又静默了好几天。最近几个晚上，俺在准备这篇教程，没上线回复评论。抱歉 :( 先提醒一下：今天这篇又是信息量比较大的博文。喜欢学习的同学，请慢慢看，不要着急 :) 最近3年，俺写过好几篇博文，是与博弈论密切相关的。比如2017年的朝核危机，俺写了2篇，专门谈“北韩＆美国”的博弈策略。 近期恰逢美国大选，很多读者在博客评论区讨论相关的话题。有时候俺也参与讨论，并多次提及“博弈论”的相关概念。考虑到很多读者（即使是理工科的读者）也非常缺乏这方面的基础知识，今天发一篇博弈论的基础教程，算是扫盲。
“博弈论”洋文称之为“game theory”。目前它是经济学的一个分支（所以俺网盘上分享的博弈论书籍，都放在【经济类 / 博弈论】这个分类目录下）。 该理论专门研究多个独立个体之间的竞争行为（对抗行为）。在某些中文书籍里面，它又被称作“对策论 or 赛局理论”。 在这篇扫盲教程的开头，咱们来闲聊一下“博弈论”的发展史。
要聊这个话题，约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann）当然是个无法绕过的人物。
（约翰·冯·诺伊曼）
这家伙是个【超级跨界牛人】，即使用这么夸张的称呼，依然不足以体现此人的牛逼之处——他同时在“数学、物理学、经济学、计算机”等多个领域作出了划时代的贡献，并留下一大堆以他命名的东东，比如程序员应该都听说过“冯诺依曼体系”，比如数学领域有“冯诺依曼代数、冯诺依曼遍历定理…”，理论物理领域有“冯诺依曼量子测量、冯诺依曼熵、冯诺依曼方程…”。另外还有很多东东，虽没有以他命名，也是他先搞出来滴，比如：量子力学的公理化表述、希尔伯特第5问题、连续几何（其空间维数不是整数）、蒙特卡洛方法、归并排序算法……
1944年，他与奥斯卡·摩根斯坦（Oskar Morgenstern）合作发表了《博弈论与经济行为》（洋文叫做“Theory of Games and Economic Behavior”），一举奠定博弈论体系的基础，所以他也被称作【博弈论之父】。
这个《博弈论与经济行为》一开始是以论文形式写成，长达1200页，基本上是冯·诺伊曼一个人的手笔。有些同学会纳闷了——那摩根斯坦凭啥当第二作者呀？这里面大致有2个原因： 其一，摩根斯坦本人非常看好“博弈领域的研究”，他认为：该领域的研究可以为一切经济学理论建立正确的基础。当他结识了冯大牛之后，就一直劝说这只大牛写篇该领域的论文。 其二，当冯大牛完成上千页的论文之后，摩根斯坦为这篇论文补了一个非常有煽动性的“绪论”，使得这篇论文一发表就在数学界＆经济学界产生轰动效果。 所以，把摩根斯坦列为第二作者，也算说得过去。 另外，这本《博弈论与经济行为》的某些思想源自冯·诺伊曼在1928年发表的论文《On the Theory of Parlor Games》。因此有些学者认为1928年才是真正意义上的博弈论诞生之年。
插播一个八卦
摩根斯坦的博士生导师就是赫赫有名的路德维希·冯·米塞斯（俺的网盘上分享过他的好几本著作）。有一种说法是：米塞斯在20世纪初就已经意识到“博弈论对经济学的重要性”，但他因为种种原因没能建立起博弈论的完整理论体系。米塞斯的这个想法影响了他带出来的博士生摩根斯坦。而摩根斯坦去美国做访问学者的时候，又影响了冯·诺伊曼。 上述这个说法的可信度有多高，俺不敢保证。但米塞斯具有很超前的预见性，这点是得到公认滴。举个例子——
2年前（2018）俺写了那篇《为什么马克思是错的？——全面批判马列主义的知名著作导读》，其中引用了米塞斯的论文《社会主义国家的经济计算》（Economic Calculation in the Socialist Commonwealth）。米塞斯的这篇论文发表于【1920年】（苏联成立之前）。请注意：苏联是第一个搞【中央计划经济】的国家。在苏联还没有成立的时候，米塞斯就已经在论文中预见了：中央计划经济注定失败（并给出了他的精辟分析）。后来的事实证明他说对了——包括咱们天朝在内，【所有的】中央计划经济，最终都惨淡收场。
“博弈的类型”是博弈论的基本概念，先来聊这个。 不论是“合作博弈”or“非合作博弈”，在博弈过程中都可能会出现“合作”的现象。差别在于—— 对于“合作博弈”，存在某种【外部约束力】，使得“背叛”的行为会受到这种外部约束力的惩罚。 对于“非合作博弈”，【没有】上述这种“外部约束力”，对“背叛”的惩罚只能依靠博弈过程的其它参与者。 举例：商业活动中有“合同法”，就相当于上述所说的【外部约束力】。 通常所说的“博弈”大都指“【非】合作博弈”。大多数博弈论的研究也是针对后者（非合作），俺这篇教程的大部分内容也是针对后者。
