怎样从《几何原本》到《独立宣言》?

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来源:本文已获“马同学高等数学”授权转载

《几何原本》是人类文明的一个转折点,而《独立宣言》是人类文明的一个里程碑,这两者背后有着相同的思维方式。本文就来解释下这种思维方式是什么,以及这种思维方式是怎么从《几何原本》到《独立宣言》。

1 《几何原本》

大名鼎鼎的欧几里得写了《几何原本》,这句话反过来说可能更合适,因为写了《几何原本》后,欧几里得才得享大名:

其中的内容现在看来平平无奇,大概就是从小学到高中学习的各种几何知识,比如勾股定理 

在当时这些知识还是很重要的,《几何原本》出版后的一两千年中,人们都是通过这些几何知识,来描述、研究这个世界:

1.1 思维方式

《几何原本》问世大概八百年后,公元5世纪的普罗克勒斯给《几何原本》做注解时提到,勾股定理的发现应该归功于毕达哥拉斯。实际上,与勾股定理类似,《几何原本》几百个定理中很多都不是欧几里得的原创。但这并不妨碍《几何原本》被称为传世之作,比这些内容更重要的是,《几何原本》带来了革命性的思维方式。

首先书中提出了五大公理,这些公理(欧几里得以及当时的大部分人认为)都是一些很简单的事实,都是不证自明、毋庸置疑、显而易见:

(1)从一点向另一点可以引一条直线

(2)任意线段能无限延伸成一条直线

(3)给定任意线段,可以以其一个端点作为圆心,该线段作为半径作一个圆

(4)所有直角都相等

(5)若两条直线都与第三条直线相交,并且在同一边的内角之和小于两个直角,则这两条直线在这一边必定相交

然后通过逻辑推理,或者说通过演绎法,得到《几何原本》中的几百个定理。也就是说,这几百个定理的逻辑起点是五大公理,只要你认可五大公理,那么后面的定理必然都是永恒正确的,无可辩驳的。

1.2 影响

由于《几何原本》的革命性,使得它成为了数学史上最成功、最不朽的教科书,据说《几何原本》在西方的出版量仅次于圣经。更重要的是,它极大影响了后面数学的发展,比如微积分和概率论都建立在三大公理之上(线性代数建立在八大公理之上,太多了,这里就不列出了):

它的影响力甚至超越了数学,比如牛顿力学受《几何原本》的影响提出三大假设,而狭义相对论提出两大假设,只要承认下面的假设是正确的,那么就等价于承认牛顿力学,或者狭义相对论是完全正确的:

所以说,《几何原本》称得上人类文明的转折点。

2 《利维坦》

“如果你有一把锤子,所有东西看上去都像是钉子”:

《几何原本》中的思维方式就是那把“锤子”。任何一个学习过《几何原本》的人,很难不击节赞赏这种思维方式,然后想把这把“锤子”用在别的地方。比如牛顿和爱因斯坦都深受这种思维方式的影响,并且恰当地用在了自己关注的领域。

2.1 托马斯·霍布斯

不过本文要提到使用这把“锤子”的是另外一位名人,有史以来最伟大的政治哲学家之一,16世纪的托马斯·霍布斯:

霍布斯1588年4月5日生于英格兰威尔特郡的马姆斯伯里。他是一个早产儿,当时他的母亲因听闻西班牙无敌舰队将入侵英格兰的惊吓而早产,日后霍布斯常说:我母亲生了双胞胎,我的孪生兄弟是恐惧。而他的一生也确实是在社会局势动荡不安恐惧氛围中渡过的。他父亲因与不是自己小教区的牧师打斗,被迫逃到伦敦,并将三名子女都寄托给他哥哥法兰西斯照顾。

