过去的所谓政治家、哲学家之所以失败，是因为他们依靠的是有缺陷的、不确定的推理方法，他们“按照自己的幻想来解决所有问题”。结果他们没有带来和平和一致意见，而是导致了冲突和战争。相反，几何学会迫使人们达成共识，“因为在几何学中，当其他人发现了他的错误之后，没有人会愚蠢到既然发现了错误却还坚持这个错误的地步”。所以，霍布斯认为，如果国家制度可以遵循几何学的指引，就可以产生和平，避免内战。

在这样的思想指导之下，霍布斯写了《论物体》、《论人》、《论政体》，最终成就了巅峰之作《利维坦》（下图是《利维坦》书的封面）：

在这一系列作品中，霍布斯认为自己完全遵循了几何模型。他的哲学体系开始于《论物体》的简单定义，就像《几何原本》开始于五大公理。并且正如《几何原本》的证明过程一样，霍布斯的政治哲学从简单的几何对象开始，逐步扩展到空间、物质、运动、物理、天文等方面的一系列问题。最终，在这条长长的推理链末端达到了整个理论体系的终极主题：国家理论。

在霍布斯纯粹的理性推导出来的国家理论中，要想达成和平，唯一解决方案就是利维坦。在霍布斯的语境中，利维坦就是尘世间的上帝，人们放弃自己的自由意志，从属于利维坦的意志；利维坦也会代表所有人的和平意愿。利维坦是绝对不会犯错的，无论它做什么，国家中的每个人都承认并认同它的行为，这样在利维坦的统治下，绝对不可能再发生内战。

上面《利维坦》书的封面画的巨人国王，代表的就是利维坦。他头戴皇冠，左手拿着主教的权杖，右手拿着一把宝剑，身体由国家内无数的个人组成。他统治着这片土地，保障着和平与秩序。

2.4 争论

《利维坦》提出了前所未有的大胆构想，使得它在西方思想史上拥有崇高的地位。但如果要付诸实现，确实会引起极大的争论（希特勒的纳粹德国可能想实践利维坦）。

随便看一个争论吧，有人驳斥道，利维坦横征暴敛，难道也是对的吗？霍布斯的辩解是，你看看那些经历外患或内部骚乱的国家，他们的人民对执政者往往就存在疑义。而那些能长存在没有灭亡的国家，他们的人民从来没有对国家发生过质疑。

总之，霍布斯这套国家理论相当难以驳斥。他自己也说，我这套理论就是基于几何法则推导出来的，不可能错。

3 《独立宣言》

霍布斯在政治领域运用《几何原本》这把“锤子”也影响了后来者，美国的《独立宣言》为了激发人们对其内容的信心，也采取了《几何原本》的形式来书写。首先提出一个公理，“我们认为这是一个不证自明的真理：人人生而平等，造物者赋予他们若干不可剥夺的权利，其中包括生命权、自由权和追求幸福的权利”（“We hold these truths to be self-evident, that all men are created equal, that they are endowed by their creator with certain unalienable rights, that among these are life, liberty and the pursuit of happiness”）：

然后推出了一系列的定理：

（1）“为了保障这些权利，人类才在他们之间建立政府，而政府之正当权力，是经被治理者的同意而产生的。”

（2）“当任何形式的政府对这些目标具破坏作用时，人民便有权力改变或废除它，以建立一个新的政府；其赖以奠基的原则，其组织权力的方式，务使人民认为唯有这样才最可能获得他们的安全和幸福。”

（3）“当追逐同一目标的一连串滥用职权和强取豪夺发生，证明政府企图把人民置于专制统治之下时，那么人民就有权利，也有义务推翻这个政府，并为他们未来的安全建立新的保障。”

在《独立宣言》发表之前，北美大地上并没有国家，只有一些殖民地。它们在理论上属于大英帝国，实际上由自己管理，即“主权王有，治权民有”，最后这些殖民地在《独立宣言》的思想框架下逐渐形成了美国。以一个逻辑的产物，《独立宣言》作为立国之本，这也算是人类文明的一个里程碑了。

4 缺陷

《几何原本》看起来似乎完美，其实也有各种缺陷，下面尝试列举一二。

4.1 化圆为方

《几何原本》的优点是所有的结论都是基于五大公理的，但这也是它的缺点，即没有办法产生新的知识。那么自然也无法解决超纲的题目，比如著名的“化圆为方”问题，也就是只通过尺规，求一正方形，其面积和一已知圆的面积相同（这个问题后来被代数学证明是无法被《几何原本》中的知识解决的）：

其实这也正常，哪有可以解决所有问题的“锤子”呢？但是因为《利维坦》无限拓展到解决国家问题，所以很多人都借此点来攻击《利维坦》。霍布斯也尝试重新修正《几何原本》，企图解决“化圆为方”问题。

4.2 黎曼几何

《几何原本》是依赖于五大公理的，那么五大公理本身是否正确呢？还有没有别的公理形式呢？如果有别的公理形式，那么究竟哪种是正确的呢？这其实是无法判断的，就好像应该信上帝还是信佛主，也是没有对错的。

比如，《几何原本》的第五公理，“若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交”，也可以写成等价的形式，“给定一条直线，通过此直线外的任何一点，有且只有一条直线与之平行”。黎曼将这条修改了一下，“在同一平面内任何两条直线都有公共点（交点）”，然后依据《几何原本》的形式推出了完全不一样的几何学。这个几何学实际上就是球面上的几何。可以看到，在有限的球面上确实没有平行的直线：

相对论就是基于黎曼几何的，如果说《几何原本》是地球上的几何的话，那么黎曼几何就是宇宙中的几何。【完】

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