同时博弈（静态博弈） “同时博弈”有时也称作“静态博弈”，指的是——博弈的【任何一个】参与者在选择自己的行为之前，并【不】知道其它参与者的行为信息。 举例：“石头/剪刀/布”
顺序博弈（动态博弈）
“顺序博弈”有时也称作“动态博弈”。在这类博弈中，参与者的动作有【时间上的先后】，并且后一个执行动作的博弈者可以看到其他博弈者之前的动作，然后根据别人的动作，思考自己的行为。 举例：绝大部分棋牌类游戏都属于这种。
零和博弈 “零和博弈”这个名称具有误导性，使得很多人以为各方的收益总和为零。 “零和博弈”指的是——在博弈结束之后，参与各方的利益总和为【常量】（可以是零，也可以是“正值”或“负值”）。 举例：大多数棋类游戏属于这种；“石头/剪刀/布”也属于这种。
非零和博弈（变和博弈）
“非零和博弈”指的是——在博弈结束之后，参与各方的利益总和为【变量】。所以这类博弈有时候称为【变和博弈】。 对于这类博弈，在某些情况下可能会让参与各方的利益总和【变大】，从而使得各方存在【合作】的可能性。
举例：在“非零和博弈”中，最有名的应该就是“囚徒困境”（Prisoner’s Dilemma）了。这个“困境”非常有名，这里就不详细解释啦。不太了解的同学，先看俺加注的维基百科链接。因为后续的讨论中，会多次提及这个模型。
“非重复博弈”有时也称作“单次博弈”；相应的，“重复博弈”也被称作“多次博弈”。 以“囚徒困境”为例。如果困境中的两个嫌疑人只被抓进去一次，那就是“单次博弈”；如果被抓进去不止一次，就是“多次博弈”。 “重复博弈”还可以进一步细分为“有限重复博弈”（finite repeated game）与“无限重复博弈”（infinite repeated game）。 这2个术语容易产生歧义。更严谨的说法是： “有限重复博弈”——重复次数【确定】的博弈 “无限重复博弈”——重复次数【不确定】的博弈
这两个玩意儿都是为了更直观地描述博弈过程，并帮你看清各方的利弊得失。 “收益矩阵”通常用来描述“静态博弈”（同时博弈）；由于“动态博弈”（顺序博弈）比较复杂，通常【不】用“收益矩阵”描述。 “决策树”既可以用来描述“静态博弈”，也可以用来描述“动态博弈”。 顺便提醒一下： 在某些书籍/文章中，把“收益矩阵”称作“普通形式”（normal-form）；把“决策树”称作“扩展形式”（extensive-form）。 上一个小节说了：“收益矩阵”通常用来描述【静态博弈】。而且一般是用来描述【双人】的静态博弈。更多人的静态博弈，也可以用“收益矩阵”表述，但画起来会麻烦很多。在本文的后续部分，凡是提及“收益矩阵”都是指“双人静态博弈”。 通常的惯例是把自己这方的策略写在表格【左边】，把对方的策略写在表格【上边】。为了让大伙儿有个直观感受，俺写一个“石头/剪刀/布”的“收益矩阵”。
石头
剪刀
布
石头
0
1
-1
剪刀
-1
0
1
布
1
-1
0
在上述矩阵中，1 表示赢；-1 表示输；0 表示平局。
（一个简单决策树的示意图）
上述是一个决策树的示意图，表示一个简单的“双人动态博弈”，两个博弈者分别称作 1 ＆ 2；两人的可选策略都只有2个（分别是：U ＆ D）。 1 先执行某个动作，然后 2 再执行对应的动作，然后博弈就结束了。这个树状图有4个叶子节点，表示该博弈最终有4种结局。每个叶子节点的括号中各有2个数字，分别表示两个博弈者在不同终局的收益。
某些资料（比如维基百科）把“move”直译为“移动”。这个译法比较怪。在本文中，俺称之为“决策选项”。 很多人混淆了“策略”与“决策选项”。 以象棋为例，完成一局需要经历很多个步骤。对每个步骤，你都有 N 个决策选项（要走哪个棋子，走到哪）。而“策略”指的是——从第一步到最后一步的所有决策选项的【总和】。你可以把“策略”通俗理解为某种【算法 or 指导思想】，它指导你从第一步走到最后一步。 所有可能的策略，构成了“策略集合”。 以“石头/剪刀/布”为例，其“策略集合”只包含3个策略。
有限策略集合 “石头/剪刀/布”就是典型的“有限策略集合”（该集合只有3个元素）。
无限策略集合
为了说明这种集合，举个“分蛋糕博弈”的例子。 所谓的“分蛋糕博弈”很简单——这是双人博弈，其中一人先把蛋糕分为两块（可以随便分），然后另一个人先挑选其中一块。 对于“负责分蛋糕”的人而言，其策略集合是无穷大（纯小数有无穷多个）。 很多人凭直觉会认为：具有“无限策略集合”的博弈比“有限策略集合”的博弈更复杂。其实不然！ 围棋虽然很复杂，但其“策略集合”依然是有限滴（只不过，要想描述这个集合，需要存储的信息量会超出整个宇宙的承受能力）。 作为对比，“分蛋糕博弈”比“围棋”简单多了（两者的复杂性相差 N 个数量级），但“分蛋糕博弈”反而具有【无限】的策略集合。