1642年英国内战爆发,国王查理一世被送上了断头台,最终英国陷入了无政府状态。霍布斯看到暴徒在欺辱他们的同胞,庄园化为灰烬,马斯顿荒原和纳斯比沦为血腥的战场。霍布斯感到痛苦和绝望,他在反思,这场内战明明是以“自由”的名义开始的(反抗国王的专制),为什么最后只带来了无休止的混乱和战争?而且,在历史长河中这样的事情反复发生,不论什么原因导致的战争,最终都不能带来真正的和平。

2.2 几何学家霍布斯

介绍霍布斯的反思结果之前,我们有必要知道他的另外一个身份:几何学家。霍布斯与几何结缘是一个传奇的故事,从未学习过数学的他,40岁的时候,偶然在一个图书馆的书桌上,看到一本摊开的《几何原本》,书上的内容正是第47项定理,也就是勾股定理:

对于勾股定理的结论,霍布斯当时惊讶地说道:“上帝啊,这是不可能的”。于是他仔细观看了证明过程,这使得他又去参考了书中之前的一个类似的定理,然后又参考了更之前的一个定理,就像俄罗斯套娃一样,一直追溯到了五大公理。就这样,他被严格的证明过程彻底征服,最终相信了这个定理。

这次经历让霍布斯迷恋上了几何学,也见识到了《几何原本》中的“锤子”,或者说《几何原本》中的思考方式。霍布斯感叹道,几何学是“迄今为止上帝赐予人类的唯一科学”,因为其中每一个证明都建立在另一个更简单的结果之上,所以人们可以逐步进行逻辑推理,从不证自明的公理出发,一直可以得到更复杂的结果。这在霍布斯看来是非常了不起的成就,终于有一门学科可以真正证明其结果,同时人们又不会对该结果产生任何疑问,进行任何争论。

在随后的几年里,霍布斯努力弥补了由于起步较晚而落下的几何学知识,到了17世纪40年代,他已经与同时代的领先数学家保持着经常性地联系,包括笛卡尔、罗伯瓦尔和费马。后来霍布斯担任了流亡的威尔士亲王的数学家庭教师,这说明他已经成为了当时最受人尊敬的英国几何学家之一。

2.3 《利维坦》

因为几何学家的缘故,霍布斯对战争反思的结果是,过去的所谓政治家、哲学家之所以失败,是因为他们依靠的是有缺陷的、不确定的推理方法,他们“按照自己的幻想来解决所有问题”。结果他们没有带来和平和一致意见,而是导致了冲突和战争。相反,几何学会迫使人们达成共识,“因为在几何学中,当其他人发现了他的错误之后,没有人会愚蠢到既然发现了错误却还坚持这个错误的地步”。所以,霍布斯认为,如果国家制度可以遵循几何学的指引,就可以产生和平,避免内战。

在这样的思想指导之下,霍布斯写了《论物体》、《论人》、《论政体》,最终成就了巅峰之作《利维坦》(下图是《利维坦》书的封面):

在这一系列作品中,霍布斯认为自己完全遵循了几何模型。他的哲学体系开始于《论物体》的简单定义,就像《几何原本》开始于五大公理。并且正如《几何原本》的证明过程一样,霍布斯的政治哲学从简单的几何对象开始,逐步扩展到空间、物质、运动、物理、天文等方面的一系列问题。最终,在这条长长的推理链末端达到了整个理论体系的终极主题:国家理论。

在霍布斯纯粹的理性推导出来的国家理论中,要想达成和平,唯一解决方案就是利维坦。在霍布斯的语境中,利维坦就是尘世间的上帝,人们放弃自己的自由意志,从属于利维坦的意志;利维坦也会代表所有人的和平意愿。利维坦是绝对不会犯错的,无论它做什么,国家中的每个人都承认并认同它的行为,这样在利维坦的统治下,绝对不可能再发生内战。

上面《利维坦》书的封面画的巨人国王,代表的就是利维坦。他头戴皇冠,左手拿着主教的权杖,右手拿着一把宝剑,身体由国家内无数的个人组成。他统治着这片土地,保障着和平与秩序。