在实际博弈时，如果你总是【固定选择】“策略集合”中的某【一个】策略，这种情况称之为“纯策略”。 以“石头/剪刀/布”为例：如果你每次总是出“石头”，这就是【纯策略】。 如果你在博弈时，总是【随机选择】“策略集合”中的某【几个】策略，这种情况称之为“混合策略”。 以“石头/剪刀/布”为例：如果你一半概率出“石头”一半概率出“剪刀”，这就是【混合策略】。 如果某个“混合策略”包含了“策略集合”中的【每一个】元素，称之为“完全混合策略”。 上一个小节的举例（一半概率出“石头”一半概率出“剪刀”）属于“混合策略”，但【不是】“完全混合策略”。 作为对比，如果你1/4概率出“石头”，1/4概率出“剪刀”，1/2概率出“布”——这就是“完全混合策略”。
假设你有两个策略 A ＆ B。如果在【任何】情况下，A 都比 B 更优，称作“A 支配 B”（A dominates B）或者“B 被 A 支配”（B is dominated by A）。 “支配策略”又称“优势策略”。如果某个策略能够支配【所有】其它策略，那么它就是“支配策略/优势策略”。 通俗地说，不论你的对手采用何种策略，你的“支配策略”总是比你的其它策略有更好的结果。 在后面的某个小节，俺会举个很简单的例子，帮你理解“支配策略”这个概念。 有时候会把“支配策略”进一步细分为“强支配”＆“弱支配”。 对于前者，它在任何情况下都比其它策略更好；对于后者，它在某些情况下比其它策略更好，某些情况下与其它策略一样好。 有些人会把“支配策略”与“制胜策略”搞混淆。 “制胜策略”也称“必胜策略”，它通常只用于“零和博弈”，指的是——只要你采用这个策略（不论对方如何应对），你总是赢。 “制胜策略”肯定是“支配策略”（最起码是“弱支配策略”）；但“支配策略”不一定是“制胜策略”。
这是一个很经典的博弈论案例，很多博弈论的科普读物都引用了此案例。比如俺分享的那本《纳什均衡与博弈论——纳什博弈论及对自然法则的研究》就包含了这个案例。 话说太平洋战场上，美日双方对新几内亚岛展开争夺战。美方通过截获的情报得知日方有一支补给船队要开往该岛。日军补给船队有两条路线可走（北线 or 南线），两条路线都耗时3天。在南线，这3天都是晴天；在北线有2天是晴天，1天是阴雨（阴雨天会影响美军轰炸）。 美方空军将领手头只有一个飞行队，需要决策：把这个飞行队派到哪一边执行轰炸任务？如果押宝的方向错误，重新部署又会浪费掉1天时间。 对这个博弈过程，美方的收益矩阵参见下述表格。表格中的数字表示“可用来轰炸的天数”（对美军而言，这个数字越大越好）。
日方
美方
北线
南线
北线
2
2
南线
1
3
从上述收益矩阵来看，美军应该选哪个策略，不那么明显。但如果【换位思考】，看日军的策略，就非常明显啦。
日方
美方
北线
南线
北线
2,-2
2,-2
南线
1,-1
3,-3
第2个表格补充了日方的收益（以逗号分隔）。由于日方是遭受轰炸，其收益以“负数”表示。 从日方的角度（表格的【纵向】角度）来看，走北线是其【支配策略】——不论美方如何选择，日方走北线的收益都不比南线差。对应到刚才介绍的概念，日方的这个“支配策略”属于“弱支配策略”。 知道日军必定走北线之后，美军就很容易选定自己的策略了。 一个比较简单的做法是：逐步删除【被】支配的策略（洋文叫做“Iterated Elimination of Strictly Dominated Strategies”，简称 IESDS）。 下面这一系列示意图，演示了逐步删除的过程。最后剩下的那个单元格，也就是该博弈的“纳什均衡点”（关于“纳什均衡”，后面有个章节会专门细聊）。
一般来说，只有极其简单的博弈才存在“支配策略”。只要博弈再稍微复杂那么一丁点，“支配策略”可能就不存在了。 举个栗子：哪怕像“石头/剪刀/布”这么简单的游戏，就已经不存在“支配策略”了。 当某个博弈存在“支配策略”，这个博弈通常就显得索然无味。反过来想，你就能理解——为啥绝大部分棋牌类游戏都【没有】“支配策略”。
这个玩意儿洋文叫做“Minimax”，比较绕口的陈述是：最小化最大损失。更通俗的表述是：在最坏情况下最小化损失。
该定理及算法最早由冯·诺依曼在《博弈论与经济行为》一书中提出。本文开头部分介绍过——此书是博弈论的奠基性著作。
假设你是 A（你有三个策略：A1、A2、A3），你的对手是 B（也有三个策略：B1、B2、B3）。 以下是针对 A（你）的收益矩阵：
B1
B2
B3
A1
+3
-2
+4
A2
-1
0
+2
A3
-4
-3
+1
针对上述收益矩阵，基于 Minimax 算法，你应该选择 A2 策略——此时你的最坏情况是 -1。 前面章节已经简单介绍过“分蛋糕博弈”。这是一个非常简单的动态博弈（步骤很少）。 当双方都是足够理性，选蛋糕的人肯定会选大的那块。切蛋糕的人基于“最小最大原则”，应该在最坏情况下最小化自己的损失，所以他/她应该把蛋糕切成同等大小。 给那些爱琢磨的读者留一个思考题 :) “分蛋糕博弈”的精妙之处在于“切的人后拿，不切的人先拿”。这就完美地解决【双人】分蛋糕的公平问题。 那么，如果是更复杂的【三人】分蛋糕，是否存在某种类似的机制，也可以完美地解决公平问题捏？ 更一般的情况，对于【N 人】分蛋糕（N ≥ 3），是否有某种类似的机制捏？ 对于善用搜索引擎的同学，很容易就可以在网上找到这个问题的答案。但俺建议你在上网搜索之前，先自己琢磨一下（就当这是个锻炼脑力的机会）
该方法洋文称之为“backward induction”。其精髓是【正向展望，反向推理】。
在俺分享的那本《策略思维——商界、政界及日常生活中的策略竞争》中，多次提及了这个精髓。具体如何做捏？俺先稍微描述一下，然后再用具体案例加深大伙儿的印象。
首先，你需要思考自己的每个决策，以及对方在应对你的决策时，会采用何种决策（这个思维过程类似于【决策树的展开】） 这个展开过程要一直推演到【最后一步】（也就是决策树的叶子节点）。此时你就可以看清双方在最后一步各自的最优选择；然后再反向回推到第一步。 当你要用“反向归纳”进行展望与推理，前提是——你要获得充分的信息；或者说，如果某个博弈者所知的信息不够充分，就【无法】运用该方法。 在本文后续的某个章节，俺会专门谈“博弈中的【信息】因素”。 前面提到的“囚徒困境”属于【单次】静态博弈。如果把这个局面改为【多次】，并且两个囚徒足够理性且相互认识，并且两人也都知道自己处于【多次】博弈的场景，那么就有可能达成合作。
无限重复博弈（次数不确定）
在这个博弈场景中，由于两个囚徒都知道未来还会有多次类似的博弈局面，所以他们在第一次被抓的时候，就会选择合作（双方都抵赖），并且未来也会每次都选择合作。 他们之所以选择合作，是为了给将来博弈中的合作建立基础。
有限重复博弈（次数确定）
假设次数确定为【10次】。这种情况下，是否还可能达成合作捏？很多同学凭直觉认为：还是可以合作。其实不然！ 对于有限重复的情形，就需要用到本章节的“反向归纳法”了。 先分析【最后一次】（第10次）博弈的情形。因为不再有后续的博弈，此时的局面等价于【单次】博弈（单次囚徒困境）——也就是说，双方会选择背叛。 如果两人都足够理性，当他们在进行第9次博弈的时候，就应该能想到——下一次博弈是最后一次，不会有合作。既然如此，那么本次博弈，当然也没必要合作了（请注意：合作是为了下次能继续合作） 上述反推可以一直持续到第一次。所以，如果双方都足够理性，在第一次就会选择互相背叛。 上述例子太简单啦，再来个稍微复杂的例子。
博弈场景描述
5个海盗抢了100个金币，讨论如何分赃。 这5个海盗有等级高低（不妨假设 A＞B＞C＞D＞E）。先由等级最高的海盗提出分赃方案，然后投票。如果半数以上（含半数）同意，就按这个方案分，游戏结束；如果同意的不到半数，把提出方案的海盗扔进海里喂鲨鱼，然后由次一等级的海盗提出新的方案；以此类推。 每个海盗的特点是：足够理性（追求个人利益最大化）并且知道别人也足够理性；足够残忍（在个人利益等同的情况下，倾向于把更多同伴扔进海里）。 现在，请你思考一下最终的结局（需要用到本章节所说的“反向归纳法”）。 给 你 一 柱 香 的 时 间 思 考 这 个 问 题 ， 先 别 急 着 往 下 翻 页 :)
博弈策略分析
为了进行反向推理，假设最后只剩下2个海盗（D ＆ E）。此时的投票肯定过半（D 肯定投票赞同自己的方案）。在这种局面下，D 可以采用最极端的方案——自己全拿100个金币，E 则一个也拿不到。 现在回推一步。当只剩下3个海盗（C、D、E），由 C 提出方案。他只需要分1个金币给 E，E 就会投票支持（否则的话，等到由 D 来提方案，E 啥也拿不到）。所以在 C 的方案中，他自己拿99个金币，E 拿1个金币。
再往前一步。只剩下4个海盗（B、C、D、E），B 提方案，他当然也能想到刚才那些推理。他只需给 D 1个金币，D 就会支持他（如果等到 C 来提方案，D 啥也拿不到）。所以 B 提出的方案是 B：99，C：0，D：1，E：0，同样能得到半数支持。
基于上述分析，再看 A 的方案，就很显然了——A：98，B：0，C：1，D：0，E：1
有些同学可能会觉得：A 还可以提出另一个等价方案 A：98，B：0，C：0，D：1，E：1（把 C ＆ D 交换）
其实这个方案【不】等价。如果是后面这个方案，D 会投反对票，于是 A 去喂鲨鱼，由 B 来提方案，D 还是可以拿到1个金币。虽然两种方案，D 都是拿1个金币。但基于规则中提到的【残忍性】，D 会对 A 的方案投反对票。