2.4 争论

《利维坦》提出了前所未有的大胆构想,使得它在西方思想史上拥有崇高的地位。但如果要付诸实现,确实会引起极大的争论(希特勒的纳粹德国可能想实践利维坦)。

随便看一个争论吧,有人驳斥道,利维坦横征暴敛,难道也是对的吗?霍布斯的辩解是,你看看那些经历外患或内部骚乱的国家,他们的人民对执政者往往就存在疑义。而那些能长存在没有灭亡的国家,他们的人民从来没有对国家发生过质疑。

总之,霍布斯这套国家理论相当难以驳斥。他自己也说,我这套理论就是基于几何法则推导出来的,不可能错。

3 《独立宣言》

霍布斯在政治领域运用《几何原本》这把“锤子”也影响了后来者,美国的《独立宣言》为了激发人们对其内容的信心,也采取了《几何原本》的形式来书写。首先提出一个公理,“我们认为这是一个不证自明的真理:人人生而平等,造物者赋予他们若干不可剥夺的权利,其中包括生命权、自由权和追求幸福的权利”(“We hold these truths to be self-evident, that all men are created equal, that they are endowed by their creator with certain unalienable rights, that among these are life, liberty and the pursuit of happiness”):

然后推出了一系列的定理:

(1)“为了保障这些权利,人类才在他们之间建立政府,而政府之正当权力,是经被治理者的同意而产生的。”

(2)“当任何形式的政府对这些目标具破坏作用时,人民便有权力改变或废除它,以建立一个新的政府;其赖以奠基的原则,其组织权力的方式,务使人民认为唯有这样才最可能获得他们的安全和幸福。”

(3)“当追逐同一目标的一连串滥用职权和强取豪夺发生,证明政府企图把人民置于专制统治之下时,那么人民就有权利,也有义务推翻这个政府,并为他们未来的安全建立新的保障。”

在《独立宣言》发表之前,北美大地上并没有国家,只有一些殖民地。它们在理论上属于大英帝国,实际上由自己管理,即“主权王有,治权民有”,最后这些殖民地在《独立宣言》的思想框架下逐渐形成了美国。以一个逻辑的产物,《独立宣言》作为立国之本,这也算是人类文明的一个里程碑了。

4 缺陷

《几何原本》看起来似乎完美,其实也有各种缺陷,下面尝试列举一二。

4.1 化圆为方

《几何原本》的优点是所有的结论都是基于五大公理的,但这也是它的缺点,即没有办法产生新的知识。那么自然也无法解决超纲的题目,比如著名的“化圆为方”问题,也就是只通过尺规,求一正方形,其面积和一已知圆的面积相同(这个问题后来被代数学证明是无法被《几何原本》中的知识解决的):

其实这也正常,哪有可以解决所有问题的“锤子”呢?但是因为《利维坦》无限拓展到解决国家问题,所以很多人都借此点来攻击《利维坦》。霍布斯也尝试重新修正《几何原本》,企图解决“化圆为方”问题。

4.2 黎曼几何

《几何原本》是依赖于五大公理的,那么五大公理本身是否正确呢?还有没有别的公理形式呢?如果有别的公理形式,那么究竟哪种是正确的呢?这其实是无法判断的,就好像应该信上帝还是信佛主,也是没有对错的。

比如,《几何原本》的第五公理,“若两条直线都与第三条直线相交,并且在同一边的内角之和小于两个直角,则这两条直线在这一边必定相交”,也可以写成等价的形式,“给定一条直线,通过此直线外的任何一点,有且只有一条直线与之平行”。黎曼将这条修改了一下,“在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)”,然后依据《几何原本》的形式推出了完全不一样的几何学。这个几何学实际上就是球面上的几何。可以看到,在有限的球面上确实没有平行的直线:

相对论就是基于黎曼几何的,如果说《几何原本》是地球上的几何的话,那么黎曼几何就是宇宙中的几何。【完】

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