海盗分金的推广
如果你凭直觉认为：总是最先提出方案的海盗占最大利益，那你就犯了直觉谬误啦。 这个博弈游戏还可以推广到更多海盗。当海盗数量达到某个临界点之后，第一个提出方案的海盗必死无疑（必定被丢进海里喂鲨鱼）。
更详细的介绍，可以参见维基百科的“这个链接”。
前面喷了好多口水，终于要聊到大名鼎鼎的“纳什均衡”（Nash equilibrium）啦。 美国数学家纳什在1951年发表了一篇小论文（篇幅很短），名叫《非合作博弈》，洋文标题是《Non-Cooperative Games》，其中提出了“纳什均衡”的概念并给出了相应的数学证明（该证明基于“不动点定理”）。
所谓的“纳什均衡”，通俗地说是指——在多人的“非合作博弈”中，如果每个博弈者都无法【单方面】改善自己的境地，此时的局面称作“纳什均衡”。 冯·诺伊曼已经在《博弈论与经济行为》一书中证明了：零和博弈必定存在这样的均衡点。 纳什的贡献在于——他从“零和博弈”推广到“非零和博弈”，并证明了：这样的均衡点依然存在。 这里有几个定语需要注意： 其一，“纳什均衡”的前提是【非合作博弈】。不要望文生义，把“非合作博弈”误解为“没有合作的博弈”。请参见本文开头章节对“博弈类型”的解释。 其二，【单方面】指的是——在其他博弈者都没有改变策略的情况下，自己改变策略。 当博弈的局面处于“纳什均衡”，此时的系统是【稳定】滴——如果每个博弈者都足够理性，他们都【不愿意】主动改变当前的策略。 几乎每一个讲“纳什均衡”的资料（书/文章）都会拿“囚徒困境”来举例，俺也不能免俗 :( 以下是“囚徒困境”的收益矩阵（被判刑的年数以负数表示，零表示立即释放）：
囚犯 B
囚犯 A
坦白
抵赖
坦白
-2,-2
0,-5
抵赖
-5,0
-1,-1
基于上述矩阵，“双方都坦白”的局面是“纳什均衡点”（表格中着色的格子）——在这个均衡局面下，任何一个囚犯【单方面】改变策略，只会让自己更不利。 作为对比，“双方都抵赖”虽然是双赢的局面，但这个局面是【不】稳定滴。因为在这个局面下，任何一个囚犯都有动机去改变策略，从而让自己的获益更多。 对这个游戏，有一个稳定的【混合策略】——其中每个策略各占1/3的权重（以相等的概率随机使用这3个策略）。 当双方都采用这个混合策略，此时博弈处于“纳什均衡”。 对于“石头/剪刀/布”而言，这是【唯一】的“纳什均衡点”。不信的话，你可以试着考虑其它各种局面，会发现其它的局面都不稳定，（只要双方足够理性）最终都会演化到上述的均衡点。
误解1：把“纳什均衡”误解为“各方利益总和最大化”。 实际情况是：“纳什均衡”与利益最大化没啥关系。甚至可能出现相反的情况——当局面处于“纳什均衡”时，对博弈的各方都不利。 典型的例子参见“囚徒困境”——均衡的时候，反而是【双输】的局面。
误解2：认为“纳什均衡点”是唯一的。
实际情况是：对某些博弈，可以有【多个】“纳什均衡点”（下面聊“三党博弈”会提及）
局限性1 纳什的证明是【非建设性】滴。也就是说，他只是证明了这个均衡点必定存在，但【没有】给出“如何找到均衡点”的方法论。 那么，如何找到均衡点捏？ 进入21世纪之后，数学家已经证明：即使对于某些比较简单的博弈，找到纳什均衡点所消耗的计算量也会超出整个宇宙的承受力。 从这些数学家的成果中，你会再次感受到“复杂系统”的魅力与挑战——即使是一些看似简单的系统，其【复杂性】也已经远远超出人们的想象。以下这篇博文，有助于你更全面地理解这点：
《“政治体制”与“系统健壮性”——基于“复杂性科学”的思考》
局限性2
对于任何一个稍微复杂点的博弈，要想达到“纳什均衡点”，需要依赖于非常非常多的约束条件；在现实生活中，不太可能达到。
上个月（2020年10月）俺写了一篇博文谈美国政党简史。当时有读者在那篇博文留言并问道：为啥“多党制”总是演变为“两党制”？然后俺写了一条长篇留言，从【博弈论】的角度进行分析。
在那条留言的末尾部分，俺聊了“三党博弈”如何才能出现均衡。“三党博弈”确实有可能达成均衡（而且均衡点还不止一个），但每一个均衡点要依赖的约束条件太多了。这么多约束条件同时满足，概率本来就很低（趋向于零）。即使真的出现了，这种局面也很容易被干扰（只要某个约束条件不再满足，局面就被破坏了）。作为对比，“两党博弈”就更容易演变到“纳什均衡点”，也更容易长期维持。 如果连“三个实体的博弈”都如此难达成均衡。你可以粗略想象一下：在更复杂的博弈中，达成“纳什均衡”的可行性有多么低。 聊完“均衡”，重要的概念基本上讲差不多了。下面开始聊博弈中涉及的一些因素，首先是“信息”因素。 这两个概念通常针对“顺序博弈”（动态博弈）而言。 在博弈过程中，如果每个参与者在做每个决策时，都能知道已经发生的每个事件的信息，称作“perfect information”；反之则是“imperfect information”。
“perfect information”举例：
大部分棋类游戏（围棋、象棋、跳棋…）属于这类。
“imperfect information”举例：
某些军棋游戏只能看到己方的棋子，属于这类；大部分扑克游戏（比如：桥牌、拱猪…）也是这类。 在博弈论的讨论中，很多人混淆了“perfect information”与“complete information”。 “complete VS incomplete”的讨论主要针对【博弈者】。如果每个博弈者的特征都是公开的（每个人都知道其他人的特征），则称为“complete”；反之是“incomplete”。 【博弈者的特征】是啥捏？通俗地说包括：博弈目标、效用函数、等等。
“博弈目标”比较好理解，“效用函数”指的是——为达到不同级别的目标愿意付出多大代价。俺在《聊聊“核战略的博弈模型”与“中美新冷战”》一文中花了很大篇幅谈【战争意志】。这个玩意儿所代表的就是：“核战略博弈”中，博弈者（国家领导人）的“效用函数”。
“核战略博弈”就是典型的“incomplete information”类型的博弈，因为博弈的各方【无法】精确评估其它国家领导人的“战争意志”。
“complete information”举例：
几乎有所有的【棋牌类游戏】都属于“complete information”——双方的目标是公开且固定的（比如象棋的目标是干掉对方的王），而且也不用考虑“效用函数”之类的概念。
“incomplete information”举例：
除了刚才所说的“核战略博弈”，【拍卖】也属于这类博弈——有些人是真的买家，有些人只是为了抬价；即使是真正的买家，各自的底线也不公开。 前面2个小节谈“perfect information”＆“complete information”，俺为啥都用洋文，而不用中文？ 就是因为这2个玩意儿的中文翻译没有统一。有些博弈论的资料，把“perfect information”翻译成“完全信息”；另一些资料则把“complete information”翻译成“完全信息”。真是坑爹啊！再加上这两个概念本来就很容易搞混（如前所述），所以俺只好全用洋文来称呼之。 今后你阅读某些博弈论相关的书籍或文章，一旦看到有中文的“完全信息”，先得搞清楚它想表达的，到底是“perfect information”还是“complete information”。
对于“incomplete information”的博弈，由于每个博弈者【无法】精确掌握其它博弈者的特征。对这类博弈，需要引入【贝叶斯定理】（Bayes’ rule）进行概率分析，从而猜测其它对手的特征。所以这类博弈也称作“贝叶斯博弈”。 “贝叶斯定理”是概率论的重要工具。要对它展开讨论，至少又是一个长篇博文。暂且打住。 对于“贝叶斯博弈”，其纳什均衡称之为“贝叶斯纳什均衡”，洋文简称 BNE（Bayesian Nash equilibrium）。
俺写翻墙教程已经有十多年的历史了（最早的一篇写于2009年），平时也经常有读者在博客留言，询问相关话题。本小节就拿翻墙来举例。 下面这个例子，俺曾经在博客评论区与某读者交流过。考虑到大部分读者平时不逛评论区，今天把这个案例拿出来聊聊。
1. 翻墙工具的两大类
根据【服务器】的差异，大部分翻墙工具可以分为两类：使用【公共的】翻墙服务器 or 使用【自建的】翻墙服务器。
2. “公共服务器”的翻墙方式
这类翻墙工具至少包括：VPNgate、赛风、蓝灯、自由门、无界… 对这类翻墙工具，GFW 至少有如下两招来对付： 其一，在国际出口识别翻墙工具的通讯协议，如果发现某个流量被用于翻墙，直接阻断之。 其二，GFW 的研究人员可以去翻墙工具的官网下载翻墙客户端，然后在自己的环境（沙箱环境）运行这个客户端，并分析它会连接哪些公共服务器。最后把收集到的服务器 IP 地址加入“IP 黑名单”。 前面这招叫做【协议识别】，后面这招是【沙箱分析】。
3. “自建服务器”的翻墙方式
这类翻墙工具至少包括：ShadowSocks 及其衍生品… 由于服务器是翻墙网民【私有】的（比如私人购买的 VPS）。首次运行翻墙客户端之后，通常还需要再配置服务器的 IP 地址（这个信息对 GFW 是【保密】滴）。 在这种情况下，GFW【无法】使用“沙箱分析”去收集“翻墙服务器的 IP”，而只能动态识别翻墙协议。
4. GFW 的封锁成本
GFW 要想封锁翻墙工具，比较常见的两招是：“协议识别”＆“IP 黑名单”。 （注：为了对付自建服务器的翻墙工具，GFW 近些年开始引入【主动探测】，但这招用得不算多。用得最多的应该还是上述两招） 至于 GFW 的其它招数（比如：域名污染、关键字过滤）是用来对付普通上网，对翻墙工具基本无效。 在 GFW 对付翻墙工具的这2招里，“协议识别”会消耗很多的 CPU 运算量，导致封锁成本提高；（相对而言）“IP 黑名单”的成本要低得多。 （注：如果只是对单个流量进行协议分析，CPU 的运算量不大；但 GFW 部署在【国际出口】，需要并发处理成千上万的流量，这时候 CPU 的压力就体现出来了）
5. 小结
综上所述，当 GFW 碰到那些使用【公共服务器】的翻墙工具，更接近于【单向的】“perfect info”博弈（翻墙工具对于 GFW 而言是“perfect info”，而 GFW 对于翻墙工具而言是“imperfect info”） 反之，当它碰到那些【自建服务器】的翻墙工具，更接近于“imperfect info”博弈。
在博弈所涉及的诸多心理因素中，俺首先要聊的是【换位思考】。
前面聊的很多博弈相关技能（比如：最小最大原则、反向归纳法），都依赖于“换位思考”这个能力——你需要站在【对手】的角度进行思考，才能看清局面，从而更好地选择自己的策略。
“换位思考”的好处不仅仅体现在博弈中，还体现在其它很多方面。比如说：俺在博客中不止一次地强调【批判性思维】的重要性（比如“这篇”），也不止一次地介绍过“批判性思维”分两大类：【弱】批判思维 ＆ 【强】批判思维。后者比前者更重要。一般来说，那些“换位思考”能力越强的人，也越善于进行【强】批判思维。 既然“换位思考”如此重要，某些同学肯定会问：如何才能提升【换位思考】的能力捏？ 方法有很多种。其中一个方法，俺在如下博文已经介绍过。
《如何【系统性学习】——从“媒介形态”聊到“DIKW 模型”》
另一个提升【换位思考】能力的方法是——通过某些复杂的博弈游戏，进行练习。 在本博客的长期读者中，有些人知道俺是个围棋爱好者（当年 AlphaGo 横扫人类冠军的时候，还专门发过2篇博文）。俺会利用下围棋的机会，强迫自己更多地进行换位思考。 写到这里，顺便聊聊围棋的几个特点：
1. 节奏慢
只有那些慢节奏的博弈，才可能深度思考；与之对比，电脑上的即时战略游戏，节奏太快了。
2. 复杂性
游戏本身足够复杂，才可能深度思考。 从“决策树复杂度”而言，围棋远远超越所有棋牌类游戏。
3. 换位思考
你既要思考如何攻击对方，也要思考对方如何攻击你。 为了思考“对方如何攻击你”，你就要站在对方的角度思考自己的布局，并尝试找出【自己】的弱点。
4. 把握平衡
要想下得好，你需要把握各种平衡，比如：速度与厚味的平衡、大场与急所的平衡……
顺便说一下：“速度与厚味的平衡”跟这篇博文的某个核心观点（系统的均衡性）是相通滴。
5. 从简单到复杂 大部分棋类游戏（国际象棋、中国象棋、西洋跳棋、军棋……）都是越到后面，局势就越简单明朗；扑克类游戏也是如此。 但围棋则完全不同。
6. 全局性（全局耦合性）
大部分棋类游戏，要么是“局部性”的（比如五子棋），要么是“全局弱耦合”（比如国际象棋）；而围棋属于“全局强耦合”。 围棋的这个特点，使得棋手要建立很好的【大局观】（完全不懂围棋的同学，很难体会此处所说的“大局观”） 在“博弈论”诞生【之前】，微观经济学在进行数学建模的时候，通常都会引入一个“理性人假设”——假定市场的行为主体（公司 or 个人）是充分理性滴（此处的“充分理性”还隐含着“掌握充分的信息”）。 为啥一定要引入这个假设捏？是为了数学建模的需要（否则没法建模）。但这个假设其实非常扯蛋—— 在博文和评论区的交流中，俺多次强调了【平庸的大多数】。对任何一个国家（哪怕是成熟的民主国家），大多数人都很平庸（他们的共同点之一是非常【不】理性）。充分理性（并且掌握了充分信息）的个人，就算有，那也绝对是凤毛麟角。而“理性人假设”竟然设定市场的行为主体全都是充分理性的。这不是睁着眼睛说瞎话嘛？ 有了博弈论之后，这个非常扯蛋的“理性人假设”就可以丢到垃圾桶里了 :) 为了帮大伙儿理解，俺用两种不同的理论来解释同一个现象。 比如说，市场上存活的大部分公司，他们生产的商品都是能满足市场需求滴。 旧的经济学理论（理性人的解释）会说——所有公司的老板都充分理性，也掌握了充分的信息，知道应该生产何种商品，才能满足市场需求。 新的经济学理论（博弈论的解释）会说——公司的老板既有聪明的，也有傻逼的。傻逼公司生产的商品没人要，自然会亏损并倒闭。随着时间的推移，经过【自然选择】，活下来的公司当然是那些聪明的（至少不是太笨的）。
题外话：幸存者偏见
早期的经济学家，为啥会想出扯蛋的“理性人假设”捏？其中一个重要原因是【幸存者偏见】。 因为这个思维谬误是如此普遍（且影响深远），俺为这个主题专门写过两篇博文：
《思维的误区：忽视沉默的大多数》 前一个小节谈了“理性人假设”及其谬误。这个谬误是把“不理性的主体”误当作“理性的主体”。 本小节再来说一个相反的情况——“理性的博弈者”把自己伪装成“非理性的博弈者”，这么干可以获得某种【虚张声势】的唬人效果。对这种手法，俺称之为“装疯策略” :) 2017年的时候，朝鲜半岛的【核危机】升级。由于这事儿发生在不久之前，大伙儿应该都有印象吧。 当时很多读者问俺对这场危机的看法，于是俺在2017年写了两篇博文，分别谈“北朝鲜 ＆ 美国”的博弈策略（如下）。当年北朝鲜的金三胖，采用的就是这类“装疯策略”。
《聊聊朝鲜半岛核问题——美国博弈策略分析》 在本文的末尾，稍微聊一下：博弈论对其它领域/学科的影响。 谈“博弈论”的影响，当然首先要谈它对【经济学】的影响。博弈论的问世堪称“经济学在20世纪最重要的革命”。 在前面的某个小节，俺已经提到：有了博弈论，就不再需要那个扯蛋的“理性人假设”了。这是“博弈论”诞生后对微观经济的重大影响。 除了这个影响，还有很多其它的影响。比如说：（博弈论诞生前）传统的微观经济学以“供给/需求”来建立【价格】的数学模型。这个模型只考虑了“供应量/需求量”的变化对价格的影响，而完全【不】考虑供给双方的【力量对比】。 【力量对比】是啥意思捏？如果供给双方中，一方变得强势或另一方变得弱势。即使供应量与需求量都维持不变，价格也会发生变动（朝着对强势方有利的方向移动）。 为了帮大伙儿理解上述这句话，拿咱们天朝臭名昭著的【996工作制】来现身说法。 咱们天朝【没有】真正意义上的工会；各个城市的【官方工会】都是替党说话，而不是替工人（白领、蓝领）说话。在工会缺位的情况下，资方自然变得更强势，而劳方变得更弱势。【996工作制】就是在这个大背景下发展起来滴。通过变相延长工作时间，也就相当于变相压低了劳动力的价格（请注意，劳动力本身也是一种商品）。
实际情况不仅于此。因为996工作制已经开始普及——今年（2020）深圳开始搞相关的试点，企图把这种工作制【合法化】。当这种工作制逐渐普及之后，会在人力资源市场产生某种【正反馈】，从而导致某种更糟糕的后果（对资方而言则是更美好的后果）。相关的分析参见去年（2019）的博文，其中有一个章节是★“996工作制”如何影响天朝的人力资源市场？
《“996工作制”只不过是【劫贫济富】的缩影——“马云奇葩言论”随想》 这几个领域都与经济密切相关，并且这几个领域的活动都会带有显著的“对抗性色彩”。所以，博弈论对这些领域的影响也很显著。
比如俺网盘上分享过一本《营销战》，其作者杰克·特劳特是全球知名的营销理论大牛。书中借用了很多军事领域的概念，来谈市场营销的策略。如果你对博弈论比较熟悉，看这本书会有不一样的感受。
“博弈论”当然也会深刻影响军事和外交领域。尤其是在如今这个“战略核武器”的时代，博弈论尤其显得重要。
关于这个主题，俺在今年（2020）写过一篇《聊聊“核战略的博弈模型”与“中美新冷战”》，这里就不展开了。
生物学有很多分支，受博弈论影响最大的分支估计是“演化生物学”（也就是俗称的“进化论”）。 借助博弈论的研究成果，“演化生物学家”可以更好地建立物种演化的数学模型。举个栗子：上世纪70年代发展起来的“演化稳定策略”（Evolutionarily Stable Strategy，简称 ESS）。这个理论可以更好地解释物种的自然选择。
俺的网盘上分享的那本《纳什均衡与博弈论——纳什博弈论及对自然法则的研究》，其第4章专门聊“博弈论如何应用到演化论”。
顺便说一下：“进化论”这个中文翻译不太恰当，会让人产生一种（下意识的）错觉——似乎进化带有某种方向性＆目的性。为了消除这种错觉，如今越来越多的科普读物开始改用“演化论”这个中文翻译。 由于本文定位于【基础性扫盲】，只能蜻蜓点水，简单聊聊。这里面的很多话题，假如要深入细谈，可以再写出好几篇博文。 如果你对这方面感兴趣，可以在博客评论区进行反馈。很多时候，俺会根据读者需求，适当调整“写博文的权重”。 另外，也感谢很多热心读者，长期与俺在评论区交流。本文中提到的好几个案例，都是前些年与读者交流时聊到的。
俺博客上，和本文相关的帖子（需翻墙）：
《“政治体制”与“系统健壮性”——基于“复杂性科学”的思考》
《聊聊“核战略的博弈模型”与“中美新冷战”》
《聊聊朝鲜半岛核问题——北朝鲜博弈策略分析》
《聊聊朝鲜半岛核问题——美国博弈策略分析》
《“996工作制”只不过是【劫贫济富】的缩影——“马云奇葩言论”随想》
《美国政党简史（上）——从“邦联时期”到“南北战争前”》
《为什么马克思是错的？——全面批判马列主义的知名著作导读》
《书评：＜学会提问——批判性思维指南＞》
《思维的误区：幸存者偏见——顺便推荐巴菲特最著名的演讲》
《思维的误区：忽视沉默的大多数》